mini|Minkowski-Diagramm mit dem Ruhesystem (x,t), dem bewegten System (x′,t′), mit Lichtkegel und Hyperbeln, die Raum und Zeit bezüglich des Koordinatenursprungs bestimmen
Das Minkowski-Diagramm wurde 1908 von Hermann Minkowski entwickelt und dient der Veranschaulichung der Eigenschaften von Raum und Zeit in der speziellen Relativitätstheorie. Es erlaubt ein quantitatives Verständnis der damit verbundenen Phänomene wie beispielsweise der Zeitdilatation und der Längenkontraktion ohne Formeln.
Das Minkowski-Diagramm ist ein Raum-Zeit-Diagramm mit nur einer Raum-Dimension. Dabei wird eine Überlagerung der Koordinatensysteme für zwei gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegte Beobachter dargestellt, sodass zu den Orts- und Zeitkoordinaten x und t, die der eine Beobachter zur Beschreibung des Geschehens verwendet, unmittelbar die des anderen x′ und t′ abgelesen werden können und umgekehrt. Aus dieser grafisch eineindeutigen Zuordnung von x und t zu x′ und t′ wird unmittelbar die Widerspruchsfreiheit zahlreicher scheinbar paradoxer Aussagen der Relativitätstheorie ersichtlich. Auch die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit erschließt sich grafisch als Folge der Eigenschaften von Raum und Zeit. Die Form des Diagramms folgt unmittelbar und ohne Formeln aus den Postulaten der speziellen Relativitätstheorie und verdeutlicht die enge Verwandtschaft von Raum und Zeit, die aus der Relativitätstheorie hervorgeht. Eine Erweiterung ist das Penrose-Diagramm, mit dem man die globale Struktur von allgemeineren, auch gekrümmten, Raumzeiten darstellen kann.
Grundlagen mini|Mit ct anstelle von t auf der Zeitachse wird die Weltlinie eines Lichtteilchens zu einer Geraden mit einer Steigung von 45°.
Zugunsten der Darstellbarkeit wird bei den Minkowski-Diagrammen auf zwei der drei Raumdimensionen verzichtet und nur das Geschehen in einer eindimensionalen Welt betrachtet. Anders als bei Weg-Zeit-Diagrammen üblich, wird der Weg auf der x-Achse und die Zeit auf der y-Achse dargestellt. Damit lässt sich das Geschehen auf einem horizontalen Weg unmittelbar in das Diagramm hineindenken, wobei sich dieser Weg mit dem Verstreichen der Zeit von unten nach oben durch das Diagramm hindurch bewegt. Jedes Objekt auf diesem Weg, wie beispielsweise ein Beobachter oder ein Fahrzeug, beschreibt auf diese Weise eine Linie im Diagramm, die man seine Weltlinie nennt.
Jeder Punkt in diesem Diagramm markiert eine bestimmte Stelle in Raum und Zeit. Eine solche Stelle wird als Ereignis bezeichnet unabhängig davon, ob zu dieser Zeit und an diesem Ort überhaupt etwas geschieht.
Es erweist sich als vorteilhaft, auf der Zeitachse nicht die Zeit t direkt, sondern die zugeordnete Größe ct aufzutragen, wobei die Lichtgeschwindigkeit bezeichnet. Einer Sekunde entspricht auf diese Weise ein Abschnitt von 299792,458 km auf der Ordinate. Wegen für ein Lichtteilchen, das den Koordinatenursprung nach rechts passiert, ist seine Weltlinie eine um 45° geneigte Gerade im Diagramm, sofern für beide Koordinaten-Achsen der gleiche Maßstab gewählt wird.
Weg-Zeit-Diagramm in der newtonschen Physik mini|In der newtonschen Physik wird das Ereignis bei A von beiden Beobachtern demselben Zeitpunkt zugeordnet.
Das nebenstehende Diagramm stellt das Koordinatensystem eines Beobachters dar, den wir der Einfachheit halber als den Ruhenden bezeichnen wollen, und der sich bei x = 0 befindet. Die Weltlinie des Beobachters ist daher mit der Zeitachse identisch. Jede Parallele zu dieser Achse entspräche einem ebenfalls ruhenden Objekt an einem anderen Ort. Die blaue Gerade entspricht dagegen einem Objekt, das sich mit konstanter Geschwindigkeit ortsverändert, beispielsweise einem bewegten Beobachter.
