Euklid

mini|Darstellung Euklids, Oxford University Museum

Euklid von Alexandria (ca. 350 v. Chr. – 270 v. Chr.), kurz Euklid ( Eukleídēs, latinisiert ), war ein griechischer Mathematiker, der im 3. Jahrhundert v. Chr. in Alexandria gelebt hat. Er gilt als „Vater der Geometrie“ und ist Namensgeber für die euklidische Geometrie zur anschaulichen Darstellung des zwei- und dreidimensionalen Raums.

Leben Über das Leben Euklids ist fast nichts bekannt. Aus einer Notiz bei PapposPappos, Mathematische Sammlungen 2,33–34. hat man geschlossen, dass er im ägyptischen Alexandria wirkte. Die Lebensdaten sind unbekannt. Die Annahme, dass er um 300 v. Chr. gelebt hat, beruht auf einem Verzeichnis von Mathematikern bei Proklos.Zu finden in Proklos’ Werk: Kommentar zum ersten Buch von Euklids „Elementen“. Andere Indizien lassen vermuten, dass Euklid etwas älter als Archimedes (ca. 285–212 v. Chr.) war.Hans-Joachim Waschkies: Euklid. In: Hellmut Flashar (Hrsg.): Grundriss der Geschichte der Philosophie. Die Philosophie der Antike. Band 2/1, Schwabe, Basel 1998, S. 372–392, hier: S. 372.

Aus einer Stelle bei Proklos hat man auch geschlossen, dass er um das Jahr 360 v. Chr. in Athen geboren wurde, dort seine Ausbildung an der Platonischen Akademie erhielt und dann zur Zeit Ptolemaios I. (ca. 367–283 v. Chr.) in Alexandria wirkte.

Er sollte nicht mit Euklid von Megara verwechselt werden, wie das bis in die frühe Neuzeit häufig geschah, was dazu führte, dass der Name des Euklid von Megara auch auf den Titeln der Ausgaben der Elemente erschien.

In diesem Zusammenhang gibt es unter Historikern Diskussionen, inwieweit Euklid von Alexandria die ihm zugeschriebenen Werke überhaupt selbst verfasst hat. Der Mathematikhistoriker Jean Itard formulierte hierzu im Jahr 1961 drei Hypothesen:

Euklid war eine Einzelperson, die alle die Werke zusammenfügte, die man ihm heute zuschreibt. Euklid war eine Einzelperson, die das Oberhaupt einer Schule war, deren Schüler auch nach seinem Tode noch unter seinem Namen publizierten. Euklid war eine Gruppe von alexandrinischen Mathematikern, die unter dem Namen Euklid von Megara veröffentlichten.

Die zweite Hypothese wurde von Itard favorisiert.

Werke mini|Eines der ältesten Papyrus-Fragmente der Elemente aus Oxyrhynchos (P.Oxy. I 29) Die überlieferten Werke umfassen sämtliche Bereiche der antiken griechischen Mathematik: das sind die theoretischen Disziplinen Arithmetik und Geometrie (Elemente, Data), Musiktheorie (Die Teilung des Kanon), eine methodische Anleitung zur Findung von planimetrischen Problemlösungen von bestimmten gesicherten Ausgangspunkten aus (Porismen) sowie die physikalischen bzw. angewandten Werke (Optik, astronomische Phänomene).

Elemente

In seinem berühmtesten Werk Elemente (altgriechisch Stoicheia ‚Anfangsgründe‘, ‚Prinzipien‘, ‚Elemente‘) trug er das Wissen der griechischen Mathematik seiner Zeit zusammen. Er zeigte darin die Konstruktion geometrischer Objekte, natürlicher Zahlen sowie bestimmter Größen und untersuchte deren Eigenschaften. Dazu benutzte er Definitionen, Postulate (nach Aristoteles Grundsätze, die akzeptiert oder abgelehnt werden können) und Axiome (nach Aristoteles allgemeine und unbezweifelbare Grundsätze). Viele Sätze der Elemente stammen offenbar nicht von Euklid selbst. Seine Hauptleistung besteht vielmehr in der Sammlung und einheitlichen Darstellung des mathematischen Wissens sowie der strengen Beweisführung, die zum Vorbild für die spätere Mathematik wurde. Das Werk war vielerorts bis ins 20. Jahrhundert hinein Grundlage des Geometrieunterrichts, vor allem im angelsächsischen Raum.

