Mit Chi-Quadrat-Test (-Test) bezeichnet man in der mathematischen Statistik eine Gruppe von Hypothesentests mit Chi-Quadrat-verteilter Testprüfgröße.
Man unterscheidet vor allem die folgenden Tests:
Verteilungstest (auch Anpassungstest genannt): Hier wird geprüft, ob vorliegende Daten auf eine bestimmte Weise verteilt sind. Unabhängigkeitstest: Hier wird geprüft, ob zwei Merkmale stochastisch unabhängig sind. Homogenitätstest: Hier wird geprüft, ob zwei oder mehr Stichproben derselben Verteilung bzw. einer homogenen Grundgesamtheit entstammen.
Der Chi-Quadrat-Test und seine Teststatistik wurden erstmals 1900 von Karl Pearson beschrieben.
Verteilungstest mini|300x300px|Chi-Quadrat-Verteilung mit auf der x-Achse und auf der y-Achse. Man betrachtet ein statistisches Merkmal , dessen Wahrscheinlichkeiten in der Grundgesamtheit unbekannt sind. Es wird bezüglich der Wahrscheinlichkeiten von eine vorläufig allgemein formulierte Nullhypothese
: Das Merkmal besitzt die Wahrscheinlichkeitsverteilung
aufgestellt.
Vorgehensweise
Es liegen unabhängige Beobachtungen des Merkmals vor, die in verschiedene Kategorien fallen. Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise in Klassen zusammen und fasst die Klassen als Kategorien auf. Die Anzahl der Beobachtungen in der -ten Kategorie ist die beobachtete Häufigkeit .
Man überlegt sich nun, wie viele Beobachtungen im Mittel in einer Kategorie liegen müssten, wenn tatsächlich die hypothetische Verteilung besäße. Dazu berechnet man zunächst die Wahrscheinlichkeit , dass eine Ausprägung von in die Kategorie fällt. Die unter zu erwartende absolute Häufigkeit ist:
Wenn die in der vorliegenden Stichprobe beobachteten Häufigkeiten „zu stark“ von den erwarteten Häufigkeiten abweichen, wird die Nullhypothese abgelehnt. Die Prüfgröße für den Test
misst die Größe der Abweichung.
Die Prüfgröße ist bei ausreichend großen annähernd Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden. Wenn die Nullhypothese wahr ist, sollte der Unterschied zwischen der beobachteten und der theoretisch erwarteten Häufigkeit klein sein. Also wird bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt. Der Ablehnungsbereich für liegt rechts.
Bei einem Signifikanzniveau wird abgelehnt, wenn gilt, wenn also der aus der Stichprobe erhaltene Wert der Prüfgröße größer als das -Quantil der -Verteilung mit Freiheitsgraden ist.
Es existieren Tabellen der -Quantile (kritische Werte) in Abhängigkeit von der Anzahl der Freiheitsgrade und vom gewünschten Signifikanzniveau (siehe unten).
Soll das Signifikanzniveau, das zu einem bestimmten -Wert gehört, bestimmt werden, so muss in der Regel aus der Tabelle ein Zwischenwert berechnet werden. Dazu verwendet man logarithmische Interpolation.
Besonderheiten Schätzung von Verteilungsparametern Im Allgemeinen gibt man bei der Verteilungshypothese die Parameter der Verteilung an. Kann man diese nicht angeben, müssen sie aus der Stichprobe geschätzt werden. Hier geht bei der Chi-Quadrat-Verteilung pro geschätztem Parameter ein Freiheitsgrad verloren. Sie hat also Freiheitsgrade mit als Anzahl der geschätzten Parameter. Für die Normalverteilung wäre , wenn der Erwartungswert und die Varianz abgeschätzt werden.
Mindestgröße der erwarteten Häufigkeiten Damit die Prüfgröße als annähernd Chi-Quadrat-verteilt betrachtet werden kann, muss jede erwartete Häufigkeit eine gewisse Mindestgröße betragen. Verschiedene Lehrwerke setzen diese bei 1 oder 5 an. Ist die erwartete Häufigkeit zu klein, können gegebenenfalls mehrere Klassen zusammengefasst werden, um die Mindestgröße zu erreichen. Alternativ kann der Cash-Test oder der G-Test angewandt werden, welche auch mit Kategorien arbeiten können deren Häufigkeit nahe null ist. Der G-Test ist korrekt wenn die gesamte Stichprobengröße in der Analyse durch das Studiendesign fixiert ist, während der Cash-Test für Stichproben ist, deren Größe im Vorfeld der Messung nicht bekannt ist.
