Die physikalische Größe Arbeit erfasst die Energie, die durch die Einwirkung einer Kraft entlang eines Weges von einem physikalischen System aufgenommen oder abgegeben wird. Im einfachsten Fall wird sie mithilfe der Gleichung oder Arbeit ist gleich Kraft mal Weg berechnet (das Formelzeichen lehnt sich an an).
Dabei wirkt die Kraft auf einen Körper, der in Richtung dieser Kraft eine Strecke der Länge zurücklegt. Wirkt eine Kraft nicht genau parallel zum Weg, ist für die Berechnung der Arbeit nur die zum Weg parallele Komponente zu berücksichtigen. Diese physikalische Definition entspricht auch der umgangssprachlichen Bedeutung von mechanischer Arbeit und ist auf alle mechanischen Vorgänge anwendbar, beim gleichzeitigen Einwirken mehrerer Kräfte auch für jede Kraft einzeln. Falls die Kraft nicht konstant ist, sondern vom Ort abhängt und falls der Weg keiner Geraden folgt, gilt die genannte Formel nur für infinitesimal kleine Wegabschnitte , über die dann integriert werden muss: .
Einem Körper, der durch eine Kraft bewegt wird, wird eine Energiemenge zugeführt, die gleichzeitig dem physikalischen System entzogen wird, das die Kraft hervorbringt (mechanischer Energieerhaltungssatz). In der Thermodynamik kommt die Wärme als weitere Möglichkeit des Energietransfers ohne Krafteinwirkung hinzu. Hier gilt für die Änderung des Energieinhalts eines geschlossenen thermodynamischen Systems (allgemeiner Energieerhaltungssatz). Sowohl Arbeit als auch Wärme sind Prozessgrößen.
Dimension und SI-Einheit (Joule, ) sind für Arbeit, Wärme und Energie gleich. Negative Werte zeigen an, dass das System Arbeit verrichtet, also Energie abgegeben hat. Ein System mit einer konstanten mechanischen Leistung verrichtet in der Zeitspanne die Arbeit .
Arbeit und Kraft Einführung Eine anschauliche Bedeutung der physikalischen Größe Arbeit ist die „Mühe“, die man beim Anheben eines schweren Gegenstandes hat. Zwar kann man sich diese Aufgabe scheinbar erleichtern, indem man eine schiefe Ebene, einen Flaschenzug, einen Hydraulikheber oder ein ähnliches Hilfsmittel verwendet. Derlei Hilfsmittel werden Kraftwandler genannt, denn durch sie wird die erforderliche Kraft tatsächlich geringer. Dies erkauft man sich jedoch damit, dass der Punkt, an dem die Kraft angreift, über eine weitere Strecke bewegt werden muss. Beispielsweise ist der geneigte Weg auf der schiefen Ebene länger als die Höhendifferenz, um die der Gegenstand gehoben wird. Wenn man von Reibung und ähnlichen Störeinflüssen absieht, zeigt sich, dass die Strecke um denselben Faktor zunimmt, um den die Kraft verringert wird (siehe Goldene Regel der Mechanik). Das Produkt „Kraft mal Weg“ ist also in allen Fällen gleich.
Daher erscheint es sinnvoll, eine physikalische Größe zu definieren, die diesen Arbeitsaufwand unabhängig von der angewendeten Methode beziffert. Diese Größe erhält die Bezeichnung Arbeit mit der Berechnungsgleichung:
Hierbei ist die Arbeit, die Kraft und die zurückgelegte Strecke (Zunächst wird vorausgesetzt, dass die Kraft konstant ist und in die Bewegungsrichtung zeigt. Eine allgemeinere Definition folgt weiter unten).
Die Einheit der Arbeit ergibt sich aus der Definitionsgleichung:
(Anmerkung: Formal gleicht die Einheit der Arbeit derjenigen des Drehmoments: „Newtonmeter“. Dennoch dürfen die Begriffe nicht gleichgesetzt werden: Bei gleicher Länge der Strecke zählt für die Arbeit nur die dazu parallele Kraftkomponente, beim Drehmoment nur die orthogonale.)
Die Arbeit hat somit die Dimension der Energie.