Weitere Werke Außer Elemente sind mindestens fünf Werke von Euklid bis heute erhalten geblieben. Sie folgen derselben logischen Struktur wie Elemente mit Definitionen und bewiesenen Sätzen.

Katoptrika () befasst sich mit der mathematischen Theorie der Spiegel, insbesondere mit den Bildern, die durch Reflexion in ebenen und sphärischen konkaven Spiegeln entstehen. Die Zuschreibung der Schrift zu Euklid wird manchmal angezweifelt.

Data () ist ein relativ kurzer Text, der sich mit der Natur und den Implikationen „gegebener“ Informationen in geometrischen Problemen befasst.Data betrifft die ebenen Geometrie und wird von Historikern als Ergänzung zu den „Elementen“ betrachtet, die in eine für die Problemlösung besser geeignete Form gebracht wurden. Das Werk enthält 12 Definitionen zur Bedeutung, wenn ein geometrisches Objekt in Lage, Form und Größe gegeben ist, sowie 94 Theoreme zur Erläuterung, wie andere Beziehungen oder Elemente bestimmt werden können, wenn bestimmte Elemente einer Figur gegeben sind. Zum Beispiel (Data 29): „Wenn eine Gerade in ihrer Lage gegeben ist und wenn von einem gegebenen Punkt auf ihr eine Gerade gezogen wird, die mit der ersten einen gegebenen Winkel bildet, dann ist diese gezogene Gerade gegeben“, oder (Data 39): „Wenn alle Seiten eines Dreiecks in ihrer Größe gegeben sind, ist das Dreieck in seiner Form gegeben.“

Über die Teilungen der Figuren () ist nur teilweise in arabischer Übersetzung erhalten und befasst sich mit der Teilung geometrischer Figuren in zwei oder mehr gleiche Teile oder in Teile in vorgegebenen Verhältnissen. Es umfasst 36 Sätze und ähnelt Apollonios’ Konika. In diesem Werk geht es darum, Geraden zu konstruieren, die gegebene Figuren in vorgegebenen Proportionen und Formen teilen. Beispielsweise wird verlangt, bei einem gegebenen Dreieck und einem Punkt innerhalb des Dreiecks eine Gerade zu konstruieren, die durch diesen Punkt verläuft und das Dreieck in zwei Figuren gleicher Fläche teilt; oder bei einem gegebenen Kreis zwei parallele Geraden zu konstruieren, sodass der von ihnen begrenzte Kreisabschnitt ein Drittel der Kreisfläche ausmacht.

Phainomena () ist eine Abhandlung über sphärische Astronomie, die in griechischer Sprache in mehreren handschriftlichen Fassungen erhalten geblieben ist. Sie ähnelt dem Werk Über die sich bewegende Sphäre von Autolykos von Pitane, der um 310 v. Chr. wirkte. Fragmente wurden von Johan Ludwig Heiberg ediert. Die älteste erhaltene Fassung stammt aus dem 10. Jahrhundert. Der Text gehört zur sogenannten „kleinen Astronomie“, im Gegensatz zu den „großen“ Themen, die in Claudius Ptolemäus’ Almagest behandelt werden. Es enthält 18 Sätze und ähnelt den erhaltenen Werken von Autolykos von Pitane zum gleichen Thema.

Optika () ist die älteste erhaltene griechische Abhandlung über die Perspektive und war offenbar für den Einsatz in der Astronomie bestimmt. Sie enthält eine einführende Erörterung der geometrischen Optik und der Grundregeln der Perspektive. Dieses Werk ist in mehreren Fassungen erhalten. Es folgt der Form der Elemente: Es handelt sich um eine Abfolge von 58 Sätzen, deren Beweis auf Definitionen und Postulaten beruht, die zu Beginn des Textes dargelegt werden. Diese Definitionen folgen Platons Ansicht, wonach das Sehen auf (geraden) Strahlen beruht, die von unserem Auge zum gesehenen Objekt verlaufen.Diese Aussage galt als richtig, bis der persische Gelehrte Alhazen (965–1040) in seinem Kitab al-Manazir (Buch der Optik) das Gegenteil behauptete. Euklid zeigt, dass die scheinbaren Größen gleicher Objekte nicht proportional zu ihrem Abstand von unserem Auge sind (Satz 8).Er formuliert einen Satz, der dem folgenden nahekommt: Das Verhältnis der Tangenten zweier spitzer Winkel ist kleiner als das Verhältnis der Winkel; siehe Heath 1921, S. 442. Er erklärt beispielsweise auch unser Sehen einer Kugel (und anderer einfacher Flächen): Das Auge sieht eine Fläche, die kleiner ist als die Hälfte der Kugel, wobei dieser Anteil umso kleiner ist, je näher die Kugel ist, auch wenn die gesehene Fläche größer erscheint, und der Umriss des Gesehenen ist ein Kreis. Er beschreibt zudem, je nach Position des Auges und des Objekts, in welcher Form uns ein Kreis erscheint. Die Abhandlung widerspricht insbesondere einer in bestimmten Denkschulen vertretenen Auffassung, wonach die tatsächliche Größe von Objekten (insbesondere von Himmelskörpern) ihrer scheinbaren Größe entspricht, also der Größe, die gesehen wird. Aufgrund seiner Studien zur Perspektive gilt Euklids Buch als eines der wichtigsten Werke zur Optik bis hin zu Newton. Künstler der Renaissance – Filippo Brunelleschi, Leon Battista Alberti und Albrecht Dürer – ließen sich davon inspirieren, um ihre eigenen Abhandlungen über die Perspektive zu verfassen.

