Raumzeit

Raumzeit oder Raum-Zeit-Kontinuum bezeichnet die gemeinsame Darstellung des dreidimensionalen Raums und der eindimensionalen Zeit in einer vierdimensionalen mathematischen Struktur. Diese Darstellung wird in der Speziellen und der Allgemeinen Relativitätstheorie benutzt.

Der Mensch erlebt Ort und Zeit als zwei verschiedene Gegebenheiten, auch wegen der mit der Zeit verbundenen Kausalität – eine Wirkung kann nicht früher als ihre Ursache eintreten. In der klassischen Physik und größtenteils in der Technik werden Ort und Zeit als voneinander unabhängige Größen behandelt. Bei Geschwindigkeiten von der Größenordnung der Lichtgeschwindigkeit zeigt sich jedoch, dass sich Zeit und Ort eines Ereignisses gegenseitig bedingen. So hängt der zeitliche Abstand zweier Ereignisse, wie er von einem sich bewegenden Beobachter festgestellt wird, auch von ihrem räumlichen Abstand ab. In der Relativitätstheorie werden solche Zusammenhänge deshalb in mathematischen Formen beschrieben, „in denen die Zeitkoordinate genau dieselbe Rolle spielt wie die drei räumlichen Koordinaten“. Das benutzte Koordinatensystem ist ein „vierdimensionales zeiträumliches Kontinuum“, das verkürzt als der Minkowski-Raum bezeichnet wird. Albert Einstein: Über die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie, §17. Minkowskis vierdimensionaler Raum.

Im Zusammenhang der klassischen Mechanik ist der Raumzeitbegriff von PenroseRoger Penrose: The Road to Reality. Vintage Books, London, 2005, ISBN 978-0-099-44068-0. und ArnoldVladimir Igorevič Arnolʹd: Mathematical Methods of Classical Mechanics, Second edition, Springer 1989, ISBN 978-1-4419-3087-3. diskutiert worden.

Raumzeit in der speziellen Relativitätstheorie Kausalität und Abstandsbegriff Auch bei einer Kopplung von Raum und Zeit muss, falls Ereignis A das Ereignis B hervorruft, diese „Kausalität“ in allen Koordinatensystemen gelten; ein Koordinatensystemwechsel darf die Kausalität von Ereignissen nicht verändern. Die Kausalität wird mathematisch durch einen Abstandsbegriff definiert. Der Abstand zweier Ereignisse hängt von den drei Ortskoordinaten und der Zeitkoordinate ab. Wegen der Forderung nach der Erhaltung der Kausalität zweier Ereignisse oder allgemeiner nach der Lorentz-Invarianz müssen physikalische Modelle in mathematischen Räumen beschrieben werden, in denen Zeit und Raum in bestimmter Weise gekoppelt sind.

Es lässt sich ein absolut (absolut im Sinne der Invarianz gegenüber Koordinatenwechsel) gültiger Abstandsbegriff, z. B. die sogenannte Eigenzeit oder der „verallgemeinerte Abstand“, für Raumzeitpunkte („Ereignisse“) des vierdimensionalen Raum-Zeit-Kontinuums definieren, auch bei beliebig eng („infinitesimal“) benachbarten Ereignissen. Was davon als räumlicher und was als zeitlicher Abstand gemessen wird, hängt ab vom Bewegungszustand des Beobachters und (im Falle der allgemeinen Relativitätstheorie) von der Anwesenheit von Masse bzw. Energie (z. B. in Feldern).

Mathematisch wird die Raumzeit mit Hilfe einer pseudo-riemannschen Mannigfaltigkeit beschrieben, speziell im sogenannten Minkowski-Raum. Im Minkowski-Raum muss zur Berechnung von Abständen außer den Ortskoordinaten auch die Zeitkoordinate der Ereignisse berücksichtigt werden, also mit der Lichtgeschwindigkeit . Die klassische Berechnung von räumlichen Abständen in kartesischen Koordinaten – der quadrierte Abstand ist – wird daher modifiziert: Der quadrierte verallgemeinerte Abstand von zwei Ereignissen im Minkowski-Raum ist und wird auch Raumzeit-Metrik oder Raumzeit-Intervall genannt. Die hier benutzten Vorzeichen sind die Signatur der Metrik und teilweise eine Frage der Konvention. Es gibt andere, gleichwertige Signaturen, etwa , oder weniger gebräuchliche wie , wo mit die imaginäre Einheit der komplexen Zahlen ist.