Beispiel zum Verteilungstest Es liegen von ca. 200 börsennotierten Unternehmen die Umsätze vor. Das folgende Histogramm zeigt ihre Verteilung.
zentriert
Es sei der Umsatz eines Unternehmens [Mio. €].
Es soll nun die Hypothese getestet werden, dass normalverteilt ist.
Da die Daten in vielen verschiedenen Ausprägungen vorliegen, wurden sie in Klassen eingeteilt. Es ergab sich die Tabelle:
KlasseIntervallBeobachtete Häufigkeitjüberbisnj1…00205000148350001000017410000150005515000200008620000250004725000300003830000350003935000…9Summe 197
Da keine Parameter vorgegeben werden, werden sie aus der Stichprobe ermittelt. Es sind geschätzt
und
Es wird getestet: : ist normalverteilt mit dem Erwartungswert und der Standardabweichung .
Um die unter erwarteten Häufigkeiten zu bestimmen, werden zunächst die Wahrscheinlichkeiten berechnet, dass in die vorgegebenen Klassen fällt. Man errechnet dann
Darin ist eine standardnormalverteilte Zufallsvariable und ihre Verteilungsfunktion. Analog errechnet man:
…
Daraus ergeben sich die erwarteten Häufigkeiten
…
Es müssten also beispielsweise ca. 25 Unternehmen im Mittel einen Umsatz zwischen 0 € und 5000 € haben, wenn das Merkmal Umsatz tatsächlich normalverteilt ist.
Die erwarteten Häufigkeiten sind zusammen mit den beobachteten Häufigkeiten in der folgenden Tabelle aufgeführt.
Klasse Intervall Beobachtete Häufigkeit Wahrscheinlichkeit Erwartete Häufigkeit j über bis nj p0j n0j 1 … 0 0 0,3228 63,59 2 0 5000 148 0,1270 25,02 3 5000 10000 17 0,1324 26,08 4 10000 15000 5 0,1236 24,35 5 15000 20000 8 0,1034 20,36 6 20000 25000 4 0,0774 15,25 7 25000 30000 3 0,0519 10,23 8 30000 35000 3 0,0312 6,14 9 35000 … 9 0,0303 5,98 Summe 197 1,0000 197,00
Die Prüfgröße wird jetzt folgendermaßen ermittelt:
Bei einem Signifikanzniveau liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei . Da , wird die Nullhypothese abgelehnt. Man kann davon ausgehen, dass das Merkmal Umsatz in der Grundgesamtheit nicht normalverteilt ist (was plausibel ist, da keine negativen Umsätze gemeldet wurden, die in einer Normalverteilung ebenfalls zu erwarten sind).
Ergänzung Die obigen Daten wurden in der Folge logarithmiert. Aufgrund des Ergebnisses des Tests des Datensatzes der logarithmierten Daten auf Normalverteilung konnte auf einem Signifikanzniveau von 0,05 die Nullhypothese der Normalverteilung der Daten nicht verworfen werden. Unter der Voraussetzung, dass die logarithmierten Umsatzdaten tatsächlich einer Normalverteilung entstammen, sind die ursprünglichen Umsatzdaten logarithmisch normalverteilt.
Das folgende Histogramm zeigt die Verteilung der logarithmierten Daten.
zentriert
Chi-Quadrat-Verteilungstest in der Rechtsprechung In Deutschland wurde der Chi-Quadrat-Verteilungstest im Rahmen der Anwendung des Benfordschen Gesetzes gerichtlich als Mittel einer Finanzbehörde bestätigt, die Ordnungsmäßigkeit der Kassenführung zu beanstanden. Konkret wurde die Häufigkeitsverteilung von Ziffern in Kassenbucheintragungen mit dem Chi-Quadrat-Test untersucht, woraus sich ein „starkes Indiz für Manipulationen bei den Einnahmeaufzeichnungen“ ergab.Beschluss des FG Münster vom 10. November 2003 (Az.: 6 V 4562/03 E,U) (PDF) Allerdings ist die Anwendbarkeit Einschränkungen unterworfen und gegebenenfalls müssen andere statistische Verfahren benutzt werden (siehe Benfordsches Gesetz).
Unabhängigkeitstest Der Unabhängigkeitstest ist ein Signifikanztest auf stochastische Unabhängigkeit in der Kontingenztafel.
Man betrachtet zwei statistische Merkmale und , die beliebig skaliert sein können. Man interessiert sich dafür, ob die Merkmale stochastisch unabhängig sind. Es wird die Nullhypothese
: Die Merkmale und sind stochastisch unabhängig.
aufgestellt.
