rahmenlos|rechts|hochkant=1.8|class=skin-invert-image|Winkel Ein Winkel ist in der Geometrie ein Teil der Ebene, der von zwei in der Ebene liegenden Strahlen (Halbgeraden) mit gemeinsamem Anfangspunkt begrenzt wird.
Der gemeinsame Anfangspunkt der beiden Strahlen wird Scheitelpunkt des Winkels, Winkelscheitel oder kurz Scheitel genannt; die Strahlen heißen Schenkel des Winkels oder Winkelschenkel. Ein Winkel kann durch drei Punkte festgelegt werden, von denen einer den Scheitel des Winkels bildet und die beiden anderen auf je einem Schenkel des Winkels liegen.
Die physikalische Größe, die die relative Lage der Strahlen zueinander beschreibt, wird als Winkelweite oder Winkelabstand (Winkeldistanz) bezeichnet, üblicherweise auch verkürzend als Winkel, wenn eine Unterscheidung von dem geometrischen Objekt nicht notwendig ist, beispielsweise in der Physik. Die Größe des Winkels wird mit einem Winkelmaß angegeben.
Die Winkelweite kann auch als Maß einer ebenen Drehung definiert werden.
Zur Unterscheidung vom Raumwinkel wird der hier definierte Winkel auch als ebener Winkel bezeichnet.
Definition In der Geometrie sind zur Definition des Winkels als Objekt verschiedene Ansätze möglich. Dabei lassen sich zwei Typen unterscheiden: Der ungerichtete Winkel, der durch eine vorzeichenlose Winkelweite gekennzeichnet ist. Der gerichtete (orientierte) Winkel, der über eine Orientierung verfügt, und als Drehwinkel oder Winkelabstand gemessen wird.
Darstellung als Strahlenpaar Die eingangs angeführte Definition zweier von einem Punkt ausgehenden Strahlen ist in die Anwendungen wie etwa die Koordinatensysteme und deren Achsen eingebunden.
Darstellung als Halbgeradenpaar mini|hochkant=1.3|class=skin-invert-image|Darstellung eines Winkels als Paar der zwei Halbgeraden f und g Der Winkel ist ein geometrisches Gebilde bestehend aus zwei Halbgeraden mit demselben Ursprung. Sind , zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, so teilt der Punkt die Geraden , in Halbgeraden. Je eine Halbgerade von und (die Schenkel) zusammen mit (dem Scheitel) bilden einen Winkel.
Über die „ursprünglichen“ Geraden ermöglicht diese Darstellung etwa Betrachtungen über die verschiedenen Winkelpaare.
Darstellung als Teil der Ebene mini|hochkant=1.3|class=skin-invert-image|Darstellung als Teil der Ebene
Der Winkel (besser: das Winkelfeld) ist ein Teilbereich der Zeichenebene, der von zwei Halbstrahlen oder Halbgeraden begrenzt wird. Diese bilden den Rand, und der Rest des Winkelfeldes das Innere. Diese Definition wird im Schulunterricht verwendet und betont das „Körperhafte“ des Gebildes und dient – über die Festlegung eines Innen- und Außenraums – der Einführung in die Dreiecksgeometrie: Das Dreieck lässt sich als Schnittmenge zweier Winkel mit einem gemeinsamen Schenkel definieren.
Ad hoc ist bei diesen drei Ansätzen der Winkel ein ungerichteter Winkel, erst eine zusätzliche Auszeichnung einer der beiden Halbstrahlen oder Halbgeraden als die „erste“ ermöglicht die Angabe eines gerichteten Winkels.
Darstellung als Drehung Man kann auch sagen, dass ein Winkel durch die Drehung eines Strahls oder einer Halbgeraden in einer Ebene um seinen bzw. ihren Anfangspunkt entsteht.
Es gibt folgende zwei Drehrichtungen: Linksdrehung: gegen den Uhrzeigersinn, auch mathematisch positiver Drehsinn genannt (Winkel ist positiv) Rechtsdrehung: im Uhrzeigersinn, auch mathematisch negativer Drehsinn genannt (Winkel ist negativ)
In der Mathematik ist die Linksdrehung – also gegen den Uhrzeigersinn – als positive Drehrichtung definiert. Soll die Drehung andersherum erfolgen, bekommen die Winkel ein negatives Vorzeichen.
