mini|400px|Die Sphäre kann mit mehreren Abbildungen „plattgedrückt“ werden. Entsprechend kann die Erdoberfläche in einem Atlas dargestellt werden.

Unter einer Mannigfaltigkeit versteht man in der Mathematik einen topologischen Raum, der lokal dem euklidischen Raum gleicht. Global muss die Mannigfaltigkeit jedoch nicht einem euklidischen Raum gleichen (nicht zu ihm homöomorph sein).

Mannigfaltigkeiten sind der zentrale Gegenstand der Differentialgeometrie; sie haben bedeutende Anwendungen in der theoretischen Physik.

Einführendes Beispiel Ein gern gewähltes Beispiel für eine Mannigfaltigkeit ist eine Sphäre (= Kugeloberfläche), anschaulich etwa die Erdoberfläche:

Jede Region der Erde kann mit einer Karte auf eine Ebene () abgebildet werden. Nähert man sich dem Rand der Karte, soll zu einer anderen Karte gewechselt werden, die das angrenzende Gebiet darstellt. So kann eine Mannigfaltigkeit durch einen vollständigen Satz von Karten vollständig beschrieben werden; man braucht dabei Regeln, wie sich beim Kartenwechsel die Karten überlappen. Dagegen gibt es keine einzelne Karte, auf der die gesamte Kugeloberfläche vollständig dargestellt werden kann, ohne letztere zu „zerreißen“; Weltkarten haben ebenfalls stets „Ränder“, oder sie bilden Teile der Erde zweimal ab. Die Dimension einer Mannigfaltigkeit entspricht der Dimension einer lokalen Karte; alle Karten haben die gleiche Dimension.

Ein anderes Beispiel ist der Torus („Rettungsring“, „Donut“).

Geschichtlicher Überblick

Das Konzept von Mannigfaltigkeiten entstand im 19. Jahrhundert insbesondere durch Forschung in der Geometrie und der Funktionentheorie. Während Differentialgeometer lokale Konzepte wie zum Beispiel die Krümmung von Kurven und Flächen untersuchten, betrachteten Funktionentheoretiker globale Probleme. Sie fanden heraus, dass Eigenschaften von Funktionen mit topologischen Invarianten der Menge für bestimmte zusammenhängen. Diese Mengen sind Mannigfaltigkeiten (vgl. Satz vom regulären Wert).

Der Begriff der Mannigfaltigkeit geht auf Bernhard Riemann zurück. In seinem Habilitationsvortrag Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen, den er 1854 unter anderem vor Carl Friedrich Gauß hielt, führte er den Begriff der Mannigfaltigkeiten ein. Er spricht von discreten und stetigen Mannigfaltigkeiten, die n-fach ausgedehnt sind, beschränkt sich zu dieser Zeit also auf Gebilde, die in den eingebettet sind.Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Auf diesen Mannigfaltigkeiten kann man Winkel und Abstände messen. In späteren Arbeiten entwickelte er die riemannschen Flächen, die wahrscheinlich die ersten abstrakten Mannigfaltigkeiten waren. Mannigfaltigkeiten werden zur Abgrenzung manchmal abstrakt genannt, um auszudrücken, dass sie keine Teilmengen des euklidischen Raums sind.

Henri Poincaré begann in seinen Arbeiten mit der Untersuchung von dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten, während bis dahin überwiegend zweidimensionale Mannigfaltigkeiten (Flächen) behandelt worden waren. Im Jahr 1904 stellte er die nach ihm benannte Poincaré-Vermutung auf. Sie besagt, dass jede einfach-zusammenhängende, kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit homöomorph zur 3-Sphäre ist. Für diese Vermutung veröffentlichte Grigori Jakowlewitsch Perelman im Jahr 2002 einen Beweis, der zwar nicht in einer referierten Fachzeitschrift, sondern nur im Internet veröffentlicht wurde, jedoch von der Fachöffentlichkeit als richtig angesehen wird.

Die heute übliche Definition erschien erstmals 1913 bei Hermann Weyl in Riemannsche Flächen. Jedoch wurden erst durch die Veröffentlichungen von Hassler Whitney aus dem Jahr 1936 Mannigfaltigkeiten zu einem etablierten mathematischen Objekt. Sein wohl bekanntestes Resultat ist der Einbettungssatz von Whitney.