Diese blaue Gerade lässt sich nun als die Zeitachse dieses Beobachters interpretieren, die zusammen mit der für beide Beobachter identischen Raumachse sein Koordinatensystem darstellt. Das entspricht einer Vereinbarung der beiden Beobachter, die Stelle x = 0 und t = 0 auch mit x′ = 0 und t′ = 0 zu bezeichnen. Das Koordinatensystem des bewegten Beobachters ist schiefwinklig. Zum Ablesen der Koordinaten eines Punktes werden in diesem Fall die beiden Parallelen durch den Ereignispunkt zu den Achsen gebildet und ihr Schnittpunkt mit den Achsen betrachtet.
Es zeigt sich am Beispiel des Ereignisses A im Diagramm, dass damit für die Ortskoordinate wie erwartet verschiedene Werte ermittelt werden, da sich der bewegte Beobachter seit t = 0 auf den Ort des Ereignisses zubewegt hat. Andererseits findet im damaligen kosmischen Nah-Bezugsrahmen innerhalb des Sonnensystems von newtonscher Physik ein Ereignis aus der Sicht beider Beobachter annähernd zum selben Zeitpunkt statt. Der ausreichende Maßstab dafür auf der Zeitachse des bewegten Beobachters ist daher gestreckt, derart dass in gleicher Höhe über der x-Achse auf beiden Zeitachsen in unpräziser Auflösung dieselben Werte zur Ablesung kommen.
Generell finden dieserweise alle Ereignisse, die sich auf einer Parallelen zur Wegachse befinden, „gleichzeitig“ statt und zwar für beide Beobachter. Es gibt nur eine universelle Zeit t = t′, was sich in der Existenz einer gemeinsamen Wegachse äußert. Analog steht die Existenz zweier verschiedener Zeitachsen in Zusammenhang damit, dass beide Beobachter verschiedene Ortskoordinaten ermitteln. Diese grafische Übersetzung der Koordinaten x und t in x′ und t′ beziehungsweise umgekehrt erfolgt mathematisch über die Galilei-Transformation.
Minkowski-Diagramm in der speziellen Relativitätstheorie mini|In der Relativitätstheorie wird das Ereignis bei A unterschiedlichen Zeitpunkten zugeordnet, ctA > ct′A. mini|Unterschiedliche Skalierung der Achsen.
Albert Einstein (1905) entdeckte nun, dass in kosmologischer Maßstabserweiterung die newtonsche Beschreibung nicht genau genug der Realität entspricht. Je höher die betrachteten Geschwindigkeiten sind, desto größer werden die Abweichungen. Raum und Zeit sind so beschaffen, dass für die Übersetzung der Koordinaten zwischen bewegten Beobachtern andere Regeln gelten. Insbesondere finden Ereignisse, die der eine Beobachter als gleichzeitig bewertet, für den anderen, relativ zu ihm bewegten Beobachter zu verschiedenen Zeiten statt. Diese Relativität der Gleichzeitigkeit wurde von Hermann Minkowski auf elegante Weise veranschaulicht.
Im Minkowski-Diagramm entspricht die Relativität der Gleichzeitigkeit der Existenz verschiedener Wegachsen für die beiden Beobachter. Jeder Beobachter interpretiert nach obiger Regel alle Ereignisse auf einer Geraden parallel zu seiner Wegachse als gleichzeitig. Der Ablauf des Geschehens aus der Sicht eines bestimmten Beobachters lässt sich damit grafisch durch Parallelverschiebung einer solchen Geraden von unten nach oben nachvollziehen.
Bei Auftragung von ct anstelle t auf der Zeitachse erweist sich der Winkel α zwischen den beiden Wegachsen als identisch mit dem zwischen den beiden Zeitachsen. Als Ursache für diese Orientierung der Wegachsen lässt sich das Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit interpretieren (siehe unten). Der Winkel α ergibt sich aus der Relativgeschwindigkeit v zu
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Die zugehörige Übersetzung der Koordinaten x und t in x′ und t′ beziehungsweise umgekehrt erfolgt mathematisch über die Lorentz-Transformation. Die Skalierung der Achsen ergibt sich folgendermaßen: Wenn U die gewählte grafische Länge der benutzten Längeneinheit (z. B. auf den ct- und x-Achsen ist, markieren wir diese beiden Achsen wie gewohnt im grafischen Abstand U vom Ursprung mit einer 1 (in nebenstehender Grafik U). Der grafische Abstand U′ vom Ursprung, in dem die erste Markierung auf ct′- und x′-Achsen erfolgt, ergibt sich dann zu:
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Erläuterung: Stellt die ct-Achse die Weltlinie einer in S ruhenden Uhr dar, dann entspricht U der mit c multiplizierten Dauer zwischen zwei auf dieser Weltlinie auftretenden Ereignissen, was als Eigenzeit der Uhr bezeichnet wird. Die Länge U auf der x-Achse entspricht der Ruhelänge oder Eigenlänge eines in S ruhenden Maßstabs. Dieselben Zusammenhänge gelten auch für die Abstände U′ auf der ct′- und x′-Achse. Die erste Markierung auf der ct′-Achse hat im System S′ die mathematischen Koordinaten (x′,ct′) = (0,1) und die erste Markierung auf der x′-Achse hat die mathematischen Koordinaten (x′,ct′) = (1,0). Im ungestrichenen Koordinatensystem S ergibt sich mit der Lorentz-Transformation, dass die erste Markierung auf der ct′-Achse die mathematischen Koordinaten (x,ct) = (γ v/c,γ) hat. Da das ungestrichene Koordinatensystem grafisch ein kartesisches Koordinatensystem ist, ergibt sich der grafische Abstand der Markierung dann nach dem Satz des Pythagoras und Vereinfachung zur oben angegebenen Formel:
Dasselbe Ergebnis erhält man auch bei Betrachtung der x′-Achse.
