mini|Illustration der Laplace-Ebene eines Himmelskörpers als zeitlich gemittelte BahnebeneGrau: Laplace-EbeneBlau: Momentane BahnebeneM (schwarz): Zentralkörperm (rot): Umlaufender KörperL: Bahndrehimpuls-VektorGrün: Knotenlinie
Die Laplace-Ebene bezeichnet in der Himmelsmechanik die über lange Zeiten gemittelte Bahnebene eines Körpers (z. B. eines Planeten oder Satelliten), der sich auf einer Umlaufbahn um ein Zentralobjekt (beispielsweise die Sonne oder einen Planeten) bewegt.
Die Laplace-Ebenen der meisten großen Monde unseres Sonnensystems, insbesondere die der großen Gasplaneten, orientieren sich an der Äquatorebene des jeweiligen Zentralplaneten. Eine Ausnahme bildet der Erdmond, dessen Laplace-Ebene mit großer Genauigkeit in der Ekliptik liegt. Die Laplace-Ebenen künstlicher Satelliten im höheren Erdorbit und die einiger (überwiegend kleinerer) Monde anderer Planeten liegen zwischen der Bahnebene und der Äquatorebene ihres Zentralkörpers und müssen daher explizit berechnet werden.
Pierre-Simon Laplace hatte 1805 diese Bezugsebene als erster zur Beschreibung der Bahneigenschaften des Saturnmondes Iapetus eingeführt, bei dem diese Ebene deutlich sowohl von der Äquatorebene als auch von der Bahnebene des Planeten abweicht.R. R. Allan, G. E. Cook: The Long-Period Motion of the Plane of a Distant Circular Orbit, Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, Vol. 280, No. 1380 (Jul. 7, 1964), pp. 97–109 Iapetus ist der einzige größere Mond des Sonnensystems, bei dem die Laplace-Ebene so deutlich von den beiden Referenzebenen abweicht; in eingeschränktem Maß ist dies noch beim großen Jupitermond Kallisto der Fall.
Einleitung Bewegt sich ein Körper um ein Zentralobjekt, so kann ihm zu jedem Zeitpunkt eine momentane Bahnebene zugeordnet werden. Dies ist die Ebene, in der sowohl der Abstandsvektor vom Zentralobjekt zum Körper als auch der Geschwindigkeitsvektor des sich bewegenden Körpers liegt. Der Bahndrehimpulsvektor des Körpers steht gerade senkrecht auf dieser Ebene. Unterliegt die Bewegung des Körpers keinem Drehmoment, so ändert sich der Bahndrehimpuls des Körpers nicht und die Bahnebene des Körpers ist entsprechend zeitlich konstant. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn das Zentralobjekt exakt kugelsymmetrisch ist und keine äußeren Kräfte auf das System wirken.
In der Realität sind allerdings die Zentralobjekte weder exakt kugelsymmetrisch (die Planeten sind mehr oder weniger stark abgeplattet) noch ist die Bewegung frei von äußeren Kräften (durch die Sonne, andere Planeten etc.). Daher wirken auf die umlaufenden Körper Drehmomente, die zu einer Veränderung der Bahnebene führen, die in den meisten Fällen zwar gering im Laufe weniger Umläufe um das Zentralobjekt ist, aber im Laufe der Zeit zu einer Präzessionsbewegung des Bahndrehimpulses führen. Im Falle der Planeten-, Mond- und Satellitenbahnen kann man diesen Effekt über längere Zeiträume durch die Wirkung eines konstanten Drehmoments auf einen sich schnell bewegenden Kreisel modellieren. Die Bahnebene schwankt dann mit einer gewissen zeitlichen Periode um eine über lange Zeiten gemittelte Bahnebene (Laplace-Ebene). Der Neigungswinkel der momentanen Bahnebene gegen die Laplace-Ebene bleibt dabei näherungsweise konstant, nur die Lage der Ebenen zueinander ändert sich.