Arten von Mannigfaltigkeiten Topologische Mannigfaltigkeiten Sei ein topologischer Raum. Man nennt eine (topologische) Mannigfaltigkeit der Dimension oder kurz eine -Mannigfaltigkeit, falls die folgenden Eigenschaften erfüllt werden: ist ein Hausdorff-Raum. erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom. ist lokal euklidisch, das heißt, jeder Punkt besitzt eine Umgebung, welche homöomorph zu einer offenen Teilmenge des ist.

Mannigfaltigkeiten erben viele lokale Eigenschaften vom Euklidischen Raum: sie sind lokal wegzusammenhängend, lokalkompakt und lokal metrisierbar. Mannigfaltigkeiten, welche homöomorph zueinander sind, werden als gleich (beziehungsweise äquivalent) angesehen. Daraus entstand die Frage nach der Klassifikation, also die Frage, wie viele nicht äquivalente Mannigfaltigkeiten es gibt.

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Homöomorphismus, Karte und Atlas Um differenzierbare Funktionen zu betrachten, reicht die Struktur einer topologischen Mannigfaltigkeit nicht aus. Es sei eine solche topologische -Mannigfaltigkeit ohne Rand. Ist eine offene Teilmenge von vorgegeben, auf der ein Homöomorphismus zu einer offenen Menge von definiert ist, dann nennt man diesen Homöomorphismus eine Karte. Eine Menge von Karten, deren Urbilder überdecken, heißt Atlas von . Verschiedene Karten induzieren einen Homöomorphismus (einen so genannten Kartenwechsel oder Koordinatenwechsel) zwischen offenen Teilmengen von . Falls für einen Atlas alle solchen Kartenwechsel -mal differenzierbar sind, dann nennt man einen -Atlas. Zwei -Atlanten (derselben Mannigfaltigkeit) nennt man genau dann miteinander verträglich, wenn ihre Vereinigung wieder einen -Atlas bildet. Diese Verträglichkeit ist eine Äquivalenzrelation. Eine -Mannigfaltigkeit ist eine topologische Mannigfaltigkeit zusammen mit einem -Atlas (eigentlich mit einer Äquivalenzklasse von -Atlanten). Glatte Mannigfaltigkeiten sind Mannigfaltigkeiten vom Typ . Sind alle Kartenwechsel sogar analytisch, dann nennt man die Mannigfaltigkeit ebenfalls analytisch oder auch -Mannigfaltigkeit.

Auf einer -Mannigfaltigkeit nennt man eine Funktion genau dann -mal differenzierbar (), wenn sie auf jeder Karte -mal differenzierbar ist.

Zu jeder (parakompakten) -Mannigfaltigkeit () existiert ein Atlas, der beliebig oft differenzierbar oder sogar analytisch ist. In der Tat ist diese Struktur sogar eindeutig, das heißt, es ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, anzunehmen, dass jede Mannigfaltigkeit analytisch ist (wenn man von differenzierbaren Mannigfaltigkeiten redet).

Diese Aussage ist aber für topologische Mannigfaltigkeiten der Dimension oder höher nicht mehr unbedingt richtig: So gibt es sowohl -Mannigfaltigkeiten, die keine differenzierbare Struktur besitzen, als auch -Mannigfaltigkeiten (oder auch -Mannigfaltigkeiten, s. o.), die als differenzierbare Mannigfaltigkeiten unterschiedlich, aber als topologische Mannigfaltigkeiten gleich sind. Das bekannteste Beispiel für den zweiten Fall sind die so genannten exotischen -Sphären, die alle homöomorph zu (aber untereinander nicht diffeomorph) sind. Da die topologische und die differenzierbare Kategorie in niedriger Dimension übereinstimmen, sind solche Resultate nur schwer zu veranschaulichen.

Tangentialbündel

An jedem Punkt einer -dimensionalen, differenzierbaren (aber nicht einer topologischen) Mannigfaltigkeit findet man einen Tangentialraum. In einer Karte heftet man an diesen Punkt einfach einen an und überlegt sich dann, dass das Differential eines Koordinatenwechsels an jedem Punkt einen linearen Isomorphismus definiert, der die Transformation des Tangentialraums in die andere Karte leistet. Abstrakt definiert man den Tangentialraum an entweder als den Raum der Derivationen an diesem Punkt oder den Raum von Äquivalenzklassen von differenzierbaren Kurven (wobei die Äquivalenzrelation angibt, wann die Geschwindigkeitsvektoren zweier Kurven an gleich sein sollen).

Die Vereinigung aller Tangentialräume einer Mannigfaltigkeit bildet ein Vektorbündel, das Tangentialbündel genannt wird. Der Tangentialraum einer Mannigfaltigkeit im Punkt wird meist mit bezeichnet, das Tangentialbündel mit .