Weitere Präzisierung ergibt: Ohne dass der Angriffspunkt der Kraft einen Weg zurücklegt, ist , d. h. es wird keine mechanische Arbeit geleistet (zum Beispiel nicht von der ruhenden Unterlage, wenn sie ein ruhendes Gewicht einfach trägt). Wird der Weg in mehreren Teilstücken zurückgelegt, ist die Summe der entsprechenden Teilarbeiten, unabhängig von der getroffenen Aufteilung, immer dieselbe Arbeit . Lässt man die Kraft mit einer anderen Richtung als der (jeweils momentanen) Bewegungsrichtung des Angriffspunkts einwirken, zählt für die Arbeit nur die zum Weg parallele Kraftkomponente. Sind Kraft und Weg rechtwinklig zueinander, so ist die Arbeit (z. B. wird keine Arbeit gegen die Schwerkraft geleistet, wenn ein Kofferroller horizontal gerollt wird). Ist diese Kraftkomponente der Bewegung entgegengerichtet, ist die Arbeit negativ zu nehmen. Dann wird dem System, auf das die Kraft wirkt, nicht Energie zugeführt, sondern entzogen.
Zur Alltagserfahrung der körperlichen Arbeit bestehen manche Unterschiede: Schon beim bloßen Halten eines schweren Gegenstands ermüden die Muskeln, obwohl hier keine Arbeit im physikalischen Sinne verrichtet wird. Das Aufteilen eines Wegs in mehrere Stücke kann die gefühlte Mühe erheblich reduzieren. Die Unterschiede erklären sich dadurch, dass allein das Hervorbringen von Muskelkraft im Körper (chemische) Energie kostet.
Beispiele Beschleunigungsarbeit: Eine U-Bahn wird auf einer Strecke von 100 m durch die konstante Kraft von 60 kN beschleunigt. Die Arbeit, die von den Antriebsmotoren verrichtet wird, beträgt . Die kinetische Energie der Bahn nimmt um den Energiebetrag zu. Hubarbeit: Ein Kran hebt auf einer Baustelle eine Palette mit Steinen von 500 kg auf das Dach in 10 m Höhe. Die Gewichtskraft beträgt Dabei verrichtet der Kran eine Arbeit von . Die potentielle Energie der Steine nimmt dabei um zu. Beschleunigungsarbeit: Reißt in 10 m Höhe das Seil des Krans, fällt die Palette in beschleunigter Bewegung um nach unten. Die Gewichtskraft verrichtet dann die Beschleunigungsarbeit .
Allgemeine Definition der mechanischen Arbeit Eine mechanische Arbeit ist immer gegeben, wenn ein Körper einen Weg zurücklegt und dabei eine Kraft auf ihn wirkt. Es kommt dabei nicht darauf an, ob die Kraft dafür ursächlich ist, dass der Körper den Weg zurücklegt.
Haben Kraft und Weg nicht dieselbe Richtung, sondern schließen einen Winkel (mit ) ein, dann ist nur die zum Weg parallel gerichtete Komponente der Kraft zu berücksichtigen, oder – mit gleichem Ergebnis – die zur Kraft parallele Komponente des Wegs. Die von der Kraft verrichtete oder zugeführte Arbeit ist daher durch das Skalarprodukt aus Kraft und Weg gegeben:
Die verrichtete Arbeit ist positiv, wenn ist, die Kraft also eher in Richtung der Bewegung weist. ist negativ, wenn die Kraft der Bewegung eher entgegen gerichtet ist (), und Null, wenn sie im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung wirkt. Wenn die Arbeit positiv ist, wird dem Körper Energie zugeführt. Ist sie negativ, bedeutet das, dass der betrachtete Körper an das System, das die Kraft auf ihn ausübt, die Energie abgibt.
Besteht der Weg aus verschiedenen Teilstücken, sind die entsprechenden Teilarbeiten längs der einzelnen Wegstücke zu addieren. Wenn die Kraftkomponente längs des Wegs nicht konstant ist, denkt man sich den Weg in genügend kleine Stücke mit jeweils konstantem Wert von aufgeteilt und alle Beiträge zur Arbeit summiert. Das führt auf die allgemeine Formel für die mechanische Arbeit in Form eines Weg- oder Kurvenintegrals:
Dabei ist die Kurve ( für englisch curve), entlang der sich der Körper vom Anfangspunkt bis zum Endpunkt bewegt.
