mini|Pierre de Fermat Der Große Fermatsche Satz besagt, dass die -te Potenz einer positiven ganzen Zahl nicht in die Summe zweier ebensolcher Potenzen zerlegt werden kann, wenn größer als 2 ist:
wobei positive ganze Zahlen sind. Die Gleichung wird auch Fermat-Gleichung genannt.
Der Große Fermatsche Satz wurde im 17. Jahrhundert von Pierre de Fermat formuliert, aber erst 1994 von Andrew Wiles bewiesen. Als schlüssiger Höhepunkt für den Beweis gilt die Zusammenarbeit von Wiles mit Richard Taylor, die sich neben dem endgültigen Beweis durch Wiles in einer gleichzeitigen Veröffentlichung eines Teilbeweises von beiden, Wiles und Taylor, als gemeinsame Autoren niedergeschlagen hat.
Der Große Fermatsche Satz gilt in vielerlei Hinsicht als ungewöhnlich. Seine Aussage ist, trotz der Schwierigkeiten, die sich bei seinem Beweis ergaben, auch für Laien leicht verständlich. Es dauerte mehr als 350 Jahre und war eine Geschichte der gescheiterten Versuche, an denen sich seit Leonhard Euler zahlreiche führende Mathematiker wie etwa Ernst Eduard Kummer beteiligt haben. Zahlreiche teils romantische, teils dramatische, aber auch tragische Episoden dieser Geschichte haben ihn weit über den Kreis der Mathematiker hinaus populär gemacht.
Der schließlich erbrachte Beweis, an dessen Vorarbeiten neben Wiles und Taylor auch Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre, Barry Mazur und Ken Ribet beteiligt waren, gilt als Höhepunkt der Mathematik des 20. Jahrhunderts.
Bezeichnungen Für diesen Satz existieren verschiedene Bezeichnungen. Die im Deutschen häufigste ist Großer Fermatscher Satz und daraus abgeleitet Großer Fermat im Gegensatz zum Kleinen Fermatschen Satz bzw. Kleinen Fermat. Da von Fermat selbst kein Beweis überliefert ist, handelte es sich streng genommen zunächst nur um eine Vermutung. Daher wird auch der Begriff Fermatsche Vermutung verwendet, doch auch schon vor dem Beweis wurde vom Fermatschen Satz gesprochen. Um Wiles, den Finder des Beweises, mit einzubeziehen, ist auch vom Satz von Fermat-Wiles die Rede. Im Englischen wird der Satz als Fermat’s Last Theorem bezeichnet, was im Deutschen manchmal (ungenau) als Fermats letzter Satz bzw. Fermats letztes Theorem übersetzt wird.„Last“ bezieht sich hierbei darauf, dass es unter den von Fermat formulierten Sätzen der letzte unbewiesene war.
Ursprung mini|Buchdeckel der von Pierre de Fermats Sohn Clément-Samuel veröffentlichten Version der Arithmetica des Diophantos von 1670 mit den Bemerkungen seines Vaters mini|Diese Seite der Arithmetica von 1670 enthält Pierre de Fermats Randbemerkung
Vermutlich zwischen 1637 und 1643, ein genaues Jahr lässt sich aufgrund nachfolgend erläuterter Gegebenheiten nicht angeben, schrieb Fermat bei der Lektüre der Arithmetika des Diophantos von Alexandria neben die 8. Aufgabe des zweiten (griechischen) „Buches“ folgende Zeilen als Randbemerkung in sein Handexemplar dieses Werkes:
Da Fermats Handexemplar der Arithmetika erst nach seinem Tod von seinem Sohn im Nachlass seines Vaters gefunden wurde und dieser seine Randnotizen nicht datiert hat, lässt sich ein genaues Datum nicht feststellen. Es ist aber plausibel anzunehmen, dass Fermat zumindest den Fall und vielleicht auch den Fall gelöst hatte, bevor er sich zu seiner ebenso berühmten wie „leichtsinnigen“ Bemerkung verlocken ließ. Daher ist als Entstehungsjahr eher 1641 als 1637 wahrscheinlich.