In der Geodäsie (Vermessungswesen) wird der Winkel im Uhrzeigersinn, also rechtsdrehend von 0 gon bis 400 gon gezählt. Da in der Geodäsie per Definition der Hochwert in Gauß-Krüger-Koordinaten mit X oder H sowie der Rechtswert mit Y oder R bezeichnet werden, und keine negativen Winkel existieren, ist der Drehsinn von X nach Y (ähnlich dem mathematisch positiven Drehsinn) positiv – nur dass die Achsen eben vertauscht sind. Analog zur Uhr, auch hier wird von 0 bis 24 h positiv, rechtsdrehend gezählt. Alle geodätischen Messinstrumente werden zur Richtungs- oder Winkelmessung rechtsherum gedreht.
Bezeichnung von Winkeln hochkant=1.3|mini|class=skin-invert-image|Winkel werden im mathematisch positiven Drehsinn bezeichnet. Aus der Bezeichnung ∠ABC geht hervor, dass der grüne Winkel gemeint ist, aus der Bezeichnung ∠CBA der rote. Die Angabe eines Winkels erfolgt nach DIN 1302 oder ISO 80000-2. Winkel werden meistens mit kleinen griechischen Buchstaben, z. B. oder , bezeichnet. Ein Winkel ist ein Winkel zwischen zwei Halbstrahlen, Geraden, Kanten und ähnlichem. Er wird dann von ausgehend Richtung gezählt. Alternativ kann man die drei Punkte angeben, die den Winkel definieren, wobei der Scheitelpunkt immer in der Mitte steht, z. B. Winkel ABC, oder veraltet . Dies bezeichnet den Winkel zwischen und , wobei im mathematisch positiven Drehsinn auf gedreht wird. Im englischen Sprachraum ist auch nur die Angabe des Scheitels bzw. üblich.
Für den Formelsatz steht das Zeichen »∠« (HTML ∠/∠, TeX \angle, Unicode U+2220) zur Verfügung, für den gerichteten Winkel auch »∡« (TeX \measuredangle, U+2221 , keine HTML-Entität), die sich beide im Unicode-Block Mathematische Operatoren finden. Das liegende Winkelzeichen entspricht den angloamerikanischen Gewohnheiten, im europäischen Formelsatz ist ein Zeichen üblich, das dem amerikanischen »∢« U+2222 für den Raumwinkel zum Verwechseln ähnlich sieht. »∠« findet auch für Neigung und Winkligkeit (Lagetoleranz, DIN EN ISO 1101) Verwendung. Speziell für den rechten Winkel verwendet man alternativ einen Winkel ohne Zusatz »∟«, einen Winkel mit Bogen und Punkt »⦝« oder einen Winkel mit Bogen »⊾«, in der Technik auch einen Winkel mit Quadrat »⦜« oder das Zeichen für Orthogonalität .
Winkelmaße und Maßeinheiten für Winkel Ausführliche Informationen bietet der Hauptartikel Winkelmaß, Umrechnungen sind in den Artikeln zu den einzelnen Maßen zu finden. Winkelmaß Maßeinheit 1 Vollwinkel = Einheitenzeichen—Vollwinkel1—BogenmaßRadiant2πradGradmaßGrad (Bogenminute, Bogensekunde)360° (′, ″)Geodätisches WinkelmaßGon (veraltet: Neugrad)400gon (veraltet: g)ZeitmaßStunden, Minuten, Sekunden24h, m, s—Nautischer Strich32¯—Artilleristischer Strich (Schweiz: Artilleriepromille)6400mil (A‰)—Prozent, Promillenichtlinear%, ‰
Weitere Formen der Angabe eines Winkels: Ein Paar mit Cosinus und Sinus (entspricht den kartesischen Koordinaten des Punktes auf dem Einheitskreis)
Arten von Winkeln + Winkel nach Größe [°] [rad] (mit ) [rad] (mit ) [] Nullwinkel spitzer Winkel Vollwinkel rechter Winkel Vollwinkel stumpfer Winkel Vollwinkel und Vollwinkel gestreckter Winkel Vollwinkel überstumpfer Winkel Vollwinkel (erhabener) und Vollwinkel voller Winkel Vollwinkel Der Vollwinkel ist in Deutschland, Österreich und der Schweiz eine gesetzliche Einheit im Messwesen, er besitzt kein Einheitenzeichen.
Schnittwinkel Zwischen zwei sich schneidenden Geraden existieren vier Winkel. Jeweils zwei nebeneinander liegende summieren sich dabei zu 180°. Der rechte Winkel hat die Besonderheit, dass diese beiden Winkel genau gleich sind. Jeweils zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich. Der Vollwinkel hat die Besonderheit, dass zwei der Winkel null sind.
Zwei Geraden oder Strecken, die sich im rechten Winkel schneiden, nennt man zueinander orthogonal. In einer Zeichnung wird der rechte Winkel durch einen Viertelkreis mit Punkt oder durch ein Quadrat dargestellt.
