Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach den Mathematikern Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni), manchmal lediglich auch Eulersche Konstante genannt, ist eine wichtige mathematische Konstante, die nicht zuletzt in den mathematischen Gebieten Zahlentheorie und Analysis in Erscheinung tritt. Sie wird heutzutage mit dem griechischen Buchstaben (Gamma) bezeichnet.Nicht selten wird die Konstante auch mit dem Großbuchstaben bezeichnet; so etwa im Taschenbuch der Mathematik (10. Auflage 2016, S. 526) und auch in der Monographie von Nevanlinna/Paatero (1965, S. 321).
mini|Die Folge der Flächensummen der blauen Flächenstücke konvergiert gegen die Euler-Mascheroni-Konstante. Die Konstante ist als der folgende Grenzwert definiert:
,
wobei für die -te harmonische Zahl steht und den natürlichen Logarithmus bezeichnet.
Damit verbunden ist die Darstellung der euler-mascheronischen Konstanten in der Form
wobei die Abrundungsfunktion ist.
Die ersten 100 dezimalen Nachkommastellen lauten (siehe: )
Seit dem 7. September 2023 sind mindestens 1.337.000.000.000 dezimale Nachkommastellen bekannt.
Allgemeines Trotz vieler Bemühungen gibt es bis heute keine Antwort auf die Frage, ob rational oder irrational ist. Es ist auch ungeklärt, ob sie eine algebraische Zahl oder eine transzendente Zahl ist. Es wird aber oft vermutet, dass sie zumindest eine irrationale Zahl ist. Den ersten konkreten Beweisversuch hierzu unternahm 1926 Paul Émile Appell mit Hilfe der unten genannten Entwicklung von Joseph Ser. Durch Berechnung der Kettenbruchentwicklung von ()
erhält man untere Schranken für positive ganze Zahlen und mit (zum Beispiel ergeben 475.006 Teilnenner die Abschätzung ).
Im Gegensatz (etwa) zu Quadratwurzeln aus rationalen Zahlen beim Satz des Pythagoras und zur Kreiszahl bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius tritt die Eulersche Konstante bei endlichen elementargeometrischen Problemen nicht auf.
Es gibt jedoch viele technische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe führen, wie etwa das Schwerpunktproblem des freitragenden Auslegers oder das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern und Kinos. Die Eulersche Konstante tritt bei vielen Problemen der Analysis, Zahlentheorie und Funktionentheorie und insbesondere bei speziellen Funktionen auf.
Die Euler-Mascheroni-Konstante in mathematischen Problemen Die Eulersche Konstante tritt in der Mathematik nicht selten bei Grenzwertprozessen von Zahlenfolgen und Funktionen sowie bei Grenzwerten der Differential- und Integralrechnung auf.
Das Auftreten lässt sich je nach Art des Grenzwertes oder der Reihenentwicklung unterteilen.
Konvergenz Die Existenz der Euler-Mascheroni-Konstanten ergibt sich nicht zuletzt aus der Teleskopsumme
Da eine Nullfolge ist, kann im definierenden Grenzwert anstelle von verwendet werden. Es gilt
Wegen
gilt also , und somit konvergiert die Summe gemäß dem Majorantenkriterium.
Insbesondere folgt aus diesem elementaren Argument und
sowie dem Basler Problem, dass
gilt.
Zetafunktion und Gammafunktion Der Wert ist das Negative der Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also .
Hieraus ergeben sich die folgenden Grenzwertdarstellungen, wobei die Riemannsche Zeta-Funktion und die Digamma-Funktion bezeichnet:
Die Euler-Mascheroni-Konstante taucht oft in Entwicklungen spezieller Funktionen, z. B. bei der Reihenentwicklung des Integrallogarithmus von Leopold Schendel, der Besselfunktionen oder der Weierstraßschen Darstellung der Gammafunktion auf.
Liste bestimmter Integrale Hier gibt es eine reichhaltige Fülle, zum Beispiel: {| class="wikitable"
Oder auch: {| class="wikitable"
Diese Integrale werden im Folgenden sukzessiv bewiesen.
Beweise der bestimmten Integrale
Beweisführung einer Zetafunktionssumme Zu Beginn ist diese in der Einführung genannte Summe gegeben:
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Als Nächstes wird folgende Identität bewiesen:
{| class="wikitable"
Dieser Beweis kann direkt über die Definition der Riemannschen Zetafunktion zustande gebracht werden:
Der letzte Rechenschritt basiert auf der Ursprungsstammfunktion der alternierenden geometrischen Reihe:
Durch Einsatz von in die nun genannte Formel entsteht das in der Gleichungskette gezeigte Endresultat.
