Chaosforschung

Die Chaosforschung oder Chaostheorie bezeichnet ein nicht klar umgrenztes Teilgebiet der nichtlinearen Dynamik bzw. der dynamischen Systeme innerhalb der mathematischen Physik oder angewandten Mathematik.

Im Wesentlichen beschäftigt sie sich mit Ordnungen in speziellen dynamischen Systemen, deren zeitliche Entwicklung unvorhersagbar erscheint, obwohl die zugrundeliegenden Gleichungen eigentlich deterministisch sind. Dieses Verhalten wird als deterministisches Chaos bezeichnet und entsteht, wenn Systeme empfindlich von den Anfangsbedingungen abhängen: Wiederholungen eines Experimentes können dabei aufgrund minimaler, kaum unterscheidbarer Ausgangsbedingungen im Langzeitverhalten zu höchst unterschiedlichen Messergebnissen führen (die Chaostheorie besagt also nicht, dass tatsächlich identische Anfangsbedingungen zu verschiedenen Ergebnissen führen würden). Chaotische dynamische Systeme sind nichtlinear.

Als einführendes Beispiel wird oft auf das magnetische Pendel oder das Doppelpendel verwiesen. Andere Beispiele sind der Schmetterlingseffekt S. 91. beim Wetter, Turbulenzen, Wirtschaftskreisläufe, bestimmte Musterbildungsprozesse, wie Erosion, die Entstehung eines Verkehrsstaus, neuronale Netze sowie bestimmte Phänomene beim Laser.Tito Arecchi, Riccardo Meucci: Chaos in lasers, Scholarpedia 2008

Die Chaosforschung basiert unter anderem auf Arbeiten von Henri Poincaré, Edward N. Lorenz, Benoît Mandelbrot und Mitchell Feigenbaum. Die hier dargestellten Phänomene entsprechen dem Minimalkonsens darüber, was thematisch zur Chaosforschung zählt.

Grundlagen mini|Klassifikation des Verhaltens eines magnetischen Pendels über drei Magneten; jede Stelle entspricht einem Startpunkt für die Pendelbewegung. Die Farbe charakterisiert den Magneten, an dem das Pendel zum Stillstand kommt. Je heller die Farbe, umso früher ist das der Fall. Die drei hellsten Stellen markieren daher die Positionen der Magnete.

Die Chaostheorie beschreibt das zeitliche Verhalten von Systemen mit deterministisch chaotischer Dynamik. Versucht man Experimente identisch zu wiederholen, so ist das in der Praxis nicht möglich, da auf Grund unvermeidbarer Messungenauigkeiten – und durch Rauschen – die Ausgangssituation nicht identisch wiederhergestellt werden kann. Falls ein System deterministisch chaotisch ist, so kann das System nach hinreichend langer Zeit trotz experimentell fast identischer (bzw. bestmöglich identischer) Ausgangssituationen zu deutlich anderen Endzuständen bzw. Messergebnissen führen.

Dies wird als „sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen“ bezeichnet. Am Computer können solche Systeme simuliert werden und diese Simulationen prinzipiell identisch oder mit kleinen Abweichungen wiederholt werden. Die Sensitivität der Anfangsbedingung tritt hier in der Form auf, dass, wenn man z. B. die Genauigkeit der Startbedingung geringfügig ändert, das Ergebnis der Simulation grundlegend modifiziert wird. Dies liegt daran, dass anfangs beliebig dicht liegende Trajektorien am Ende der Simulation diese Eigenschaft nicht mehr besitzen. (Mathematisch: Die Stetigkeit der Abbildung ist zwar für kleine Zeiten gegeben, im Limes großer Zeiten aber nicht mehr.)

In der nebenstehenden Abbildung sind die durch Punkte in der Ebene charakterisierten Anfangsbedingungen je nach Endzustand unterschiedlich gefärbt. Es gibt einerseits Bereiche (hier: im Außengebiet), die fraktale Strukturen bilden, obwohl die zugehörigen Anfangsbedingungen mit verschiedenen Endzuständen beliebig dicht liegen und andererseits deterministische Bereiche (hier: mehr im Innern), also Gebiete, in denen benachbarte Anfangsbedingungen alle den gleichen Endzustand haben.

