Umlaufrädergetriebe (oder Planetengetriebe) sind Zahnrad- oder Reibradgetriebe, die neben gestellfesten Wellen auch Achsen besitzen, die auf Kreisbahnen im Gestell umlaufen.Siegfried Hildebrandt: Feinmechanische Bauelemente. Hanser, 1968, S. 542 Dementsprechend wird zwischen den auf den gestellfesten Achsen gelagerten Zentral- oder Sonnenrädern und den auf den umlaufenden Achsen gelagerten Umlauf- oder Planetenrädern unterschieden. Die auf den umlaufenden Achsen drehenden Räder umkreisen ein zentrales Rad ähnlich wie Planeten die Sonne. Der Steg, der die umlaufenden Achsen trägt, dreht seinerseits um eine gestellfeste Achse. Das Planetengetriebe wurde vom schottischen Ingenieur William Murdoch um 1800 erfunden.

Umlaufrädergetriebe sind kompakt zu bauende Getriebe mit dem besonderen Merkmal, dass die gestellfesten Achsen (bzw. Wellen bei Drehmoment-Übertragung) zueinander fluchten. Weitere Besonderheit ist der i. d. R. angewendete Dreiwellenbetrieb (die dritte Welle trägt den Steg, der somit auch Antrieb oder Abtrieb sein kann).

mini|Ins Langsame übersetzendes Umlaufrädergetriebe in der Radnabe der Außenplanetenachse eines Traktors: zentrales Sonnenrad (treibend, verdeckt), zentriertes Hohlrad (nicht drehend) und drei Umlaufräder (auf aufgeschnittenem Steg, angetrieben) (Zweiwellenbetrieb, da das Hohlrad nicht drehend ist)

Grundlegender Aufbau Ein einfaches Standgetriebe (keine umlaufenden Achsen) hat im Minimum zwei Wellen und ist einstufig (nur eine Radpaarung). Ein Umlaufrädergetriebe hat im Minimum zwei Wellen und eine umlaufende Achse und ist zweistufig. Zwei gestellfeste Wellen werden in technischen Anwendungen benötigt, man braucht eine treibende und eine getriebene Welle. Der Umlauf des Rades (Umlaufrad U, Bilder unten) muss koaxial zu beiden umkreisten Rädern (1 und 2), mit denen es gepaart ist, erfolgen. Folglich sind diese beiden gestellfest drehenden Räder sogenannte Zentralräder. Und beide und der Steg (S), der die Achse mit dem umlaufenden Rad trägt, sind gleichachsig.Gleichachsig ist in geometrischem Sinne gemeint: Die Mittel- beziehungsweise Rotationsachsen sind identisch.

Unterschiedliche Bauformen ergeben sich aus der Form des zweiten Zentralrades (2) und dadurch, dass ein einfaches Umlaufrad (U) oder Umlaufradpaare (U1 und U2) vorkommen. Ist das zweite Zentralrad ein Hohlrad, so ist das Getriebe besonders schmal (einfaches Umlaufrad U).

Wenn die umlaufende Achse parallel zu den gestellfesten Wellen ist und alle Räder Stirnräder sind, erscheinen die Räder im achs-senkrechten Schnittbild als kreisförmige Körper. Das umlaufende Rad umkreist das außenverzahnte Zentralrad wie ein Planet, was zur generellen, aber nicht immer treffenden Bezeichnung der Umlaufgetriebe als Planetengetriebe geführt hat. Man spricht vom das Sonnenrad umkreisenden Planetenrad.

Beim Kegelrad-Differentialgetriebe, dem meist verwendeten Umlaufrädergetriebe, schneidet die Mittellinie der umlaufenden Achse die gestellfeste zentrale Mittellinie rechtwinklig. Seine Bezeichnung als Planetengetriebe ist im oben genannten Sinne nicht treffend. Die beiden Zentralräder sind spiegelbildlich gleiche Kegelräder. Das Umlaufrad ist auch ein Kegelrad, der Steg hat die Form eines Käfigs.