Forschungsgeschichte und der Saturnmond Iapetus Bei der Analyse der Bahnen der großen Monde des Planeten Jupiter stellte der französische Mathematiker Laplace fest, dass sie über kurze Zeiträume (wenige Jahre), wie die Bahnen der Planeten, in einer Ebene verläuft. Über mittlere Zeiträume – oft einige Jahre bis Jahrzehnte – ist diese Bahnebene allerdings veränderlich: ein Effekt, der beim Erdmond seit der Antike bekannt ist, da sie eng mit dem jahreszeitlichen Auftreten der Sonnen- und Mondfinsternisse zusammenhängt. Laplace sah, dass die Bahnebene der Monde über lange Zeiträume eine kreiselartige Trudelbewegung vollzieht. Für den Erdmond ist diese Drehung der so genannten Mondknoten damals seit langer Zeit bekannt gewesen, wobei die Periode dieser Drehung 18,6 Jahre beträgt (Nutation). Betrachtet man anstelle der Bahnebene den Pol der Bahnebene, also den Punkt auf der Himmelssphäre, an dem eine gedachte Linie, die senkrecht auf der Bahnebene steht (die Normale), durch diese Sphäre sticht, so vollführt dieser Pol eine Kreisbewegung auf der Himmelssphäre. Beim Erdmond hat dieser Kreis einen Durchmesser von etwa 10° (die doppelte Bahnneigung des Mondes) und sein Mittelpunkt ist der Pol der Ekliptik (also der Erdbahnebene). Bei den Jupitermonden ist der Mittelpunkt dieser Kreise allerdings der „Himmelspol des Jupiter“, also der Punkt, an dem die Jupiterachse durch die Himmelssphäre sticht. Laplace stellte dazu die entsprechende Theorie dar, die diese Knotenbewegung auf die Abplattung des Jupiter und das dadurch ausgeübte Drehmoment zurückführt (und nicht das durch die Sonne ausgeübte Drehmoment, das beim Erdmond maßgeblich ist).S. Laplace, Kap. IV, S. 62ff.
mini|hochkant=1.2|Lage der Laplace-Ebenen wichtiger Saturnmonde in Bezug auf die Rotations- und Bahnebene des Saturn. Die Pole der verschiedenen Ebenen sind im Diagramm auf die Ekliptik projiziert, so dass der Pol der Ekliptik im Ursprung liegt. Der Frühlingspunkt liegt dabei in Richtung der x-Achse. Ebenfalls dargestellt sind die Pole der Bahnebenen der äußeren Planeten.
Im Gegensatz zu den anderen damals bekannten Satelliten der Gasplaneten war mit der Entdeckung von Iapetus im Jahr 1671 schon frühzeitig ein Saturnmond bekannt, der seinen Zentralplaneten in recht großem Abstand (etwa 3,5 Mio. km) umkreist. Bei der Analyse der Bahn dieses Mondes stellte der französische Mathematiker Laplace fest, dass sie über kurze Zeiträume (wenige Jahre), wie die Bahn aller anderen Monde und Planeten, in einer Ebene verläuft. Über mittlere Zeiträume – in diesem Fall mehrere Jahrzehnte – ist die entsprechende Bahnebene wiederum veränderlich, wie dies vom Erdmond und den Jupitermonden ja bereits beobachtet worden war. Obwohl Iapetus 1805 erst 134 Jahre lang beobachtet worden war und die Beobachtungsdaten der Saturnmonde noch nicht an die Exaktheit der Daten für die Jupitermonde heranreichte, sah Laplace, dass die Bahnebene des Mondes über Zeiträume von einigen Jahrtausenden eine kreiselartige Trudelbewegung vollzieht. Bei Iapetus hat der entsprechende Kreis, den der Pol der Ebene beschreibt, einen Durchmesser von etwa 15°. Allerdings liegt in seinem Zentrum nicht der Pol der Saturnbahnebene und auch nicht der Pol der Äquatorebene des Saturn (also der Durchstichpunkt der Drehachse des Planeten durch die Himmelssphäre). Stattdessen liegt der Mittelpunkt, wie man im nebenstehenden Diagramm sehen kann, etwa zwischen dem Pol der Saturnbahnebene und dem Pol der Äquatorebene des Saturn. Alle anderen damals bekannten Monde (dies waren die vier Galileischen Monde, sechs weitere Saturnmonde, sowie zwei Uranusmonde) haben Bahnen, die sich kaum mehr als ein Grad gegen die Äquatorebene des Zentralplaneten neigen. Bei Messungen hoher Präzision stellt man fest, dass die Bahnpole dieser Monde ebenfalls kreisförmige Bewegungen vollführen, und zwar um den Pol der Äquatorebene des Planeten.
