Die Rundung oder auch das Runden ist die Ersetzung einer Zahl durch einen Näherungswert, der gewünschte Eigenschaften hat, welche der ursprünglichen Zahl fehlen.
Man rundet, um Zahlen mit Nachkommastellen leichter lesbar zu machen; die beschränkte Anzahl darstellbarer Stellen einzuhalten (auch bei Gleitkommazahlen); den Wert irrationaler Zahlen wenigstens ungefähr anzugeben, etwa der Kreiszahl ; um der Genauigkeit eines Ergebnisses Rechnung zu tragen und dadurch Scheingenauigkeit zu vermeiden; dafür werden nicht nur Nachkommastellen gerundet, sondern auch große Ganzzahlen ohne Verkürzung der Darstellung. Zum Beispiel rundet die Bundesagentur für Arbeit die errechnete Anzahl der Arbeitslosen auf volle 100. Hier bleibt die Anzahl der dargestellten Ziffern unverändert, aber die letzten zwei Stellen werden als nicht signifikant angedeutet; eine gegebene Zahl an die darstellbare oder zu benutzende Einheit anzupassen. Beispiele sind beim Bargeld die kleinste Münze, beim Buchgeld die kleinste rechnerische Währungseinheit, bei Küchenwaagen ganze Gramm, bei Sitzzuteilungsverfahren für die Verhältniswahl ganze Mandate.
Wird eine positive Zahl vergrößert, so spricht man von „aufrunden“; wird sie verkleinert, von „abrunden“. Bei negativen Zahlen sind diese Wörter doppeldeutig. Werden Nachkommastellen nur weggelassen, spricht man von „abschneiden“.
Das Zeichen „ungefähr gleich“ ( ≈ ) kann darauf hinweisen, dass die nachfolgende Zahl gerundet ist. Es wurde 1892 von Alfred George Greenhill eingeführt.Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling: Linear Algebra as an Introduction to Abstract Mathematics. World Scientific, Singapur 2016, ISBN 978-981-4730-35-8, S. 186.
Rundungsregeln Kaufmännisches Runden Das Kaufmännische Runden (nichtnegativer Zahlen) geschieht wie folgt: Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, dann wird abgerundet. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9, dann wird aufgerundet. Diese Rundungsregel wird durch die Norm DIN 1333 beschrieben. Das Runden wird so auch häufig bereits in der Grundschule gelehrt. Auf Englisch heißt dieses Runden Round Half Up, und nicht Bankers' Rounding.
Beispiele (jeweils Rundung auf zwei Nachkommastellen): 13,3749… € ≈ 13,37 € 13,3750… € ≈ 13,38 €
Negative Zahlen werden nach ihrem Betrag gerundet, bei einer 5 also weg von null (engl: Away from Zero): −13,3749… € ≈ −13,37 € −13,3750… € ≈ −13,38 €
Das Kaufmännische Runden wird im juristischen Umfeld teilweise auch als Bürgerliches Runden bezeichnet und z. B. in des Beamtenversorgungsgesetzes so erklärt:
Symmetrisches Runden Kaufmännisches und symmetrisches Runden unterscheiden sich voneinander nur darin, wohin eine Zahl genau in der Mitte zwischen zwei Zahlen mit der gewählten Anzahl von Dezimalziffern gerundet wird.
Die symmetrische (oder geodätische, mathematische, unverzerrte, wissenschaftliche) (PDF; 118 kB) Universität Augsburg, C. Bescherer. Rundung kann wie folgt definiert werden:Ilja N. Bronstein et al.: Taschenbuch der Mathematik, ISBN 978-3808557891. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 0, 1, 2, 3 oder 4, so wird abgerundet. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 6, 7, 8, 9, oder eine 5 auf die weitere Ziffern ungleich 0 folgen, so wird aufgerundet. Ist die Ziffer an der ersten wegfallenden Dezimalstelle eine 5 auf die keine weiteren Ziffern ungleich 0 folgen, so wird derart gerundet, dass die letzte beizubehaltende Ziffer gerade wird („Gerade-Zahl-Regel“).
Diese Art der Rundung wird in numerischer Mathematik, Ingenieurwissenschaft und Technik verwendet. Sie ist im IEEE-754-Standard für das Rechnen mit binären Gleitkommazahlen in Computern vorgesehen. In englischsprachiger Literatur heißt sie Round to Even oder Banker’s Rounding.How To Implement Custom Rounding Procedures – Article 196652, Microsoft Support (2004).