Dass Fermat einen Beweis für den Spezialfall gefunden hatte, von dem er vielleicht glaubte, ihn verallgemeinern zu können, ist offenkundig, denn dieser Spezialfall ist eine leichte Folgerung aus einem von ihm explizit bewiesenen Satz: Area trianguli rectanguli in numeris non potest quadratus. (Der Flächeninhalt eines pythagoräischen Dreiecks kann keine Quadratzahl sein.), den er inklusive Beweis an den Rand neben der 26. Aufgabe des 6. (griechischen) „Buches“ der Arithmetika geschrieben hat.Pierre de Fermat: Bemerkungen zu Diophant. Aus dem Lateinischen übersetzt und mit Anmerkungen herausgegeben von Max Miller. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1932, S. 34–36.Catherine Goldstein: Un théorème de Fermat et ses lecteures. Presses Universitaires de Vincennes, Saint-Denis 1995 (französisch). André Weil hat zudem überzeugend nachgewiesen, dass Fermat alle Mittel besaß, auch den Fall mit seiner Methode zu beweisen.André Weil: Zahlentheorie. Ein Gang durch die Geschichte von Hammurapi bis Legendre. Birkhäuser, Basel 1992, S. 120–124.
Die im Jahr 1995 im Beweis von Wiles benutzten Theorien waren über 350 Jahre früher noch nicht einmal ansatzweise entwickelt. Das schließt nicht mit Sicherheit aus, dass eines Tages noch ein einfacherer Beweis gefunden wird, der mit elementareren Mitteln auskommt. Aber dass Fermat einen solchen gefunden haben könnte, wird heute von den meisten Zahlentheoretikern bezweifelt. Das sicherste Zeichen, dass Fermat bald merkte, dass er doch keinen Beweis gefunden hatte, ist, dass er gegenüber keinem seiner Korrespondenten den Satz und einen Beweis desselben erwähnt hat. Fermats Randbemerkung war zudem nur für ihn selbst bestimmt. Mit einer Veröffentlichung durch seinen Sohn Samuel konnte er nicht rechnen.
Verbreitung Nach dem Tod Fermats gerieten seine zahlentheoretischen Entdeckungen lange Zeit in Vergessenheit, da er seine Erkenntnisse nicht hatte drucken lassen und seine Zeitgenossen unter den Mathematikern sich für Zahlentheorie nicht sonderlich interessierten, Bernard Frénicle de Bessy ausgenommen. Fermats ältester Sohn Samuel veröffentlichte fünf Jahre nach dem Tod seines Vaters eine Neuauflage der Arithmetika, in der auch die achtundvierzig Bemerkungen seines Vaters eingefügt waren. Die zweite dieser Randnotizen wurde dann in weiterer Folge als Fermatsche Vermutung bekannt. Die Notizen enthielten zwar eine Reihe fundamentaler mathematischer Sätze, aber Beweise dazu oder auch nur einfache Erklärungen, wie Fermat zu diesen Resultaten gekommen war, fehlten meistens, wenn auch nicht in allen Fällen. So ist eine der wichtigsten Erkenntnisse Fermats, das berühmte Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus, neben der 26. Aufgabe des 6. „Buches“ der Arithmetika mit einem vollständigen Beweis versehen. Hier verwendet Fermat seine Methode des unendlichen Abstiegs. Es war den nachfolgenden Mathematikern überlassen, vor allem und zuerst Leonhard Euler, die fehlenden Beweise nach und nach zu finden.
Unsicherheit In diesem Kontext entwickelte sich in den folgenden Jahrhunderten speziell der (inzwischen sogenannte) Große Fermatsche Satz zu einer Herausforderung für viele Mathematiker – es gab de facto niemanden, der ihn beweisen oder widerlegen konnte. Weil aber Fermat selbst die Existenz eines „wunderbaren Beweises“ behauptet hatte, versuchten Generationen von Mathematikern, darunter auch die bedeutendsten ihrer Zeit, diesen zu finden. Auch die anderen Bemerkungen Fermats sollten sich als Quelle schwieriger, jahrelanger Arbeit für seine Mathematikerkollegen erweisen. Insgesamt führten diese Bemühungen aber – quasi nebenbei – zu einer Vielzahl bedeutender Entdeckungen.
Ausnahme n = 1, n = 2 Für und hat unendlich viele Lösungen mit . Für ist die Gleichung einfach , und es lassen sich beliebige für Lösungen wählen. Für sind die Lösungen die pythagoreischen Zahlentripel.
Beweise für Spezialfälle des Satzes Es reicht, die Vermutung für Primzahlexponenten und Exponent 4 zu beweisen. Es ist üblich, beim Fermatproblem für einen Primzahlexponenten zwei Fälle zu unterscheiden. Im ersten Fall wird nach Lösungen gesucht, bei denen nicht durch teilbar sind. Im zweiten Fall teilt das Produkt .