Symmetrisches Minkowski-Diagramm
Sofern nur zwei Inertialsysteme betrachtet werden, kann die unterschiedliche Skalierung auf den Achsen vermieden und eine symmetrische Darstellung erreicht werden. Denn zwischen zwei relativ bewegten Inertialsystemen existiert immer ein drittes, in dem sich die beiden anderen mit gleicher Geschwindigkeit in entgegengesetzte Richtung bewegen („Mittelsystem“). Wenn und zwischen zwei Inertialsystemen und gegeben sind, dann sind sie folgendermaßen mit den entsprechenden Größen im Mittelsystem verbunden: Siehe .
Wenn beispielsweise zwischen S und S’ gegeben ist, dann bewegen sie sich gemäß (2) in ihrem Mittelsystem mit annähernd ±0,268 c in jeweils entgegengesetzter Richtung. Oder wenn in gegeben ist, dann ist gemäß (1) die Relativgeschwindigkeit zwischen S und S′ in ihren eigenen Ruhesystemen gegeben mit 0,8 c. Die Konstruktion der entgegengesetzt gerichteten Achsen von S und S′ erfolgt dann nach der gewöhnlichen Methode mit in Bezug auf die orthogonalen Achsen des Mittelsystems (siehe Bild 1).
Es zeigt sich jedoch, dass die Konstruktion dieser symmetrischen Minkowski-Diagramme wesentlich vereinfacht werden kann, wobei weder das Mittelsystem noch aufgeführt werden müssen, sondern lediglich zwischen S und S′: Wenn der Winkel ist zwischen der ct′- und ct-Achse (und zwischen der x- und x′-Achse), und zwischen der x′- und ct′-Achse, dann ergibt sich:
Daraus ergeben sich beispielsweise die zwei folgenden Konstruktionsmethoden (Bild 2): Die x-Achse wird zuerst senkrecht zur ct′-Achse gezeichnet, dann werden die x′ und ct-Achsen im Winkel beigefügt; oder die x′-Achse wird im Winkel bezüglich der ct′-Achse gezeichnet, dann die x-Achse senkrecht zur ct′-Achse und die ct-Achse senkrecht zur x′-Achse beigefügt. Zusätzlich (Bild 3) ergibt sich, dass die Parallelprojektionen von Vektor seinen kontravarianten Komponenten (x,t; x′,t′) entsprechen, und die Orthogonalprojektionen seinen kovarianten Komponenten.
Geschichte Max Born (1920) verwendete in seinem Buch Die Relativitätstheorie Einsteins verschiedene Minkowski-Diagramme mit zwei sich zueinander senkrecht ausbreitenden Lichtstrahlen als Achsenkreuz. Um die Symmetrie von Längenkontraktion und Zeitdilatation darzustellen, fügte er noch die Achsen zweier Systeme S und S′ hinzu, wobei die x-Achse annähernd senkrecht zur ct′-Achse, und die x′-Achse annähernd senkrecht zur ct-Achse stand.7. Ausgabe: Dmitry Mirimanoff (1921) entdeckte die Existenz von „Mittelsystemen“, die immer bezüglich zweier relativ zueinander bewegter Inertialsysteme aufgefunden werden können. Er zeigte jedoch keine graphische Interpretation dieses Zusammenhangs. Paul Gruner (1921) entwickelte zusammen mit Josef Sauter symmetrische Diagramme auf systematische Weise. Es wurden relativistische Effekte wie Längenkontraktion und Zeitdilatation abgeleitet sowie der Zusammenhang von kontravarianten und kovarianten Komponenten. Gruner erweiterte diese Methode in weiteren Arbeiten (1922–1924) und würdigte die Leistung Mirimanoffs.