Regelmäßiges Pentagondodekaeder Regelmäßiges Pentagondodekaeder (Animation) Art der Seitenflächen regelmäßige Fünfecke Anzahl der Flächen 12 Anzahl der Ecken 20 Anzahl der Kanten 30 Schläfli-Symbol {5,3} dual zu Ikosaeder Körpernetz 80px|Netz Anzahl verschiedener Netze 43380 Anzahl Kanten in einer Ecke 3 Anzahl Ecken einer Fläche 5 mini|Drahtgittermodell eines Dodekaeders Das Dodekaeder [] (von griech. Zwölfflächner; dt. auch (das) Zwölfflach) ist ein Körper mit zwölf Flächen. In der Regel ist damit ein platonischer Körper gemeint, nämlich das regelmäßige Pentagondodekaeder, ein Körper mit
12 kongruenten regelmäßigen Fünfecken 30 gleich langen Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken ist 20 Ecken, in denen jeweils drei dieser Fünfecke zusammentreffen
Es gibt aber auch andere Dodekaeder von hoher Symmetrie.
Symmetrie mini|hochkant=1|Dodekaeder mit Beispielen der Drehachsen und einer Symmetrieebene (blau)
Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Dodekaeder ein reguläres Polyeder. Es hat: 6 fünfzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen) 10 dreizählige Drehachsen (durch gegenüberliegende Ecken) 15 zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten) 15 Symmetrieebenen (durch einander gegenüberliegende und parallele Kanten) und ist punktsymmetrisch (Punktspiegelung bezüglich des Dodekaedermittelpunkts)
Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Dodekaeders – die Dodekaedergruppe oder Ikosaedergruppe – 120 Elemente. Die 60 orientierungserhaltenden Symmetrien entsprechen der alternierenden Gruppe . Manchmal wird auch diese Untergruppe Ikosaedergruppe genannt. Die volle Symmetriegruppe ist isomorph zu dem direkten Produkt . Dass das Produkt direkt ist, sieht man daran, dass die Punktspiegelung am Mittelpunkt mit den Drehungen kommutiert.
Die Symmetrie des Dodekaeders ist durch die hier auftretenden fünfzähligen Symmetrieachsen mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich (siehe Parkettierung). Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (siehe Quasikristalle).
Struktur mini|hochkant=1|Dodekaeder (blau) mit dualem Ikosaeder (grün).Die Mittelpunkte (rot) der regelmäßigen Fünfecke sind die Ecken des Ikosaeders.
Das Ikosaeder ist das zum Dodekaeder duale Polyeder und umgekehrt.
Mit Hilfe von Dodekaeder und Ikosaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Dodekaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel das abgestumpfte Dodekaeder mit 12 Zehnecken und 20 Dreiecken durch Abstumpfung der Ecken eines Dodekaeders das Ikosidodekaeder mit 12 Fünfecken und 20 Dreiecken das abgestumpfte Ikosaeder (Fußballkörper) mit 12 Fünfecken und 20 Sechsecken als Durchschnitt eines Dodekaeders mit einem Ikosaeder (siehe archimedische Körper, Fullerene) und das Rhombentriakontaeder mit 12 + 20 = 32 Ecken und 30 Rauten als Flächen. Es entsteht durch das Aufsetzen gerader Pyramiden auf das Dodekaeder, von denen je zwei Seitenflächen einander ergänzen, d. h. in einer Ebene liegen und eine Kante gemein haben.
Aus den Kanten des Dodekaeders kann man 3 Paare gegenüberliegender Kanten so auswählen, dass diese Paare 3 kongruente, zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. Die restlichen 8 Ecken bilden dann die Ecken eines dem Dodekaeder einbeschriebenen Würfels. Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Dodekaeders zu genau einer solchen Position gehört und jede Ecke Eckpunkt von zwei einbeschriebenen Würfeln ist. Die Symmetriegruppe des Dodekaeders bewirkt alle 5! = 120 Permutationen dieser fünf Positionen bzw. Würfel.
Da die Kanten des einbeschriebenen Würfels Diagonalen der Fünfecke sind, entspricht das Verhältnis der Längen der Kanten des Dodekaeders und jener eines eingeschriebenen Würfels dem Goldenen Schnitt.
Formeln Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Dodekaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.