Beispiele (Rundung auf eine Nachkommastelle): 2,2499 ≈ 2,2 (nach Regel 1) 2,25 ≈ 2,2 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet) 2,2501 ≈ 2,3 (nach Regel 2) 2,35 ≈ 2,4 (nach Regel 3 zur geraden Ziffer hin gerundet) 2,45 ≈ 2,4 (nach Regel 3 werden die Zahlen 2,45 und 2,35 auf dieselbe Zahl gerundet)
Das im vorherigen Abschnitt beschriebene kaufmännische Runden erzeugt kleine systematische Fehler, da das Aufrunden um 0,5 vorkommt, das Abrunden um 0,5 jedoch nie; das kann Statistiken geringfügig verzerren. Die hier beschriebene mathematische Rundung rundet von der genauen Mitte zwischen zwei Ziffern immer zur nächsten geraden Ziffer auf oder ab. Dadurch wird im Mittel etwa ebenso oft auf- wie abgerundet, zumindest wenn die Ursprungszahlen stochastisch sind. (Gegenbeispiel: Sind kleine Zahlen häufiger als große, kann systematisch häufiger nach unten als nach oben gerundet werden, siehe Benfordsches Gesetz.)
Summenerhaltendes Runden Beim summenerhaltenden Runden werden die Summanden so gerundet, dass deren Summe gleich der gerundeten Summe der Summanden ist. Dabei kann es erforderlich sein, manchen Summanden vom nächstgelegenen gerundeten Wert weg zu runden.
Wichtige Anwendungen sind die Sitzzuteilung bei der Verhältniswahl und die Aufteilung der gesamten Mehrwertsteuer in einer Rechnung auf deren einzelnen Posten.
Gründlich erforscht ist der Fall, dass alle Summanden positiv sind, siehe Sitzzuteilungsverfahren.
Für Summanden mit beiderlei Vorzeichen kann man das dortige Hare/Niemeyer-Verfahren verallgemeinern: Man rundet alle Zahlen auf die nächstliegenden runden Zahlen, und solange die Summe zu groß (oder zu klein) ist, wählt man von den aufgerundeten (beziehungsweise abgerundeten) Zahlen eine derjenigen mit der größten Aufrundung (bzw. dem größten Betrag der Abrundung) und ändert ihre Rundung in die entgegengesetzte Richtung. Damit wird die Summe der Beträge der Änderungen minimal.
Umgang mit gerundeten Zahlen Runden bereits gerundeter Zahlen Ist die Ausgangszahl bereits das Ergebnis einer Rundung, so muss für den Grenzfall, dass die neue Rundungsstelle 5 ist (und alle Stellen danach Nullen), wenn möglich auf die ungerundete Zahl zurückgegriffen werden (etwa bei mathematischen Konstanten): ungerundete Zahl bekannt: 13,374999747, gerundete Ausgangszahl: 13,3750 → Rundung der ungerundeten Zahl auf zwei Nachkommastellen ergibt: 13,37 ungerundete Zahl unbekannt, gerundete Ausgangszahl: 13,3750 → Rundung der zuvor bereits gerundeten Zahl auf zwei Nachkommastellen ergibt: 13,38.
Kennzeichnung von Rundungsergebnissen In wissenschaftlichen Arbeiten und Logarithmentafeln wird manchmal kenntlich gemacht, ob die letzte Ziffer durch Auf- oder Abrunden erhalten wurde. Eine Ziffer, die durch Aufrunden erhalten wurde, wird mit einem Strich unter (oder auch oberhalb) der Ziffer kenntlich gemacht, eine Ziffer, die durch das Runden nicht verändert wurde (die Zahl wurde also abgerundet), wird mit einem Punkt über der Ziffer gekennzeichnet.
Beispiele: wird zu ; diese Zahl wird beim erneuten Runden zu . Beim erneuten Runden (im Beispiel auf drei Stellen nach dem Komma) ist also abzurunden. wird zu ; diese Zahl wird beim erneuten Runden zu , deutlicher . Beim erneuten Runden (im Beispiel auf drei Stellen nach dem Komma) ist also aufzurunden. Für weiteres Runden (hier auf zwei Stellen) wäre abzurunden, angedeutet durch 5. Sind keine weiteren Stellen bekannt, so wird die Ausgangszahl als exakt angenommen.
