rechts In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz oder Tangentensatz eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her.
Formulierung Für die drei Seiten , und eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel , und gilt:
Die in Beziehung gesetzten Seiten und des Dreiecks seien dabei als unterschiedlich lang vorausgesetzt, so dass die beteiligten Nenner stets sind. Entsprechendes gilt im Folgenden für alle weiteren Formeln.
Wegen
kann man diese Formel auch schreiben als
Analoge Formeln für und erhält man durch zyklische Vertauschung:
Wegen bleiben diese Formeln gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also zum Beispiel:
Beweis
Beweis mit Sinussatz und Identitäten der Winkelfunktionen Nach dem Sinussatz gilt und damit folgt
nach Einsetzen der Identitäten
sowie
die sich aus den Additionstheoremen ableiten lassen, ergibt sich durch Einsetzen in die obere Gleichung der Tangenssatz:
Beweis mit Mollweideschen Formeln Aus der Winkelsumme im Dreieck und dem Übergang zum Komplementärwinkel des Tangens folgt:
Aus den Mollweideschen Formeln folgt daraus der Tangenssatz:
Verallgemeinerung für Sehnenvierecke
Eine Verallgemeinerung des Tangenssatzes gilt für Sehnenvierecke . Für die Seitenlängen , , , und die Winkelgrößen , gilt:
Diese Formel reduziert sich für auf den Tangenssatz für Dreiecke.
Tangenssatz für Kugeldreiecke Für Kugeldreiecke gelten die GleichungenWolfram: Spherical Law of TangentsRob Johnson, West Hills Institute of Mathematics: Spherical Trigonometry
Dabei sind , und die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und , und die gegenüberliegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.
Geschichte
Der Tangenssatz wurde von dem persischen Mathematiker Abu l-Wafa im 10. Jahrhundert entdeckt.
Auch Ibn Muʿādh al-Dschaiyānī beschrieb im 11. Jahrhundert den Tangenssatz für ebene Dreiecke.
Der Tangenssatz für sphärische Dreiecke wurde im 13. Jahrhundert von dem persischen Mathematiker Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274) beschrieben, der in seiner fünfbändigen "Abhandlung über das Viereck" auch den Sinussatz für ebene Dreiecke präsentierte.
Siehe auch Sinussatz Kosinussatz Formelsammlung Trigonometrie
Literatur
Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. Springer 2007, S. 129 () Johannes Tropfke: Geschichte der Elementarmathematik. Band 5. I: Ebene Trigonometrie. II: Sphärik und sphärische Trigonometrie. Walter de Gruyter, 1923, ISBN 3-11-144776-6, S. 79–82, doi:10.1515/9783111447766.70,
Weblinks
Einzelnachweise
Hinweise
Kategorie:Trigonometrie Kategorie:Satz (Geometrie)