Anders als der Begriff Chaos in der Umgangssprache verwendet wird, befasst sich die Chaostheorie nicht mit Systemen, die dem Zufall unterliegen (also stochastischen Systemen), sondern mit dynamischen Systemen, die mathematisch beschreibbar sind und sich prinzipiell deterministisch verhalten. Des Weiteren ist die Chaostheorie abzugrenzen von der Theorie komplexer Systeme, da auch sehr einfache Systeme chaotisches Verhalten zeigen können.

Definition Ein dynamisches System heißt chaotisch, wenn eine -invariante Menge existiert, d. h. für jedes und jedes ist , für die gilt: besitzt sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen auf . ist topologisch transitiv auf :Zu allen offenen Mengen mit existiert ein , sodass .mit Die periodischen Orbits von liegen dicht in .

Grenzen der Vorhersagbarkeit Liegt chaotisches Verhalten vor, dann führen selbst geringste Änderungen der Anfangswerte nach einer endlichen Zeitspanne, die vom betrachteten System abhängt, zu einem völlig anderen Verhalten (sensitive Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen). Es zeigt sich also ein nichtvorhersagbares Verhalten, das sich zeitlich scheinbar irregulär entwickelt. Dabei kann das Verhalten des Systems bei bestimmten Anfangswerten (bzw. in deren Nachbarschaft) völlig regulär sein, wenn es sich z. B. um einen periodischen Orbit handelt.

Jede auch noch so kleine Änderung der Anfangswerte kann jedoch nach hinreichend langer Zeit zu einem ganz anderen Verhalten führen, das auch vollkommen unregelmäßig erscheinen kann. Um das Systemverhalten für eine bestimmte zukünftige Zeit berechnen zu können, müssten die Anfangsbedingungen deshalb mit unendlich genauer Präzision bekannt sein und berechnet werden, was praktisch unmöglich ist. Obwohl auch solche Systeme deterministisch und damit prinzipiell bestimmbar sind, sind daher praktische Vorhersagen nur für mehr oder weniger kurze Zeitspannen möglich.Charlotte Werndl: What are the New Implications of Chaos for Unpredictability? (2009). In: The British Journal for the Philosophy of Science. S. 60, 195–220.

Dieses Phänomen ist auch unter dem Schlagwort Schmetterlingseffekt in der Öffentlichkeit bekannt geworden.

Quantentheorie, Determinismus und Unschärfe Im Folgenden wird die Determiniertheit der Quantenmechanik (und ihre Grenzen durch die Heisenbergsche Unschärferelation) auf Grundlage der Kopenhagener Deutung erläutert. Für alle anderen Interpretationen der Quantenmechanik, beispielsweise die De-Broglie-Bohm-Theorie, ist der folgende Abschnitt nur begrenzt korrekt.

Während im Sinne der klassischen Physik die Vorhersagbarkeit realer komplexer Systeme an praktisch nie vollkommen exakten Messungen der Anfangsbedingungen scheitert, zeigt die Berücksichtigung der Erkenntnisse der Quantenphysik, dass deren Verhalten prinzipiell nicht determiniert ist. So besagt die Heisenbergsche Unschärferelation, dass Ort und Impuls eines Objektes nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmbar sind; diese Einschränkung bezieht sich nicht auf Unzulänglichkeiten des Beobachtungsvorgangs (z. B. ungenaue Messung), sondern ist prinzipieller Natur. Diese Unschärfe ist bei makroskopischen Systemen gewöhnlich vernachlässigbar. Da ihre Auswirkungen bei chaotischen Systemen jedoch beliebig wachsen, nehmen sie früher oder später makroskopische Dimensionen an (vgl. Schmetterlingseffekt). Bei dem Gerät zur Ziehung der Lottozahlen mit Kugeln ist das bereits nach etwa 20 Stößen der Fall. Die Vorhersagbarkeit chaotischer Systeme scheitert daher spätestens an der Unschärferelation (weil sie verbietet, dass die Anfangsbedingungen beliebig genau gemessen werden können). Das bedeutet, dass reale Systeme – im Gegensatz zu den sie beschreibenden mathematischen Modellen – prinzipiell nicht im klassischen Sinn deterministisch sein können.

Nichtlineare Systeme Chaotisches Verhalten kann nur in Systemen auftreten, deren Dynamik durch nichtlineare Gleichungen beschrieben wird. Solche Gleichungen sind meist nicht analytisch, d. h. nicht durch Angabe expliziter Größen, sondern nur numerisch lösbar. Ursache des exponentiellen Wachstums von Unterschieden in den Anfangsbedingungen sind dabei oft Mechanismen von Selbstverstärkung beispielsweise durch Rückkopplungen.