Rechnen mit gerundeten Zahlen Werden gerundete Zahlen in eine Berechnung einbezogen, dann muss auch der Einfluss der Rundung auf das Endergebnis berücksichtigt werden. Abhängig davon, wie die gerundete Zahl in die Berechnung eingeht (z. B. linear, quadratisch, exponentiell oder auch nur als Summand), muss auch die Zahl der signifikanten Stellen des Ergebnisses begrenzt werden. Eine genaue Betrachtung wird entsprechend der Unsicherheitsfortpflanzung bei Messunsicherheiten durchgeführt. Eine häufig angewendete einfache Faustregel besagt, dass das Endergebnis auf die gleiche Anzahl signifikanter Stellen gerundet werden soll wie die gerundete Zahl. Wenn z. B. eine Kraft mit 12,2 Newton gemessen wird, dann werden alle Endergebnisse, die von dieser Kraft abhängen, so gerundet, dass maximal drei signifikante Stellen übrig bleiben. So wird dem Leser nicht eine höhere Genauigkeit vorgetäuscht, als wirklich vorhanden ist. Diese Regel ist allerdings nur dann problemlos anwendbar, wenn das Endergebnis proportional zur gerundeten Zahl ist.
Rundungsregeln formal Gerade das kaufmännische Runden wird so erklärt, dass auch Kinder es verstehen. Dafür muss man nur Preise von Waren und Gehältern in der Kommaschreibweise kennen. Selbst im Kapitel „Elementarmathematik“ des Taschenbuchs der Mathematik von Bronstein/Semendjajew werden etwas kompliziertere Rundungsregeln ohne Zuhilfenahme tieferer mathematischer Ausdrucksweisen formuliert, allerdings von mathematischen Erläuterungen begleitet. Im vorliegenden Abschnitt kommen einige dieser und einige andere mathematische Gesichtspunkte zur Sprache.
Endliche und unendliche Ziffernfolgen Bronstein/Semendjajew erörtern das Ab- oder Aufrunden anhand formaler Zahlwörter – Zeichenketten in einem (dezimalen) Stellenwertsystem, nicht zu verwechseln mit der Wortart. Positive Dezimalbrüche (im engeren Sinne, ) können als
geschrieben werden (oder umgekehrt). Hierbei gibt es Stellen vor dem Komma (allgemeiner Trennzeichen) und Stellen danach. sind aus dem Ziffernvorrat {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Andere positive reelle Zahlen können durch Dezimalbrüche (als Näherungswerte) beliebig genau angenähert werden, vgl. Darstellungen verschiedener Zahlenarten und Dezimalbruchentwicklung. Die Koeffizienten der Dezimalbruchentwicklung
einer solchen Zahl ergeben dann eine unendlich lange (durch ein Komma bzw. Trennzeichen unterbrochene) Folge von Ziffern . Hierbei ist jeweils die Zahl der Ziffernwert von – 0 hat den Ziffernwert , 1 hat den Ziffernwert usw. Mit
ist die Folge der Näherungswerte monoton steigend und durch nach oben beschränkt. Mehr noch: der Abbruchfehler geht gegen 0, somit konvergiert gegen . Ist
jeweils die darstellende Zeichenkette, so ist für die Zeichenkette ein Präfix der Zeichenkette , von der unendlich langen, darstellenden Zeichenkette – salopp – ist es etwas Ähnliches, Bronstein/Semendjajew nennen es informell ein „Anfangsstück“ von letzterer. Dasselbe wie für lässt sich von sagen (Komma und Nachkommastellen fehlen).
Die Aussagen über und treffen aber auch zu, wenn durch eine endliche Zeichenkette mit Nachkommastellen darstellbar ist. In diesem Fall sind für die Koeffizienten und die Ziffern 0. Diese Betrachtungsweise ist auch für die Formulierung von Rundungsregeln hilfreich.
Für negative Zahlen gilt das Entsprechende mit vorangestelltem Minuszeichen usw. (die Folge der Näherungswerte fällt…).
Mit anderen Ziffernvorräten und anderen Kriterien für die Darstellbarkeit durch endliche Zeichenketten gilt das Vorige auch für Stellenwertsysteme zu anderen Basen statt 10. Die Basis 10 ist alltäglich, wenn man sich nicht (beruflich) mit der Implementierung von Rundung im Computer befasst, wo Potenzen von 2 als Basen dienen.
Die allseits beliebte Pünktchenschreibweise ist formal als folgendermaßen rekursiv definiert zu verstehen ( steht für die Konkatenation von Zeichenketten, für die leere Zeichenkette):
„Abschneiden“/„Abbrechen“