Minkowski-Raum, Vierervektoren

In der speziellen Relativitätstheorie (SRT) werden die dreidimensionalen Raumkoordinaten um eine Zeitkomponente zu einem Vierervektor im Minkowski-Raum („Raumzeit“) erweitert, also .

Ein Punkt in der Raumzeit besitzt drei Raumkoordinaten sowie eine Zeitkoordinate und wird als Ereignis oder Weltpunkt bezeichnet.

Für Ereignisse wird ein invarianter raum-zeitlicher Abstand definiert. Im klassischen euklidischen Raum, einem dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, bleibt das differentielle räumliche Abstandsquadrat (euklidische Norm) zweier Punkte lediglich unter Galilei-Transformationen konstant:

In der SRT dagegen wird ein für alle Beobachter identischer (verallgemeinerter) Abstand definiert, der auch unter Lorentz-Transformationen konstant (invariant) bleibt (diese Invarianz definiert man durch die Forderung, dass der vierdimensionale Abstand bzw. die Minkowski-Metrik konstant (invariant) unter einer linearen Koordinatentransformation ist, wodurch sich die oben erwähnte Homogenität der Raumzeit ausdrückt):

.

Dies ist die quadrierte Minkowski-Norm, welche die uneigentliche Metrik (Abstandsfunktion) der flachen Raumzeit erzeugt. Sie wird durch das (indefinite) invariante Skalarprodukt auf dem Minkowski-Raum induziert, welches sich als Wirkung des (pseudo)-metrischen Tensors definieren lässt:

(beachte: Einsteinsche Summenkonvention)

Dieser metrische Tensor wird im physikalischen Sprachgebrauch auch als „Minkowski-Metrik“ oder „flache Metrik“ der Raumzeit bezeichnet, obwohl er im eigentlichen Sinne nicht mit der Metrik an sich zu verwechseln ist. Es handelt sich mathematisch vielmehr um ein Skalarprodukt auf einer pseudoriemannschen Mannigfaltigkeit.

Bei dem Linienelement handelt es sich bis auf den Faktor um die differentielle Eigenzeit:

.

Diese wird mit einer mitbewegten Uhr gemessen, also im „momentan begleitenden Inertialsystem“, in dem das auf der Weltlinie befindliche Teilchen ruht: .

Ein Element (Vektor) der Raumzeit heißt zeitartig, wenn gilt (Raumzeit-Abstand reell). Zwei Ereignisse, für die positiv ist, sind gegenseitig sichtbar, d. h., sie liegen innerhalb des Lichtkegels. raumartig, wenn gilt (Raumzeit-Abstand imaginär). Zwei Ereignisse, für die negativ ist, sind raumzeitlich so weit voneinander entfernt, dass ein Lichtstrahl nicht rechtzeitig von einem zum anderen Ereignis gelangen kann. Da Information entweder über Licht oder Materie übertragen wird und die Geschwindigkeit von Materie in der Relativitätstheorie niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen kann (und somit auch nicht überschreiten kann), können solche Ereignisse niemals in einer Ursache-Wirkung-Beziehung stehen. Sie könnten nur mit Überlichtgeschwindigkeit wahrgenommen werden, sind also prinzipiell gegenseitig unsichtbar, d. h., sie liegen außerhalb des Lichtkegels. lichtartig, wenn gilt. Licht bewegt sich stets genau mit der Geschwindigkeit , so dass für es in allen Bezugssystemen gilt (Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, das Ausgangsprinzip der speziellen Relativitätstheorie).

Die Klassifizierung der Raumzeit-Vektoren (raumartig, lichtartig oder zeitartig) bleibt bei den zulässigen Transformationen (Lorentztransformationen) unverändert (Invarianz des Lichtkegels).

Praktische Anwendung findet das Rechnen mit Raumzeitvektoren in der Kinematik schneller Teilchen.siehe z. B.: Walter Greiner, Johann Rafelski: Spezielle Relativitätstheorie, 3. Auflage, Frankfurt 1992, ISBN 3-8171-1205-X, S. 136–185.

Mathematische Motivation der Minkowski-Metrik Betrachtet man den D’Alembert-Operator , bestehend aus der zweiten partiellen Ableitung nach der Zeit und dem Laplace-Operator mit

,

so ist zu erkennen, dass man auch abkürzend

schreiben kann, wenn folgende zwei Vierervektoren eingeführt werden:

In diesem Fall tritt die Zeit als vierte Dimension auf, die Metrik muss also von einer -Matrix induziert sein.

Da die vier Dimensionen linear unabhängig sind, lässt sich auf Diagonalform bringen (Hauptachsentransformation).

