In der Zahlentheorie spricht man von Smarandache-Konstanten (nach Florentin Smarandache) in zwei Zusammenhängen, einmal bei der Andricaschen Vermutung, andererseits bei der Smarandache-Funktion. Die beiden Definitionen haben außer ihrem Namensgeber nichts gemein.
{| class="toptextcells" |1.ext |Bezeichnet die -te Primzahl, so besagt die Andricasche Vermutung, dass für alle
Diese Vermutung lässt sich wie folgt verallgemeinern:
Diese Obergrenze für , ungefähr , wird oft als die Smarandache-Konstante bezeichnet. ist Lösung der Gleichung . |- |2. |Die Smarandache-Funktion ist wie folgt definiert: ist die kleinste natürliche Zahl, für die durch teilbar ist. Ist zum Beispiel der Wert gesucht, ist die kleinste der Zahlen 1!, 2!, 3!, ... zu suchen, die durch 8 teilbar ist; das ist 4!=24=3·8, daher ist . Es wurden nun diverse konvergente Reihen untersucht, die die Werte dieser Funktion verwenden. Derartige Grenzwerte werden dann erste, zweite, ... Smarandache-Konstanten genannt.
Smarandache-Konstanten
Die erste Smarandache-Konstante ist definiert durch
Deren Konvergenz ist mit und der eulerschen Zahl als Obergrenze leicht einzusehen: .
Die Nachkommastellen bilden .
Die zweite Smarandache-Konstante ist
Für diese ist außerdem beweisen, dass sie irrational ist; sie ist .
Die dritte Smarandache-Konstante ist dann
Ihre Nachkommastellen ergeben die .
Ferner konvergiert folgende Reihe für alle reellen Zahlen :
Die ersten Werte für natürliche :
{| class="wikitable" ! !
|1 |1,7287576053... |() |- |2 |4,5025120061... |() |- |3 |13,011144194... |()
Andere Autoren bewiesen, dass
ebenfalls einen Grenzwert hat. Die nächste Konstante,
konvergiert gegen einen Wert .
Allgemeiner konvergieren sogar
für natürliche (bzw. ganze) .
Außerdem konvergiert
Zwei weitere Reihen sind
und
Diese konvergieren für alle .
Sei eine Funktion, für die gilt
wobei natürlich und konstant sein sollen; bezeichne die Anzahl der Teiler von . Dann gilt:
ist konvergent.
Außerdem ist auch
konvergent, ebenso wie
für .
Eine weitere konvergente Reihe ist
Schließlich konvergiert auch
für alle .
Referenzen
Einen Überblick geben
Smarandache Function in PlanetMath Constant involving the Smarandache Function: http://fs.gallup.unm.edu//CONSTANT.TXT
Detaillierte Arbeiten sind I.Cojocaru, S. Cojocaru: The First Constant of Smarandache. in: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB) S. 116–118. dies. ebd. The Second Constant of Smarandache: S. 119–120; und The Third and Fourth Constants of Smarandache: S. 121–126.
E. Burton: On Some Series Involving the Smarandache Function. In: Smarandache Function Journal 6 (1995) (PDF; 2,6 MB), S. 13–15.
E. Burton: On Some Convergent Series. In: Smarandache Notions Journal 7 (1996) (PDF; 5,4 MB): S. 7–9.
A.J. Kempner: Miscellanea, in: The American Mathematical Monthly, Vol. 25, No. 5 (Mai 1918), S. 201–210. jstor
J. Sandor: On The Irrationality Of Certain Alternative Smarandache Series In: Smarandache Notions Journal 8 (1997) (PDF; 8,8 MB) S. 143–144.
Kategorie:Zahlentheorie Kategorie:Folge ganzer Zahlen