Analog zur gezeigten Formel mit der Zetafunktion gilt für die Dirichletsche Etafunktion diese Formel:
Denn auf der rechten Seite in der alternierenden Differenz erscheint im Numerus des Logarithmus naturalis das Wallissche Produkt und der Minuend in dieser alternierenden Differenz ergibt die alternierende Differenz der Kehrwerte der natürlichen Zahlen, die der Logarithmus naturalis von 2 ist.
Beweisführung des Exponentialintegrals Das drittoberste Integral in der Auflistung kann so bewiesen werden:
Bei dem Integral in der dritten Zeile der jetzt gezeigten Gleichungskette handelt es sich um den Debyeschen Funktionswert von plus unendlich.
Beweisführung des Integrals über den Logarithmus Das zweitoberste Integral in der Auflistung folgt aus dieser Ableitung:
Nach der Regel von de L’Hospital gelten folgende Grenzwerte:
Somit gilt dieses Integral:
Durch Äquivalenzumformung entsteht folgende Identität:
Das oberste und viertoberste Integral entstehen durch Substitution mit dem negativen natürlichen Logarithmus.
Beweisführung des Integrals über die Integralexponentialfunktion Folgendes Integral zur Mascheroni-Konstante kann über den Satz von Fubini bewiesen werden:
Der große Buchstabe E drückt die komplementäre Integralexponentialfunktion aus:
Dann gilt auch:
Verallgemeinert gilt somit für die Integration:
Beweisführung des Integrals über den Kehrwert der Nachfolgerfunktion Ebenso kann das anschließende Integral zur Mascheroni-Konstante über den Satz von Fubini bewiesen werden:
Das fünftoberste und sechstoberste Integral resultiert aus der Abel-Plana-Summenformel und geht durch die Mellin-Transformation hervor.
Das zweitunterste Integral entsteht aus der Reihendarstellung der Integralexponentialfunktion Ei(x).
Und das unterste Integral entsteht direkt aus der genannten Reihe für die Euler-Mascheroni-Konstante über die Riemannsche Zetafunktion.
Beschreibung weiterer Integrale
Parameterintegrale Es gibt auch viele invariante Parameterintegrale, zum Beispiel:
Beide Parameterintegrale sollen im nun Folgenden bewiesen werden:
Gegeben steht das im vorherigen Abschnitt bewiesene Integral:
Und folgendes Zweiparameterintegral ergibt konstant für alle positiven Werte v und w den Wert 0:
Wenn dieses Parameterintegral in das genannte schon bewiesene Integral eingepflanzt wird, dann entsteht direkt das erste der beiden genannten Parameterintegrale mit dem positiven k-Ausdruck. Und das genannte Zweiparameterintegral ist deswegen für alle positiven Werte v und w gültig, weil folgende Stammfunktion gilt:
Das zweite mit dem k-Ausdruck dargestellte Parameterintegral kommt durch innere Substitution und durch die sogenannte Nachdifferenzierung nach der Kettenregel zustande.
Forschungsresultate des Mathematikers Sondow Man kann auch als ein Doppelintegral (J. Sondow 2003,Jonathan Sondow: Criteria for irrationality of Euler’s constant, Proceedings of the American Mathematical Society 131, 2003, S. 3335–3344 (englisch). 2005Jonathan Sondow: Double integrals for Euler’s constant and ln 4/π and an analog of Hadjicostas’s formula, American Mathematical Monthly 112, 2005, S. 61–65 (englisch).) mit der äquivalenten Reihe ausdrücken:
. Es gibt einen interessanten Vergleich (J. Sondow 2005) des Doppelintegrals und der alternierenden Reihe:
In diesem Sinne kann man sagen, dass die „alternierende Eulersche Konstante“ ist ().
Ein weiteres Doppelintegral handelt von der harmonischen Reihe als Funktion:
Außerdem sind diese zwei Konstanten mit dem Paar
von Reihen verknüpft, wobei und die Anzahl der Einsen bzw. der Nullen in der Binärentwicklung von sind (Sondow 2010).Jonathan Sondow: New Vacca-type rational series for Euler’s constant and its „alternating“ analog ln 4/π. Additive Number Theory, Festschrift In Honor of the Sixtieth Birthday of Melvyn B. Nathanson, Springer, New York, 2010, S. 331–340 (englisch).