Vorgehensweise Die Beobachtungen von liegen in Kategorien vor, die des Merkmals in Kategorien . Treten bei einem Merkmal sehr viele Ausprägungen auf, fasst man sie zweckmäßigerweise zu Klassen zusammen und fasst die Klassenzugehörigkeit als -te Kategorie auf. Es gibt insgesamt paarweise Beobachtungen von und , die sich auf Kategorien verteilen.
Konzeptionell ist der Test so aufzufassen:
Man betrachte zwei diskrete Zufallsvariablen und , deren gemeinsame Wahrscheinlichkeiten in einer Wahrscheinlichkeitstabelle dargestellt werden können.
Man zählt nun, wie oft die -te Ausprägung von zusammen mit der -ten Ausprägung von auftritt. Die beobachteten gemeinsamen absoluten Häufigkeiten können in einer zweidimensionalen Häufigkeitstabelle mit Zeilen und Spalten eingetragen werden.
Merkmal Summe ΣMerkmal 12…k…rnj.1n11n12…n1k…n1rn1.2n21n22…n2k…n2rn2.……………………jnj1……njk……nj.……………………mnm1nm2…nmk…nmrnm.Summe Σn.1n.2…n.k…n.rn
Die Zeilen- bzw. Spaltensummen ergeben die absoluten Randhäufigkeiten bzw. als
und
Entsprechend sind die gemeinsamen relativen Häufigkeiten und die relativen Randhäufigkeiten und .
Wahrscheinlichkeitstheoretisch gilt: Sind zwei Ereignisse und stochastisch unabhängig, ist die Wahrscheinlichkeit für ihr gemeinsames Auftreten gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten:
Man überlegt sich nun, dass analog zu oben bei stochastischer Unabhängigkeit von und auch gelten müsste
mit multipliziert entsprechend
oder auch
Sind diese Differenzen für sämtliche klein, kann man vermuten, dass und tatsächlich stochastisch unabhängig sind.
Setzt man für die erwartete Häufigkeit bei Vorliegen von Unabhängigkeit
resultiert aus der obigen Überlegung die Prüfgröße für den Unabhängigkeitstest
Die Prüfgröße ist bei ausreichend großen erwarteten Häufigkeiten annähernd Chi-Quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden.
Wenn die Prüfgröße klein ist, wird vermutet, dass die Hypothese wahr ist. Also wird bei einem hohen Prüfgrößenwert abgelehnt, der Ablehnungsbereich für liegt rechts.
Bei einem Signifikanzniveau wird abgelehnt, wenn , dem -Quantil der Chi-Quadrat-Verteilung mit Freiheitsgraden ist.
Besonderheiten Damit die Prüfgröße als annähernd Chi-Quadrat-verteilt betrachtet werden kann, muss jede erwartete Häufigkeit eine gewisse Mindestgröße haben. Verschiedene Lehrwerke setzen diese bei 1 oder 5 an. Ist die erwartete Häufigkeit zu klein, können gegebenenfalls mehrere Klassen zusammengefasst werden, um die Mindestgröße zu erreichen.
Alternativ kann die Stichprobenverteilung der Teststatistik auf Basis der gegebenen Randverteilungen und der Annahme der Unabhängigkeit der Merkmale per Bootstrapping-Verfahren untersucht werden.
Beispiel zum Unabhängigkeitstest Im Rahmen des Qualitätsmanagements wurden die Kunden einer Bank befragt, unter anderem nach ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung und nach der Gesamtzufriedenheit. Der Grad der Zufriedenheit richtete sich nach dem Schulnotensystem.
Aus den Daten ergibt sich die folgende Kreuztabelle der Gesamtzufriedenheit von Bankkunden versus ihrer Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung. Man sieht, dass einige erwartete Häufigkeiten zu klein waren.
zentriert
Eine Reduzierung der Kategorien auf jeweils drei durch Zusammenfassung der Noten 3–6 auf eine neue Gesamtnote 3 ergab methodisch korrekte Ergebnisse.
zentriert
Die folgende Tabelle enthält die erwarteten Häufigkeiten , die sich so berechnen:
Merkmal Merkmal 123Σ144,3544,8412,811022156,09157,8245,09359369,5770,3420,10160Σ27027378621
Die Prüfgröße wird dann folgendermaßen ermittelt:
Bei einem liegt der kritische Wert der Testprüfgröße bei . Da ist, wird die Hypothese signifikant abgelehnt, man vermutet also, dass die Zufriedenheit mit der Geschäftsabwicklung und die Gesamtzufriedenheit assoziiert sind.
Homogenitätstest