Der (Gauß-d’Alembertsche) Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes nicht konstante Polynom im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Nullstelle besitzt. Dabei können die Koeffizienten des Polynoms beliebige komplexe Zahlen sein – insbesondere sind Polynome mit ganzen oder reellen Koeffizienten mit eingeschlossen.
Wendet man den Satz zum Beispiel auf das Polynom an, so folgt, dass die im Bereich der reellen Zahlen unlösbare Gleichung im Bereich der komplexen Zahlen mindestens eine Lösung besitzen muss.
Der Fundamentalsatz der Algebra sagt, dass die komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen sind oder – äquivalent – dass die reellen Zahlen reell abgeschlossen sind.
Die Namensgebung wurzelt in einem traditionellen Verständnis der Algebra als der Lehre von Gleichungen höheren Grades mittels „Buchstabenrechnen“.So schreibt Heinrich Weber 1895 im Vorwort seines – zunächst auf nur zwei Bände angelegten – Lehrbuchs der Algebra PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de: „Der grosse Stoff ist in zwei Bände vertheilt. Der erste Band enthält den elementaren Theil der Algebra, den man mit einem hergebrachten Ausdruck als Buchstabenrechnung bezeichnen kann, sodann Vorschriften über die numerische Berechnung der Gleichungswurzeln und die Anfänge der Galois’schen Theorie.“ So betrachtet Weber denn auch zu Beginn seines Lehrwerks, die Grundlagen (Erstes Buch) legend, im Ersten Abschnitt die Rationalen Functionen bringt in § 38 (des Dritten Abschnittes. Die Wurzeln) einen rein analytischen Beweis des Fundamentalsatzes, der dem hier gegebenen im Wesentlichen gleichkommt; der Achte Abschnitt (Der Sturm’sche Lehrsatz) des Zweiten Buches (Die Wurzeln) dieses ersten Bandes, gipfelt in § 98. Gauss’ erster Beweis des Fundamentalsatzes des Algebra mit Hilfe des Sturmschen Satzes. Dennoch ist bei Weber der Wandel des Verständnisses der Algebra deutlich spürbar, da er dem eben gebrachten Zitat aus dem Vorwort (S. v) folgende Sätze vorausschickt: „Zwei Dinge sind es, die für die neueste Entwickelung der Algebra ganz besonders von Bedeutung sind, das ist auf der einen Seite die immer mehr zur Herrschaft gelangende Gruppentheorie, deren ordnender und klärender Einfluss überall zu spüren ist, und sodann das Eingreifen der Zahlentheorie. Wenn auch die Algebra zum Theil über die Zahlentheorie hinausgeht, und in andere Gebiete, z. B. die Functionentheorie oder in ihren Anwendungen auch in die Geometrie hinüber greift, so ist doch die Zahlenlehre immer das vorzüglichste Beispiel für alle algebraischen Betrachtungen, und die Fragen der Zahlentheorie, die heute im Vordergrund des Interesses stehen, sind vorwiegend algebraischer Natur. Hierdurch war der Weg bezeichnet, den ich in meiner Arbeit zu gehen hatte.“ Bartel Leendert van der Waerden hingegen lässt sein einflussreiches Lehrbuch der „[Modernen] Algebra“ (Algebra I, 8. Auflage, 1971, siehe Literatur und Artikel zur Modernen Algebra) bereits – nach einem kurzen Kapitel über „Zahlen und Mengen“ – mit Betrachtungen zur Gruppentheorie beginnen. In § 80 (S. 252) lässt er deutlich anklingen, dass er den Namen „Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen“ treffender fände: „Der ‚Fundamentalsatz der Algebra‘, besser Fundamentalsatz der Lehre von den komplexen Zahlen, besagt […]“ Die erste Auflage dieses Buches erschien bereits 1930 – 22 Jahre nach Heinrich Webers drittem Band zur Algebra –, damals noch unter dem Titel Moderne Algebra. Nach eigenem Bekunden im Vorwort zur vierten Auflage entsprach van der Waerden dem Ratschlag einer Buchbesprechung Heinrich Brandts im Jahresbericht der DMV (1952, Band 55, siehe PDF bei gdz.sub.uni-goettingen.de oder PDF bei resolver.sub.uni-goettingen.de, PDF-Seite 178) und nannte sein zweibändiges Lehrwerk ab der vierten Auflage des ersten Bandes (1955) schlicht Algebra. Zur Vertiefung dieser geschichtlichen Aspekte sei auf die Artikel Moderne Algebra und Algebra verwiesen.Wolfgang Krull beginnt sein Lehrbuch von 1953 mit den Worten: Die Algebra wird beherrscht von den vier Grundrechenarten Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division. Der Leser geht am besten mit diesen Rechnungsarten zunächst so um, wie er es vom elementaren Buchstabenrechnen her gewohnt ist. Er beschließt es mit einem Anhang über den Fundamentalsatz der Algebra. Siehe
Satz Es sei
ein Polynom vom Grad – also ein nicht konstantes Polynom – mit komplexen Koeffizienten . Dann hat das Polynom eine komplexe Nullstelle, d. h., es gibt eine Zahl , so dass gilt. Genauer gilt, dass die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden, insgesamt gleich dem Grad des Polynoms ist.