Der Mittelpunkt des Kreises, auf dem sich der Bahnpol eines Mondes bewegt, ist der Pol der über lange Zeiträume gemittelten Bahnebene, die selbst zeitlich unveränderlich ist: die Laplace-Ebene. Bei den planetennahen Monden der massereichen und sonnenfernen Gasplaneten fällt diese mit der Äquatorebene zusammen. Beim Erdmond fällt diese, ebenso wie beim 1888 entdeckten äußeren Saturnmond Phoebe (Planetenabstand etwa 13 Mio. km), sehr genau mit dem Pol der Bahnebene des jeweiligen Planeten zusammen. Der Fall des Mondes Iapetus zeigt, dass es allerdings eine Zone mittleren Abstandes vom Planeten gibt, in der die Laplace-Ebene eine Zwischenform annimmt. Heute, im 21. Jahrhundert, sind hunderte Planetenmonde bekannt und künstliche Satelliten in Planetenorbits gestartet worden, deren exakte Bahndynamik den Spezialfall des Iapetus verallgemeinern. Diese Tatsache verlangt unmittelbar nach einer Klärung der Frage, wie die genaue Dynamik der Bahnebenen im allgemeinen Fall aussieht.
Himmelsmechanische Erklärung Der Idealfall eines kleinen Körpers, der sich um ein kugelförmiges Zentralobjekt bewegt, wird durch das Kepler’sche Zweikörperproblem oder das Einzentrenproblem beschrieben. Da das Gravitationsfeld des kugelförmigen Zentralobjekts radialsymmetrisch ist, wirkt kein Drehmoment auf den umlaufenden Körper und der Bahndrehimpuls des Körpers ist in diesem Fall zeitlich konstant. Dies bedingt einerseits die Gültigkeit des zweiten Kepler’schen Gesetzes und andererseits, dass die Bewegung des kleinen Körpers in einer zeitlich unveränderlichen Ebene, der Bahnebene, erfolgt.
mini|A – Himmelskörper B – Zentralobjekt Grün – Referenzebene (Laplaceebene)Blau – Orbitalebene (Bahnebene) i – Inklination Ω – Länge des aufsteigenden Knotens
Die Bahnen realer Körper im Orbit um ein Zentralobjekt, wie zum Beispiel Planeten im Umlauf um die Sonne, Monde im Umlauf um ihren Planeten, oder künstliche Satelliten, können nur annäherungsweise als Zweikörperproblem behandelt werden. Abweichungen von der Kugelgestalt des Zentralobjekts und die Anwesenheit anderer massiver Körper außerhalb des Systems führen zu einem gestörten Zweikörpersystem. Solch ein gestörtes System lässt sich über kurze Zeiträume zwar weiterhin durch die Bahnelemente einer Keplerellipse beschrieben, die Störungen führen aber zu einer zeitlichen Veränderung der Bahnelemente. Insbesondere führt ein Drehmoment, das auf den umlaufenden Körper wirkt, zur zeitlichen Veränderung der Bahnebene, die in der Himmelsmechanik im Allgemeinen durch die Bahnneigung (Inklination) i und den Positionswinkel (Argument) des aufsteigenden Knotens Ω in Bezug auf eine unveränderliche Referenzebene angegeben wird.
Die Natur der auftretenden Drehmomente T ist oft derart, dass diese recht klein im Verhältnis zum Bahndrehimpuls L sind, d. h., der Drehimpuls ändert sich sehr wenig während eines Umlaufs des Körpers um das Zentralobjekt, in Formeln: , wobei ω die Kreisfrequenz des Körpers beim Umlauf ist. In diesem Fall kann man den Körper als schnellen Kreisel betrachten, dessen Rotationsachse in Richtung des Bahndrehimpulses zeigt. Durch das Drehmoment ändert die Rotationsachse ihre Richtung dergestalt, dass sie kurzperiodisch um eine mittlere Rotationsachse wandert, die ihrerseits langperiodisch um einen Präzessionspol wandert. Die Ebene senkrecht zur Richtung des Präzessionspols kann langzeitlich als mittlere Bahnebene betrachtet werden und wird als Laplace-Ebene bezeichnet.
Planeten, Monde und Satelliten bewegen sich oft auf Ellipsen relativ geringer Exzentrizität um ihren Zentralkörper, und die Drehmomente, die auf den Körper wirken, sind meist von den in den drei folgenden Absätzen beschriebenen Mechanismen bewirkt.
Abweichungen des Zentralkörpers von der Kugelgestalt