Größen eines Dodekaeders mit Kantenlänge a Volumen 350px ohne Raumwinkel in den Ecken Oberflächeninhalt Umkugelradius Kantenkugelradius Inkugelradius Verhältnis von Volumen zu UmkugelvolumenInnenwinkel des regelmäßigen FünfecksWinkel zwischenbenachbarten FlächenWinkel zwischenKante und Fläche Raumwinkel in den Ecken Sphärizität
Winkel, Punkte, Flächen, Radien, Koordinaten mini|hochkant=1.2|Dodekaeder mit einbeschriebenem Würfel
Einbeschriebener Würfel Viele metrische Eigenschaften eines Dodekaeders lassen sich aus der im Bild gezeigten Koordinatendarstellung berechnen/ablesen. In dem Bild wird das Dodekaeder mit der Kantenlänge aus dem Würfel mit der Kantenlänge , der Länge der Diagonale in einer Seitenfläche (5-Eck), aufgebaut. Die Würfelpunkte sind . Sie sind 8 der 20 Dodekaederpunkte. ist solch ein Punkt. Beim Rechnen ist immer wieder die Gleichung nützlich (siehe Goldener Schnitt).
ist ein Dodekaederpunkt in der y-z-Ebene.
Um dies einzusehen, muss gezeigt werden, dass der Abstand einer nicht in einer Würfelebene liegenden Kante von der Würfelebene gleich ist. Hierzu wird der Tangens des Winkels (siehe Bild Berechnung v. Winkel) auf zwei Arten ausgedrückt:
Winkel mini|hochkant=1.5|Zur Berechnung von Winkel, … eines Dodekaeders
Damit ist (siehe nebenstehendes Bild) der Winkel zwischen Seitenflächen Winkel zwischen einer Kante und einer Seitenfläche
Punkte des Dodekaeders Startet man mit den oben beschriebenen – auch im Bild erkennbaren – Punkten (8 Würfelpunkte, 12 Andere) und will nachweisen, dass sie die Ecken eines regulären Dodekaeders sind, zeigt man, dass alle Punkte auf einer Kugel liegen (Ihr Abstand zum Nullpunkt ist gleich) die Punkte jedes Fünfecks in einer Ebene liegen benachbarte Punkte den Abstand haben. Unter diesen Bedingungen liegen die Punkte eines jeden Fünfecks auf einem ebenen Schnitt mit der Kugel, also auf einem Kreis, und benachbarte Punkte haben den gleichen Abstand, d. h., das Fünfeck ist regulär.
Um/In/Kanten-Kugelradien mini|hochkant=1.5|Dodekaeder mit Kantenlänge Konstruktion des Inkugelradius und des Kantenkugelradius mithilfe der Geraden
Aus der Zeichnung erkennt man ferner den Kantenkugelradius Umkugelradius
Der Inkugelradius ist (siehe Bild Berechnung v. Winkel) der Abstand der Gerade in der y-z-Ebene durch den Punkt mit der Steigung . Diese Gerade hat die Gleichung . Bestimmt man den Abstand dieser Gerade vom Nullpunkt mit Hilfe der Hesseschen Normalform, so ergibt sich der Inkugelradius . Es ist
Damit ist der Inkugelradius.
Kartesische Koordinaten Durch
sind Koordinaten der Ecken eines Dodekaeders festgelegt. Dabei ist das Verhältnis des Goldenen Schnittes.
Oberfläche, Volumen mini|hochkant=1|Bild 1: Zur Volumenberechnung mini|hochkant=1|Bild 2: Volumen des Dodekaeders entspricht Volumen von 12 Pyramiden
Die Oberfläche des Dodekaeders ist die Summe der zwölf Fünfeck-Flächen. Die Fläche eines regelmäßigen 5-Ecks ist . Damit ist die Oberfläche des Dodekaeders: .
Das Volumen des Dodekaeders (Bild 1) ist die Summe des Würfelvolumens und der 6 über jeder Würfelseite liegenden dach-ähnlichen Teile. Das Volumen eines solchen Dachteiles setzt sich aus dem Volumen einer Pyramide mit Grundfläche und Höhe (siehe Bild) sowie dem dreieckigen Prisma mit Grundfläche und Länge zusammen. Also ist
und es ist das Volumen des Dodekaeders:
Eine weitere Möglichkeit der Volumenberechnung (Bild 2) ergibt sich, wenn man das Dodekaeder als einen Zusammenbau von 12 gleich großen Pyramiden mit fünfeckiger Grundfläche ansieht. Das Volumen des Dodekaeders entspricht dann dem Volumen von 12 Pyramiden.