Anmerkung zum Fall reeller Koeffizienten Auch wenn ein Polynom über den reellen Zahlen ist, wenn also alle Koeffizienten in liegen, sind die zugehörigen Nullstellen nicht notwendigerweise reell. Es gilt aber: Ist eine nichtreelle Nullstelle von , so ist auch ihr komplex Konjugiertes eine Nullstelle von . Ist eine mehrfache Nullstelle von , so hat dieselbe Vielfachheit. In der faktorisierten Schreibweise des Polynoms lassen sich daher die zugehörigen Linearfaktoren immer zu einem quadratischen Faktor zusammenfassen. Ausmultipliziert hat dieses Polynom zweiten Grades wieder rein reelle Koeffizienten:
Daraus folgt im Umkehrschluss, dass jedes reelle Polynom sich in reelle Polynomfaktoren vom Grad eins oder zwei zerlegen lässt. In dieser Form wurde der Satz 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Doktorarbeit formuliert, die dieses Ergebnis bereits in ihrem lateinischen Titel Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse verkündet (deutsch: „Neuer Beweis des Satzes, dass jede ganze rationale algebraische Funktion in einer Variablen in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades zerlegt werden kann“).
Folgerung: Algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Zahlkörpers Von einem Polynom lässt sich der zu einer Nullstelle mit gehörende Linearfaktor abspalten: . (Dazu kann beispielsweise die Horner-Ruffini-Methode verwendet werden.) Durch die Abspaltung ergibt sich ein im Grad um eins reduziertes Polynom , für welches das Verfahren wiederholt werden kann. Per Induktion ist hiermit gezeigt: Jedes nicht konstante Polynom über zerfällt vollständig in ein Produkt aus Linearfaktoren: , wobei die die Nullstellen des Polynoms sind.
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt also, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch abgeschlossen ist.
Beispiel Die Polynomgleichung
hat die Lösungen , die natürlich die Nullstellen des Polynomes sind. Die Lösung 0 wird dabei doppelt gezählt, wie anhand der Faktorisierung des Polynoms ersichtlich ist: .
Man verwendet auch die Sprechweise „0 tritt mit Vielfachheit 2 auf“, alle anderen Nullstellen treten mit Vielfachheit 1 auf. Dieses Beispiel zeigt auch, dass die Nullstellen im Allgemeinen nicht (alle) reell sind, selbst wenn das Polynom reelle Koeffizienten hat. Nichtreelle Nullstellen von Polynomen mit reellen Koeffizienten treten aber immer paarweise komplex konjugiert auf (in obigem Beispiel ).
Äquivalente Formulierungen Der Satz lässt sich in äquivalenten Formulierungen aussprechen, die hier zusammenfassend aufgeführt seien: Jedes nicht-konstante reelle Polynom hat eine komplexe Nullstelle. Jedes nicht-konstante reelle Polynom zerfällt im Komplexen vollständig in Linearfaktoren. Jedes nicht-konstante komplexe Polynom hat eine Nullstelle. Jedes nicht-konstante komplexe Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren. Irreduzible komplexe Polynome sind linear. Irreduzible reelle Polynome sind quadratisch oder linear. (Dies ist die Formulierung in Gauß’ Dissertation Demonstratio nova theorematis … von 1799.) Der Körper ist algebraisch abgeschlossen. Der Körper ist reell abgeschlossen. Der Körper besitzt keine echten endlichen Körpererweiterungen. Der Körper besitzt lediglich eine echte endliche Körpererweiterung, nämlich . Die Äquivalenz folgt mittels vollständiger Induktion, Körpertheorie, schlicht per Definition oder aber mit Hilfe der Theorie formal reeller Körper. Insbesondere dank der letzteren ist auch folgende Formulierung äquivalent: Der (angeordnete) Körper besitzt folgende beiden Eigenschaften: Positive reelle Zahlen sind Quadrate. Jedes reelle Polynom ungeraden Grades besitzt eine reelle Nullstelle. Die Beweisvariante für reell abgeschlossene Körper durch Galois-Theorie zeigt, dass diese beiden Eigenschaften den Fundamentalsatz implizieren, und abstrahiert von der Grundidee des Gaußschen Beweises von 1815.