Spezielle Winkelpaare mini|hochkant=0.55|class=skin-invert-image|Komplement- oder Komplementärwinkel Die Geometrie kennt besondere Bezeichnungen für Paare von Winkeln, die zueinander in einer besonderen Beziehung stehen. Die für solche Winkel geltenden Gesetze helfen bei der Untersuchung komplexerer geometrischer Objekte.
Komplementwinkel oder Komplementärwinkel Zwei Winkel heißen Komplementwinkel oder Komplementärwinkel, wenn sie sich zu einem rechten Winkel (90°) ergänzen.
Supplementwinkel oder Ergänzungswinkel mini|hochkant=0.86|class=skin-invert-image|Nebenwinkelmini|hochkant=0.55|Supplement- oder Ergänzungswinkel Zwei Winkel heißen Supplementwinkel (auch: Supplementärwinkel), Supplement oder Ergänzungswinkel, wenn sie sich zu 180° ergänzen.
Nebenwinkel Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man ein Paar benachbarter Winkel als Nebenwinkel. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°. Sie sind also Supplementwinkel.
Scheitelwinkel oder Gegenwinkel mini|hochkant=0.55|class=skin-invert-image|Scheitelwinkel Schneiden sich zwei Geraden, so bezeichnet man das Paar gegenüberliegender Winkel als Scheitelwinkel oder Gegenwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Die Bezeichnung Scheitelwinkel kommt daher, dass die beiden Winkel durch Punktspiegelung am Scheitelpunkt aufeinander abgebildet werden.
Stufenwinkel oder F-Winkel mini|hochkant=0.55|class=skin-invert-image|Stufen- oder F-Winkel Schneidet eine Gerade zwei Geraden und , so heißen die Winkel, die auf derselben Seite von und auf einander entsprechenden Seiten von bzw. liegen, Stufen- oder F-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden und parallel sind, gilt der Stufenwinkelsatz: Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.
Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf derselben Seite von und auf einander entsprechenden Seiten von und gleich groß sind, so sind die Geraden und parallel.
Wechselwinkel oder Z-Winkel mini|hochkant=0.55|class=skin-invert-image|Wechsel- oder Z-Winkel Schneidet eine Gerade zwei Geraden und , so heißen die Winkel, die auf unterschiedlichen Seiten von und entgegengesetzten Seiten von bzw. liegen, Wechsel- oder Z-Winkel. Für den Fall, dass die Geraden und parallel sind, gilt:
Wechselwinkel an Parallelen sind gleich groß.
Aus der Winkelgleichheit kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass die Schnittwinkel auf unterschiedlichen Seiten von und unterschiedlichen Seiten von bzw. gleich groß sind, so sind die Geraden und parallel.
Nachbarwinkel oder E-Winkel mini|hochkant=0.55|Nachbar- oder E-Winkel Schneidet eine Gerade zwei weitere parallele Geraden und , so bezeichnet man die Winkel, die auf derselben Seite von , aber auf unterschiedlichen Seiten von und liegen, als Nachbar- oder E-Winkel. Nachbarwinkel ergänzen sich zu 180°.
Aus der Ergänzung der Winkel zu 180° kann umgekehrt auf die Parallelität von Geraden geschlossen werden: Wird ein Geradenpaar , von einer weiteren Geraden so geschnitten, dass sich die Schnittwinkel, die auf derselben Seite von , aber jeweils auf unterschiedlichen Seiten von und liegen, zu 180° ergänzen, so sind die Geraden und parallel.
Die Eigenschaft, dass sich Nachbarwinkel zu 180° ergänzen, folgt direkt aus dem Parallelenaxiom der euklidischen Geometrie. Die oben genannten Eigenschaften von Stufen- und Wechselwinkeln lassen sich aus der Betrachtung von Neben- und Scheitelwinkeln von Nachbarwinkeln herleiten.
Normalwinkel mini|hochkant=0.55|Normalwinkel a)mini|hochkant=0.55|Normalwinkel b) Winkel, deren Schenkel paarweise aufeinander normal stehen werden Normalwinkel genannt. Sie sind gleich groß oder ergänzen sich zu 180°. Vergleiche nebenstehende Abbildungen.
Winkel nach Dimensionen
Zweidimensionale Winkel Der einfachste Fall für Winkel sind die in diesem Artikel ausführlich beschriebenen Winkel in der zweidimensionalen euklidischen Ebene. Sie sind meistens die intuitive und umgangssprachliche Vorstellung, wenn von Winkeln die Rede ist.
Dreidimensionale Winkel