Von weiteren Werken sind nur die Titel bekannt, u. a. Pseudaria (Trugschlüsse).

Geometrie – Arithmetik – Proportionslehre Neben der pythagoreischen Geometrie enthalten Euklids Elemente in Buch VII-IX die pythagoreische Arithmetik, die Anfänge der Zahlentheorie (die bereits Archytas von Tarent kannte) sowie die Konzepte der Teilbarkeit und des größten gemeinsamen Teilers. Zu dessen Bestimmung fand er den euklidischen Algorithmus. Euklid bewies auch, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, nach ihm Satz des Euklid genannt. Auch Euklids Musiktheorie baut auf der Arithmetik auf. Ferner enthält das Buch V die Proportionslehre des Eudoxos, eine Verallgemeinerung der Arithmetik auf positive irrationale Größen.

mini|Veranschaulichung von Euklids fünftem Postulat

Das bekannte fünfte Postulat der ebenen euklidischen Geometrie (heute Parallelenaxiom genannt) fordert: Wenn eine Strecke beim Schnitt mit zwei Geraden und bewirkt, dass die innen auf derselben Seite von entstehenden Winkel und zusammen kleiner als zwei rechte Winkel sind, dann treffen sich die beiden Geraden und auf eben der Seite von , auf der die Winkel und liegen. Schneiden also zwei Geraden eine Strecke (oder Gerade) so, dass die auf einer Seite von der Strecke und den zwei Geraden eingeschlossenen zwei Winkel kleiner als 180° sind, dann schneiden sich die beiden Geraden auf dieser Seite und begrenzen zusammen mit der Strecke (oder dritten Geraden) ein Dreieck.

Für die Wissenschaftsgeschichte ist die Beschäftigung mit dem Parallelenaxiom von großer Bedeutung, weil es viel zur Präzisierung von mathematischen Begriffen und Beweisverfahren beigetragen hat. Im Zuge dessen wurde im 19. Jahrhundert auch die Unzulänglichkeit der euklidischen Axiome offenkundig. Eine formale Axiomatik der euklidischen Geometrie findet sich in David Hilberts Werk Grundlagen der Geometrie (1899), das zu vielen weiteren Auflagen und anschließenden Forschungen geführt hat. Darin wird zum ersten Mal ein vollständiger Aufbau der euklidischen Geometrie geleistet, bis hin zur Erkenntnis, dass jedes Modell des Hilbertschen Axiomensystems isomorph zum dreidimensionalen reellen Zahlenraum mit den üblichen Deutungen der geometrischen Grundbegriffe (wie Punkt, Gerade, Ebene, Länge, Winkel, Kongruenz, Ähnlichkeit usw.) in der Analytischen Geometrie ist.

Schon seit der Antike versuchten viele bedeutende Mathematiker vergeblich, das Parallelenaxiom mit den übrigen Axiomen und Postulaten zu beweisen (es wäre dann entbehrlich). Erst im 19. Jahrhundert wurde die Unverzichtbarkeit des Parallelenaxioms mit der Entdeckung einer nichteuklidischen Geometrie durch Bolyai und Lobatschewski klar. Die Poincaré’sche Halbebene H ist ein Modell für ein solches Axiomensystem, in dem das Parallelenaxiom nicht gilt. Somit kann das Parallelenaxiom nicht aus den übrigen Axiomen gefolgert werden (siehe nichteuklidische Geometrie).

Musiktheorie