mini|300px|Umkreismittelpunkt (blau), Schwerpunkt (grün) und Höhenschnittpunkt (rot) liegen auf einer Geraden
In der Geometrie versteht man unter den ausgezeichneten Punkten (auch: merkwürdigen Punkten oder Zentren) eines Dreiecks in erster Linie die folgenden vier Punkte:
den Höhenschnittpunkt H (Schnittpunkt der Höhen), den Umkreismittelpunkt U (Schnittpunkt der Mittelsenkrechten (Seitensymmetralen)), den Schwerpunkt S (Schnittpunkt der Seitenhalbierenden (Schwerlinien)) und den Inkreismittelpunkt I (Schnittpunkt der Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen)). Die drei erstgenannten Schnittpunkte (H, U und S) liegen immer auf einer Geraden, der eulerschen Geraden. Auf ihr, und zwar in der Mitte zwischen H und U, liegt auch der Mittelpunkt des Feuerbachkreises.
Weitere Punkte nach der Encyclopedia of Triangle Centers
mini|300px|Dreieck mit den „klassischen“ ausgezeichneten Punkten und der eulerschen Geraden Neben den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten eines Dreiecks (Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt, Inkreismittelpunkt, Höhenschnittpunkt), die schon in der Antike bekannt waren, wurden in den letzten Jahrhunderten viele weitere Punkte gefunden und untersucht. Clark Kimberlings Encyclopedia of Triangle Centers (siehe Weblink) führt mehr als 65.000 (Stand 27. August 2024) besondere Punkte und ihre bislang bekannten Eigenschaften auf. Die in diesem Verzeichnis eingeführte Standardbezeichnung, bestehend aus dem Buchstaben X und einem Index, wird heute in vielen Abhandlungen zur Dreiecksgeometrie verwendet. Die folgende Tabelle nennt einige wichtige Beispiele:
Ausgezeichnete Punkte im Dreieck Inkreismittelpunkt Schwerpunkt Umkreismittelpunkt Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) Mittelpunkt des Feuerbach-Kreises Lemoine-Punkt (Symmedianenpunkt, Grebe-Punkt) Gergonne-Punkt Nagel-Punkt Mittenpunkt Spieker-Punkt (Spieker-Zentrum) Feuerbachpunkt (Berührungspunkt von Inkreis und Feuerbachkreis) 1. Fermat-Punkt (u. a. kürzester Abstand zu allen Eckpunkten) 2. Fermat-Punkt 1. isodynamischer Punkt 2. isodynamischer Punkt 1. Napoleon-Punkt 2. Napoleon-Punkt Clawson-Punkt Longchamps-Punkt Schiffler-Punkt Exeter-Punkt Bevan-Punkt Kosnita-Punkt Steiner-Punkt Isoperimetrischer Punkt Punkt des gleichen Umwegs 1. Vecten-Punkt 2. Vecten-Punkt
Verwandte Themen Neben Einzelpunkten lassen sich einem Dreieck auch verschiedene Tupel von Punkten zuordnen: Morley-Dreieck Napoleon-Dreieck Höhenfußpunktdreieck Brocard-Punkte Johnson-Dreieck Kiepert-Dreieck
Spezielle Kreise sind: Umkreis, Inkreis, Ankreise Feuerbach-Kreis (Neun-Punkte-Kreis) Lamoen-Kreis Taylor-Kreis Johnson-Kreise
Weitere spezielle Kegelschnitte sind: Kiepert-Hyperbel Steiner-Ellipse Steiner-Inellipse
Literatur Ilka Agricola, Thomas Friedrich: Elementargeometrie. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2009, ISBN 978-3-8348-0576-8. Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3.
Weblinks Clark Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers faculty.evansville.edu Florian Modler: Merkwürdige Punkte und Linien am Dreieck. In: matheplanet.com. Arndt Brünner: Interaktive Darstellung aller oben genannten Punkte und Objekte am Dreieck, arndt-bruenner.de