Beweise Geschichte und Überblick Erste Formulierungen des Fundamentalsatzes finden sich im 17. Jahrhundert (Peter Roth, Albert Girard, René Descartes). Peter Roth (1608) vermutete, dass Gleichungen -ten Grades höchstens Lösungen haben, und Francois Viète gab Beispiele von Gleichungen -ten Grades mit der maximalen Anzahl von Lösungen an. Albert Girard vermutete 1629 (L'invention en l'algèbre) als Erster, dass es immer Lösungen gibt, und vermutete schon neben reellen auch komplexe Lösungen. Leonhard Euler gab eine Formulierung des Fundamentalsatzes als vollständige Faktorisierung im Komplexen im heutigen Sinn an.
Gemäß einer Arbeit von Eugen Netto und R. Le Vavasseur aus dem Jahre 1907 ist davon auszugehen, dass es schon damals etwa einhundert Beweise des Fundamentalsatzes gab. Der erste veröffentlichte Beweis von Jean d’Alembert 1746 war von der Idee her korrekt, jedoch enthielt er Lücken, die erst mit den Methoden der Analysis des 19. Jahrhunderts geschlossen werden konnten. Eine vereinfachte und auch nach modernen Kriterien noch korrekte Version dieses Beweises wurde von Jean-Robert Argand 1814 angegeben.Siehe Artikel Ungleichung von Argand! Weitere veröffentlichte Beweisversuche stammen von Euler (1749), Joseph-Louis Lagrange (1772), aufbauend auf dem Beweis von Euler, und Pierre Simon de Laplace (1795), der einen neuen Ansatz verfolgte unter Verwendung der Diskriminante des Polynoms.
Der erste vollständige Beweis für den Fundamentalsatz der Algebra wurde 1799 von Carl Friedrich Gauß im Rahmen seiner Dissertation angegeben (und eine Notiz dazu in seinem Tagebuch schon im Oktober 1797 eingetragen).Allerdings vertritt Andreas Speiser im Jahre 1956 in einem Kommentar zum eulerschen Beweis von 1749 die Ansicht, dass dieser Beweis sehr wohl korrekt ist. Siehe: Reinhold Remmert: Fundamentalsatz der Algebra, Kapitel 4 : In: H.-D. Ebbinghaus, H. Hermes, Fr. Hirzebruch, Max Koecher, K. Mainzer, A. Prestel, R. Remmert: Zahlen. In: Grundwissen Mathematik I., 3., verbesserte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, London, Paris, Tokyo, Hong Kong, Barcelona, Budapest 1992, ISBN 3-540-55654-0, Kapitel 4 , S. 86. Im Gegensatz zu seinen Vorgängern ging Gauß auch das Problem an, die Existenz der Wurzeln im Komplexen zu beweisen und nicht stillschweigend vorauszusetzen. Auch dieser Beweis enthält einige analytische Schwächen, die erst später beseitigt werden konnten. Der zweite Beweis, der von Gauß 1815 vorgestellt und ein Jahr später publiziert wurde, baut auf Ideen von Leonhard Euler auf. Dieser induktive Beweis benutzt als analytische Grundlage (nämlich als Induktionsanker), unbewiesen und ohne dass eine Beweisnotwendigkeit gesehen wurde, lediglich den Zwischenwertsatz der reellen Analysis, genauer den Spezialfall, dass jedes Polynom ungeraden Grades immer eine reelle Nullstelle hat. Aus Sicht der „Modernen Algebra“ gehört dieser Beweis in die algebraische Theorie formal reeller Körper bzw. reell abgeschlossener Körper: Siehe hierzu den Abschnitt „Induktiver Beweis mit algebraischen Methoden und dem Zwischenwertsatz“. Der Fundamentalsatz der Algebra erscheint aus dieser Perspektive in der Gestalt: Der Körper der reellen Zahlen ist reell abgeschlossen, das heißt, ist algebraisch abgeschlossen.