Produktreihen Ferner gibt es eine ebenso reichhaltige Fülle an unendlichen Summen und Produkten, etwa
Diese Reihen bilden somit zu den Eulerschen Produktdarstellungen von der Riemannschen Zetafunktion eine Abwandlung.
Kummersche Reihen Reihen mit rationalen Termen stammen von Euler, Fontana and Mascheroni, S. Ramanujan und Joseph Ser. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen, deren Glieder aus rational gewichteten Werten der riemannschen Zeta-Funktion an den ungeraden Argumentstellen ζ(3), ζ(5), … bestehen. Ein Beispiel einer besonders schnell konvergierenden Reihe ist: 0,0173192269903… Eine weitere Reihe ergibt sich aus der Kummerschen Reihe der Gammafunktion:
Darstellung mittels alternierender Reihen Neben der obigen kummerschen Reihe existieren weitere Darstellungen von mittels alternierender Reihen.
Hier ist vor allem eine von dem italienischen Mathematiker Giovanni Enrico Eugenio Vacca gefundene Darstellung zu nennen, die auch als Formel von Vacca bekannt ist und von Vacca im Jahre 1910 publiziert wurde:
Hier ist die Abrundungsfunktion.
Ebenfalls in diesem Zusammenhang erwähnenswert ist eine sehr ähnliche Formel, die von dem norwegischen Mathematiker Viggo Brun im Jahre 1938 veröffentlicht wurde:
Hier ist die Aufrundungsfunktion.
Bezeichnungen Man kann sagen, dass die Eulersche Konstante diejenige Konstante mit den meisten Bezeichnungen ist. Euler selbst bezeichnete sie mit C und gelegentlich mit O oder n. Es ist jedoch zweifelhaft, ob er damit ein eigenständiges Symbol für seine Konstante einführen wollte. Mascheroni bezeichnete die Konstante nicht – wie oft behauptet – mit γ, sondern mit A. Das γ-Missverständnis rührt von dem häufig unüberprüft zitierten Artikel von J. W. L. Glaisher her (wobei Glaisher dort ausdrücklich anmerkt, dass er Mascheronis Buch nicht gesehen hat):
Andere Mathematiker verwenden die Bezeichnungen C, c, ℭ, H, γ, E, K, M, l. Der Ursprung der heute üblichen Bezeichnung γ ist nicht sicher. Carl Anton Bretschneider verwendete die Bezeichnung γ neben c in einem 1835 entstandenen und 1837 veröffentlichten Artikel,Car. Ant. Bretschneider: Theoriae logarithmi integralis lineamenta nova (13. Oktober 1835). Journal für die reine und angewandte Mathematik 17, 1837, S. 257–285. (lateinisch; „γ = c = 0,577215 664901 532860 618112 090082 3…“ auf S. 260). Augustus De Morgan führte die Bezeichnung γ in einem in Teilen von 1836 bis 1842 veröffentlichten Lehrbuch im Rahmen der Behandlung der Gammafunktion ein.Augustus De Morgan: The differential and integral calculus, Baldwin and Craddock, London 1836–1842 (englisch; „γ“ auf S. 578).
Verallgemeinerungen
Stieltjes-Konstanten Die Eulersche Konstante kennt mehrere Verallgemeinerungen. Die wichtigste und bekannteste ist die der Stieltjes-Konstanten:
Die Euler-Mascheroni-Konstante ergibt sich für :
Fakultät und Gammafunktion Gegeben war diese Summendefinition für die Euler-Mascheroni-Konstante:
Verallgemeinert gelten diese beiden zueinander identischen Ausdrücke: {| class="wikitable"
Beispielsweise gilt:
Die im Kästchen genannten Verallgemeinerungsformeln gehen direkt aus der Weierstraßschen Definition der harmonischen Reihenfunktion hervor:
Denn durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x entstehen die beiden Formeln im Kästchen.
Folgende Ableitungsgesetze sind gültig:
Die kontinuierliche Fakultätsfunktion ist gleich der Gaußschen Pifunktion.
Und die Gaußsche Pifunktion ergibt sich als Gammafunktion aus der Nachfolgerfunktion.
So lautet die Produktreihendefinition nach Weierstraß für diese berühmte Funktion:
Aus den genannten Verallgemeinerungsformeln folgt auch:
Beispielsweise gilt:
Und aus diesen Summen folgt nach dem ebenso:
Beispielsweise gilt:
Anzahl berechneter Dezimalstellen