Komplexe Mannigfaltigkeiten

Eine topologische Mannigfaltigkeit heißt komplexe Mannigfaltigkeit der (komplexen) Dimension , falls jeder Punkt eine offene Umgebung hat, die homöomorph zu einer offenen Menge ist. Ferner fordert man, dass für je zwei Karten der Kartenwechsel

holomorph ist. Hierbei bezeichne die Menge .

Der wesentliche Unterschied zu gewöhnlichen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten liegt weniger im Unterschied zwischen und , sondern in der viel stärkeren Forderung der komplexen Differenzierbarkeit der Kartenwechselabbildungen.

(Zusammenhängende) Komplexe Mannigfaltigkeiten der Dimension 1 werden als Riemannsche Flächen bezeichnet. Andere spezielle komplexe Mannigfaltigkeiten sind die Steinschen Mannigfaltigkeiten und die Kählermannigfaltigkeiten, die komplexe, riemannsche Mannigfaltigkeiten sind.

Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Um auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit von Längen, Abständen, Winkeln und Volumen zu sprechen, benötigt man eine zusätzliche Struktur. Eine Riemannsche Metrik (auch Metrischer Tensor genannt) definiert im Tangentialraum jedes Punktes der Mannigfaltigkeit ein Skalarprodukt. Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer riemannschen Metrik heißt Riemannsche Mannigfaltigkeit. Durch die Skalarprodukte sind zunächst Längen von Vektoren und Winkel zwischen Vektoren definiert, davon ausgehend dann auch Längen von Kurven und Abstände zwischen Punkten auf der Mannigfaltigkeit.

Ist statt eines Skalarprodukts in jedem Tangentialraum nur eine (nicht notwendig symmetrische) Norm definiert, so spricht man von einer Finsler-Metrik und einer Finsler-Mannigfaltigkeit. Auf Finsler-Mannigfaltigkeiten sind Längen und Abstände definiert, nicht aber Winkel.

Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Andere Verallgemeinerungen riemannscher Mannigfaltigkeiten sind Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten (auch Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten genannt), die zum Beispiel in der Allgemeinen Relativitätstheorie auftreten.

Hier braucht die durch die Metrik in jedem Tangentialraum definierte symmetrische Bilinearform nicht positiv definit zu sein, sondern nur nicht-ausgeartet. Nach dem Trägheitssatz von Sylvester lässt sich eine solche Bilinearform als Diagonalmatrix mit Einträgen von darstellen. Sind dann Einträge +1 und Einträge -1, spricht man von einer Metrik mit Signatur . Ist die Signatur der Metrik (oder nach einer anderen Konvention ), wobei die Dimension der Mannigfaltigkeit ist, so spricht man von einer Lorentz-Mannigfaltigkeit. In der Allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit durch eine vierdimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit, also mit der Signatur (3,1) (bzw. (1,3)), beschrieben.

Banach-Mannigfaltigkeit

Eine Banach-Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt und der lokal homöomorph zu einem beliebigen Banachraum ist und die übliche Kartenwechsel-Bedingung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit erfüllt. Die Kartenwechsel können frechet-differenzierbar und die Dimension dieser Mannigfaltigkeiten kann unendlichdimensional sein. Somit kann dieser Typ Mannigfaltigkeit als Verallgemeinerung einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstanden werden.

Lie-Gruppen

Eine Lie-Gruppe ist sowohl eine differenzierbare Mannigfaltigkeit als auch eine Gruppe, wobei die Gruppenmultiplikation (beziehungsweise Addition) und das Invertieren eines Gruppenelements differenzierbare Abbildungen sein müssen. Der Tangentialraum einer Lie-Gruppe am neutralen Element ist bezüglich des Kommutators abgeschlossen und bildet eine zur Lie-Gruppe assoziierte Lie-Algebra.

Ein einfaches Beispiel für eine nicht kompakte Lie-Gruppe ist der euklidische Vektorraum zusammen mit der normalen Vektorraumaddition. Die unitäre Gruppe ist ein Beispiel einer kompakten Lie-Gruppe (man kann sich diese Mannigfaltigkeit als einen Kreis vorstellen und die Gruppenoperation ist eine Drehung dieses Kreises). In der Physik (siehe Quantenchromodynamik) kommen vor allem die Gruppen vor, die „speziellen unitären Gruppen der Ordnung “ (z. B. ).