Spezielle Fälle des Großen Fermatschen Satzes konnten schon früh bewiesen werden:
n = 3, n = 4 und Vielfache dieser Zahlen Bernard Frénicle de Bessy publizierte schon 1676 einen ersten Beweis für den Fall .Paulo Ribenboim: Fermat’s last theorem for amateurs. Springer-Verlag, 2000, ISBN 978-0-387-98508-4. Seine Lösung stammte von Fermat selbst,André Weil: Number Theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser, 1984, S. 76. von dem in diesem Fall eine Beweisskizze in einer Randbemerkung in seiner Diophant-Ausgabe zu einem eng verwandten Problem bekannt ist (siehe Unendlicher Abstieg).
Leonhard Euler veröffentlichte 1738 einen Beweis für den Fall . Später konnte er mit Hilfe der komplexen Zahlen die Behauptung auch für den Fall bestätigen, den er 1770 publizierte (dass er den Beweis hatte, teilte er schon 1753 brieflich mit). Euler gelang es aber nicht, seine Beweismethode auf weitere Fälle auszudehnen.
Für den Fall sind mittlerweile mindestens 20 verschiedene Beweise gefunden worden. Für existieren mindestens 14 verschiedene Beweise.
4 und ungerade Primzahlen reichen aus Bald darauf wurde klar, dass es ausreicht, den Fermatschen Satz für alle Primzahlen größer als 2 und für die Zahl 4 zu beweisen. Denn jede natürliche Zahl , die keine Primzahl ist, ist durch 4 oder eine ungerade Primzahl teilbar. Ist nun entweder 4 oder eine ungerade Primzahl, eine natürliche Zahl und sowie eine Lösung für den Exponenten , so gibt es auch eine Lösung für den Exponenten , nämlich . Eine solche Lösung darf es aber nicht geben, wenn der Fermatsche Satz für den Exponenten gilt. Somit gilt der Fermatsche Satz auch für den Exponenten .
Mit den Beweisen für die Fälle und war die Fermatsche Vermutung auch für alle , die ein Vielfaches von 3 oder 4 sind, bewiesen.
Das Problem ist, dass auch die Primzahlen eine unendlich große Zahlenmenge und demzufolge − per se − eine unendliche Menge zu beweisender Fälle darstellen: Mit diesen Methoden konnte und kann zwar eine (weitere) Plausibilisierung erreicht werden, jedoch niemals ein abschließender und mathematisch exakter Beweis.
n = 5, erster Fall und Sophie-Germain-Primzahlen Im Jahre 1825 konnten Gustav Lejeune Dirichlet und Adrien-Marie Legendre den Satz für beweisen. Sie stützten sich dabei auf die Vorarbeit von Sophie Germain. Germain konnte beweisen, dass der erste Fall der Fermatschen Vermutung für alle Sophie-Germain-Primzahlen zutrifft (bei denen also mit auch eine Primzahl ist). Legendre konnte das auf die Fälle ausdehnen, in denen mit dem Exponenten auch prim ist, mit . Das lieferte dann die Gültigkeit des ersten Falls der Fermatvermutung für Primzahlen . Bis zu den Arbeiten von Wiles und Taylor war jedoch weder für den ersten Fall noch für den zweiten Fall ein allgemeiner Beweis bekannt. Allerdings konnten Roger Heath-Brown, Leonard Adleman und Étienne Fouvry 1985 zeigen, dass der erste Fall von Fermats Vermutung für unendlich viele Primzahlen zutrifft, und es wurden im ersten Fall Kriterien abgeleitet, die es zum Beispiel Andrew Granville 1988 ermöglichten, nachzuweisen, dass der erste Teil der Vermutung für zutrifft.
n = 14 und n = 7 Dirichlet konnte 1832 für den Fall den Beweis erbringen. Im Jahre 1839 zeigte Gabriel Lamé, dass auch der Fall Gültigkeit besitzt. Ebenso wie Augustin-Louis Cauchy war Lamé noch im März 1847 überzeugt, den vollständigen Beweis für die Fermatsche Vermutung innerhalb von Wochen der französischen Akademie der Wissenschaften vorlegen zu können (die Hoffnung wurde wenig später durch einen Brief von Kummer zerstört).
Später wurden auch einfachere Varianten des Beweises für gefunden.
Weitere Einzelfälle Im Jahr 1885 legte G. B. Matthews einen Beweis für die Fälle und vor. J. Fell publizierte 1943 einen Artikel, in dem er eine Methode für darlegte, die auch für und anwendbar sein sollte.
1977 bewies Guy Terjanian den ersten Fall der Fermatvermutung für Exponenten der Form (mit einer ungeraden Primzahl ), womit der Fall gerader Exponenten erledigt war.
Alle regulären Primzahlen