Ist die Kurve durch einen Weg parametrisiert, , so schreibt sich das Integral als
Wirken mehrere Kräfte auf einen Körper ein, so kann die Gleichung zur Berechnung der Arbeit auf eine einzelne davon angewendet werden. Die insgesamt von der resultierenden Kraft verrichtete Arbeit ist dann die Summe aller Einzelarbeiten :
Bei der Berechnung der Gesamtarbeit kann das Ergebnis unter Umständen der Intuition widersprechen. Ist zum Beispiel beim freien Fall um eine Strecke noch unmittelbar verständlich, dass die Gewichtskraft die Arbeit leistet, welche sich in der kinetischen Energie des Körpers wiederfindet, so ist beim Anheben die Gesamtarbeit , wenn man außer der Schwerkraft auch die entgegengesetzt gleich große Hubkraft mitrechnet. Denn die Gesamtkraft aus Gewicht und Hubkraft ist (beim langsamen Anheben) Null: . Wenn also beide Kräfte berücksichtigt werden, verbleibt die dem Anheber entzogene Energie nicht beim Körper, sondern wird vollständig ans Schwerefeld weitergegeben. Das schlägt sich nun in der Erhöhung der potentiellen Energie des angehobenen Körpers nieder, die keine isolierbare Eigenschaft des Körpers allein ist, sondern eine Eigenschaft des Systems aus Körper und Schwerefeld. Eine systematische Behandlung und Auflösung solcher intuitiver Schwierigkeiten gelingt mit dem zweiten in der Einleitung genannten Arbeitsbegriff, der genau definierte Systemgrenzen voraussetzt.
Zusammenhang mit der Energieerhaltung Wenn man von der Grundgleichung der Mechanik
ausgeht und entlang eines vom Körper zurückgelegten Weges von nach integriert, so erhält man
Die linke Seite ist die Arbeit , die durch die Kraft an der Masse verrichtet wird, bzw. (falls ) die der Körper gegen die Kraft leistet, wobei er verlangsamt wird. sind die Geschwindigkeiten des Körpers am Anfang und am Ende, die rechte Seite ist also die Änderung der kinetischen Energie des Körpers. Diese Beziehung lässt sich im Arbeitssatz zusammenfassen:
.
Falls sich die Kraft aus einem Potentialfeld ableiten lässt () – man spricht dann von einer konservativen Kraft – entspricht die verrichtete Arbeit gerade der (negativen) Änderung der potentiellen Energie:
Es gilt also oder . Das ist der Energieerhaltungssatz für einen Massenpunkt im konservativen Kraftfeld.
Des Weiteren kann die Kraft auch Formänderungen eines elastischen Körpers bewirken, die dabei geleistete Arbeit schlägt sich dann als Änderung der Formänderungsenergie nieder:
Der mechanische Energieerhaltungssatz für elastische Körper in einem konservativen Kraftfeld. ergibt , also die Beziehung
Die Arbeit, die ein konservatives Kraftfeld an einem elastischen Körper leistet, verändert seine kinetische, potentielle und Formänderungsenergie, nicht aber seine Gesamtenergie.
Es kann auch sein, dass durch die Arbeit alle drei Energieformen geändert werden. Das ist dann gegeben, wenn die einwirkende Kraft die aus dem Potential abgeleitete Kraft nicht kompensiert (wie z. B. bei einer startenden Rakete). Dann ist die Summe beider Kräfte nicht Null, sondern eine resultierende Kraft, die zu einer Beschleunigung und/oder Formänderung führt und damit die kinetische und Formänderungsenergie um soviel ändert, wie die von geleistete Arbeit angibt. Der mechanische Energieerhaltungssatz lautet dann
Arbeit als Energietransfer durch Systemgrenzen Betrachtet man ein System, das aus mehreren Körpern besteht, so kann man bei den Kräften zwischen inneren und äußeren Kräften unterscheiden. Innere Kräfte sind solche, die paarweise zwischen zwei Körpern des Systems wirken, wobei das dritte newtonsche Gesetz gilt. Bei äußeren Kräften befindet sich einer der beiden Körper, die miteinander wechselwirken, außerhalb der Systemgrenzen, und die Kraft bewirkt eine Änderung mindestens eines äußeren Parameters des Systems: z. B. Position und Orientierung des Systems in einem äußeren Feld, Größe und Form der räumlichen Ausdehnung, Stärke und Richtung eines im System herrschenden elektrischen oder magnetischen Felds. Demgegenüber schließt der allgemeine Begriff von Arbeit auch mit ein, wenn die Energie eines Systems durch Übertragung von Materie von einem zweiten System verändert wird. Dies kann auch durch eine chemische Reaktion zwischen verschiedenen im System vorhandenen Stoffen geschehen, wobei jeder Stoff wie ein eigenes System behandelt wird. Der betreffende Beitrag zur Änderung der inneren Energie wird als Reaktionsenergie oder zuweilen als chemische Arbeit bezeichnet.Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 12.2, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5