Für das Volumen der Pyramide gilt allgemein . Nimmt man für die fünfeckige Grundfläche , für die Höhe der Pyramide gleich dem Inkugelradius des Dodekaeders und setzt abschließend den Faktor 12, ergibt sich
daraus folgt ebenfalls Volumen des Dodekaeders:
Raumwinkel in den Ecken mini|220px|Raumwinkel mit Einheitskugel mini|150px|Raumwinkel Der Raumwinkel in einer Dodekaederecke ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Dreiecks, das die Kanten einer Ecke auf der Einheitskugel an dieser Ecke ausstechen. Die Winkel dieses sphärischen Dreiecks sind alle gleich dem Winkel (siehe oben) zwischen zwei Dreiecksebenen. Der Flächeninhalt des sphärischen Dreiecks ist der Raumwinkel
Dieser Raumwinkel entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel
Konstruktion mini|hochkant=1.3|Konstruktion in 17 Bildern, am Ende 10 s Pause mini|hochkant=1.3|Dodekaeder, Konstruktionsskizze, siehe hierzu auch die Bilder: 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 15 Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 17, die Konstruktion des Dodekaeders.
Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärischen Darstellung nur die Schritte, die für das Dodekaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS). Zur besseren Übersicht sind die Kreise und Hilfskugeln zur Erzeugung der Schnittpunkte nur in den betreffenden Bildern der Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild der Konstruktionsskizze) bzw. in den animierten Bildern eingezeichnet.
Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich und deren Mittelpunkt . Beim Bestimmen der und Achsen eines kartesischen Koordinatensystems, entstehen die Punkte und auf der Oberfläche der Umkugel.
Die Darstellung eines Dodekaeders gelingt mithilfe der Konstruktion eines Würfels, der von derselben Kugel einbeschrieben ist.Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.15, S. 15. Vorab werden aus einem rechtwinkligen Dreieck die beiden Größen Kantenlänge des Würfels und Kantenlänge des Dodekaeders ermittelt.
Auf der verlängerten Achse wird der Punkt festgelegt und anschließend der Kugeldurchmesser mit Mittelpunkt auf einer zur Achse Parallelen projiziert. Eine Hilfskugel mit Radius markiert als dritten Punkt für den darauffolgenden Umkreisbogen . Das anschließend eingezeichnete rechtwinklige Dreieck mit der Kathete liefert als Hypotenuse die Kantenlänge des Würfels. Ihre Teilung im Goldenen Schnitt führt zur Kantenlänge des Dodekaeders.Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18, S. 24. Zwecks besserer Übersicht wird in diesem Fall die Hypotenuse mithilfe eines Kreises um mit Richtung parallel zur Achse auf den Durchmesser übertragen, der Schnittpunkt ist . Nach dem klassischen Verfahren mit innerer Teilung von Heron von Alexandria, folgt die Halbierung der Strecke in , das Errichten der Senkrechten in , ein Kreis um mit Richtung parallel zur Achse (Schnittpunkt ist ) und das Einzeichnen des rechtwinkligen Dreiecks . Mittels einer ersten Hilfskugel mit Radius wird die Kathete auf die Hypotenuse projiziert, der Schnittpunkt ist . Eine zweite Hilfskugel mit Radius erzeugt den Schnittpunkt auf der Hypotenuse . Die Länge ist der größere Teil der im Goldenen Schnitt geteilten Kantenlänge des Würfels (siehe Bild 4 der Konstruktion). Nach der Halbierung der Kathete in , der Halbierung der Strecke in und dem Ziehen einer Parallele zu mit Schnittpunkt liefert die Ähnlichkeit der Dreiecke den Nachweis: Die Länge ist der konstruktiv benötigte größere Teil einer im goldenen Schnitt geteilten halben Kante des einbeschriebenen Würfels.
Die eigentliche Konstruktion des Dodekaeders beginnt mit dem Einzeichnen des Inkreises des Würfels um Mittelpunkt mit Radius sowie Richtung und Achse. Die Fertigstellung des Würfels , mit den zwölf Punkten aus den Halbierungen der Kanten sowie den acht Mittelpunkten der Quadratflächen, erreicht man mit Parallelen zu den drei Koordinatenachsen, wie z. B. die Kante mit der Parallelen zur Achse durch den zuvor ermittelten Kantenmittelpunkt (siehe Bild 6 der Konstruktion).