Aufgrund der Forderung, dass es keine ausgezeichneten Raumzeit-Koordinaten gibt, können die Diagonalelemente nur den Wert besitzen. Für die Raumkoordinaten wird hier gewählt. Dies ist aber eine Konvention, die nicht einheitlich verwendet wird.

Die Zeitkomponente kann nicht dasselbe Vorzeichen haben wie die Raumkomponenten. Hierzu betrachtet man wieder den D’Alembert-Operator :

Daraus ergäbe sich als homogene Wellengleichung für eine Welle

Setzt man nun für eine ebene Welle an, d. h. , so ergäbe sich eine komplexe Frequenz, und damit wäre exponentiell gedämpft. In diesem Fall gäbe es also keine dauerhaften ebenen Wellen, was im Widerspruch zur Beobachtung steht. Folglich muss die Zeitkomponente ein anderes Vorzeichen haben:

Daraus ergibt sich die korrekte homogene Wellengleichung

Minkowski-Diagramm

Im Minkowski-Diagramm können die Verhältnisse geometrisch dargestellt und analysiert werden. Wegen der komplexen Eigenschaft der Zeitkomponente wird dort die Drehung der Zeitachse mit umgekehrtem Vorzeichen wie die Drehung der Koordinatenachse dargestellt.

Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie Nichteuklidische Geometrien Grundlage zur Beschreibung der Raumzeit in der allgemeinen Relativitätstheorie ist die pseudo-riemannsche Geometrie. Die Koordinatenachsen sind hier nichtlinear, was als Raumkrümmung interpretiert werden kann. Für die vierdimensionale Raumzeit werden die gleichen mathematischen Hilfsmittel wie zur Beschreibung einer zweidimensionalen Kugeloberfläche oder für Sattelflächen herangezogen. Als unumstößlich angesehene Aussagen der euklidischen Geometrie, insbesondere das Parallelenaxiom, müssen in diesen Theorien aufgegeben und durch allgemeinere Beziehungen ersetzt werden. Die kürzeste Verbindung zwischen zwei Punkten ist hier beispielsweise kein Geradenteilstück mehr. Einer Geraden in der euklidischen Geometrie entspricht die Geodäte in der nicht-euklidischen Welt; im Falle einer Kugeloberfläche sind die Geodäten die Großkreise. Die Winkelsumme im – aus Geodätenabschnitten bestehenden – Dreieck ist auch nicht mehr 180 Grad. Im Falle der Kugeloberfläche ist sie größer als 180 Grad, im Falle von Sattelflächen dagegen kleiner.

Raumzeit-Krümmung

Die Krümmung der Raumzeit wird durch jede Form von Energie und Impuls, wie etwa Masse, Strahlung oder Druck, verursacht. Diese Größen bilden zusammen den Energie-Impuls-Tensor und gehen in die Einsteingleichungen als Quelle des Gravitationsfeldes ein. Daraus resultiert eine krummlinige Bewegung von kräftefreien Körpern entlang von Geodäten. In einem infinitesimalen Raumabschnitt (lokale Karte) gilt stets die flache Metrik der speziellen Relativitätstheorie. Wird die gekrümmte Bewegung einer Gravitationsbeschleunigung zugeschrieben, muss die konstante Raumkrümmung mit dem Faktor beschrieben werden. Im Modell der gekrümmten Raumzeit jedoch existiert so etwas wie eine Gravitationskraft gar nicht, an ihre Stelle ist eine für alle kräftefreien Körper in diesem (infinitesimalen) Raumabschnitt gleiche Krümmung der Weltlinien (Bewegungskurven in der Raumzeit) getreten.

In vielen populären Darstellungen der allgemeinen Relativitätstheorie wird häufig nicht beachtet, dass die dem Gravitationsfeld zugeschriebenen Wirkungen nicht allein durch Krümmung des dreidimensionalen Raums, sondern erst durch die Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit hervorgerufen werden. Dass stets Raum und Zeit gekrümmt sein müssen, ist anschaulich leicht zu verstehen: Wäre nur der Raum gekrümmt, so wäre die Trajektorie eines geworfenen Steines immer dieselbe, egal welche Anfangsgeschwindigkeit der Stein besäße, da er stets nur dem gekrümmten Raum folgen würde. Nur durch die zusätzliche Krümmung der Zeit können die je nach Geschwindigkeit verschiedenen Trajektorien zustande kommen. Im Rahmen der ART kann dies auch mathematisch gezeigt werden.