Ist durch Reibung hinreichend Dissipation im Spiel, so kann sich in der Regel kein chaotisches Verhalten ausbilden. So könnten beispielsweise bei Jahrmarktsfahrgeschäften, die konstruktionsbedingt zu chaotischem Verhalten neigen, ohne entsprechende Bremsmaßnahmen unerwartete und unzumutbare Beschleunigungsspitzen auftreten.

Dass dissipative Terme nicht ausschließlich stabilisierend wirken, zeigt sich am Beispiel einer Grenzschicht.

Mit der linearen Stabilitätstheorie lässt sich zeigen, dass erst der Einfluss der Reibung das Wachstum kleiner Störungen ermöglicht. Dieses exponentielle Anwachsen stellt die erste Phase des laminar-turbulenten Umschlags dar.

Diskrete Systeme mini|hochkant=1.6|Eine Julia-Menge

Bisher wurde nur das Verhalten zeitlich kontinuierlicher physikalischer Systeme betrachtet. Chaos wird jedoch auch in Modellen studiert, bei denen jeder Zustand durch einen Iterationsschritt diskret in den Folgezustand übergeht, mathematisch: Beispiele sind die logistische Gleichung oder die Iterationsvorschrift, die zu Julia-Mengen führt. Dabei können die gleichen Grundphänomene wie bei kontinuierlichen Systemen auftreten.

Im Prinzip lässt sich einem kontinuierlichen System durch die Betrachtung bestimmter aufeinanderfolgender Zustände stets ein diskretes System zuordnen. Ein Verfahren ist die sogenannte Poincaré-Abbildung, mit der Henri Poincaré Ende des 19. Jahrhunderts die Stabilität der Planetenbewegung studierte.

Phänomene Ein wesentliches Ergebnis der Chaosforschung ist die Entdeckung, dass chaotische Systeme trotz ihres langfristig nicht vorhersagbaren, scheinbar irregulären Verhaltens bestimmte typische Verhaltensmuster zeigen. Da sie bei völlig unterschiedlichen Systemen beobachtet werden, sind sie von universeller Bedeutung.

Seltsame Attraktoren Ein typisches Phänomen bei chaotischen Prozessen sind sogenannte Seltsame Attraktoren. Für ihr Verständnis betrachtet man die Dynamik des Systems anhand von sogenannten Phasenraumdiagrammen.

Phasenraumdiagramme Phasenraumdiagramme bieten einen anschaulichen Überblick über die Dynamik eines Systems. Der Zustand des Systems wird dabei zu jedem Zeitpunkt durch einen Punkt in einem Raum dargestellt, dessen Koordinatenachsen durch den Satz von unabhängigen Zustandsgrößen des Systems und deren Geschwindigkeiten gegeben sind. Die Dynamik lässt sich damit als die Bahn dieses Punktes im Phasenraum interpretieren. So wird beispielsweise der Phasenraum eines Pendels durch den Auslenkwinkel und die zugehörige Winkelgeschwindigkeit aufgespannt, und eine periodische Pendelbewegung entspricht einer geschlossenen Kurve um den Koordinatenursprung. Mathematisch lässt sich die Gesamtheit aller möglichen Verhaltensweisen als Strömungsfeld im Phasenraum interpretieren.

Attraktoren In manchen Fällen streben Systeme mit verschiedenen Anfangsbedingungen zu demselben Verhalten. Die zugehörigen Bahnen im Phasenraum konvergieren dann zu einer bestimmten Bahn, die als Attraktor bezeichnet wird. Bei einem freien Pendel mit Reibung wäre das der Ruhezustand, das heißt der Koordinatenursprung im Phasendiagramm, zu dem alle Bahnen spiralförmig hinstreben. In diesem Fall handelt es sich um einen punktförmigen Attraktor, einen Fixpunkt. Attraktoren können jedoch auch Kurven sein, wie beispielsweise der periodische Grenzzyklus, der sich bei einem Pendel mit Reibung einstellt, das durch eine äußere periodische Kraft zu Schwingungen angeregt wird. Dieses Verhalten ist typisch für dissipative Systeme. Mathematisch betrachtet können Attraktoren immer dann auftreten, wenn die Divergenz des Strömungsfeldes in Bereichen des Phasenraums negativ ist. Fixpunkte und Grenzzyklen mit positiver Divergenz heißen Repeller.

Der seltsame Attraktor