Betriebsarten mini|Umlaufrädergetriebe im Zweiwellenbetrieb, Standübersetzung mini|Mehrfach-Umlaufrädergetriebe in einer Fahrradnabenschaltung mit 14 Gängen Im Allgemeinen hat ein Umlaufrädergetriebe drei Wellen, von denen aber oft eine festgehalten wird (Zweiwellenbetrieb), beispielsweise der Steg (siehe oben: zweite Illustration oder unten: Animation). Ist das Sonnenrad treibend, so ist das Hohlrad das getriebene und umgekehrt. Welche Welle/Rad festgehalten wird und welche/s als Antrieb beziehungsweise als Abtrieb dient, hängt von der zu lösenden Konstruktionsaufgabe ab.

In bestimmten Anwendungen drehen sich alle drei Wellen (Dreiwellenbetrieb). Dann sind zwei treibend und eins getrieben (Additionsgetriebe) oder umgekehrt (Verteilgetriebe).

Zweiwellenbetrieb Im Zweiwellenbetrieb ist das Getriebe zwangläufig (Laufgrad F = 1). Beim Antrieb einer Welle ist die Drehung der zweiten eindeutig.

Man unterscheidet zwischen Standübersetzung und Umlaufübersetzung: Bei der Standübersetzung steht die Stegwelle still, und die beiden Zentralradwellen (also Sonnen- und Hohlrad) bewegen sich. Die ruhende Welle kann fest mit dem Gehäuse verbunden sein oder durch eine Bremse oder eine Freilaufkupplung festgehalten werden. Bei der Umlaufübersetzung steht eine der beiden Zentralradwellen still (Bsp. Umlaufrad). An- und Abtrieb erfolgen über die drehende Zentralradwelle und über die Stegwelle.

Dreiwellenbetrieb Im Dreiwellenbetrieb hat das Getriebe zunächst den Laufgrad F = 2. Es arbeitet als Summiergetriebe oder Verteilgetriebe: Beim Summiergetriebe treiben 2 Wellen an, und 1 Welle ist getrieben. Beispiel ist das Summiergetriebe in der Hinterradnabe eines Elektrofahrrads.Siegfried Wetzel: Planetengetriebe am Fahrrad. 5. Planetengetriebe in der Hinterradnabe des Elektro-Fahrrades Swissbee Die Antriebsdrehzahlen werden frei gewählt, die Abtriebsdrehzahl ist dadurch eindeutig. Durch die Vorgabe der beiden Antriebsbewegungen ist schließlich Zwangläufigkeit (F = 1) gewährleistet. Beim Verteilgetriebe treibt eine Welle an und zwei Wellen sind getrieben. Das Drehzahlverhältnis der beiden Abtriebswellen muss festgelegt sein. Das bekannteste Beispiel eines Verteilgetriebes ist das Differentialgetriebe am Kraftfahrzeug. Hier wird das Drehzahlverhältnis durch den Radabstand und den Kurvenradius festgelegt. Durch den Reibkontakt der Räder mit dem Boden ist schließlich Zwangläufigkeit (F = 1) gewährleistet. Anders als im Zweiwellenbetrieb stützen sich die An- und Abtriebsmomente der Wellen nur untereinander ab. Wegen MS+M1+M2=0 bleibt das Gehäuse drehmomentfrei (vgl. Abschnitt Drehmomentübersetzung).

Selbsthemmung Schon einfache Planetengetriebe sind zur Selbsthemmung fähig, d. h. Momente können nur in einer Antriebsrichtung übertragen werden. Bei gegebener Standübersetzung (i0) und Standwirkungsgrad () ist dies ein Bereich von , also mit i0 in der Nähe von +1.Johannes Looman, Zahnradgetriebe, Abschnitt 3.3.1.10 Selbsthemmung, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 3. Auflage 2009, ISBN 978-3-540-89459-9

Mehrfach- oder Koppelgetriebe Oft wird nicht nur der hier geschilderte einfache Umlaufradsatz als Umlaufgetriebe bezeichnet, sondern auch eine auf dieser Grundbauform beruhende Kombination mehrerer, ineinander oder hintereinander geschalteter Umlaufradsätze. Ein Beispiel ist eine Nabenschaltung am Fahrrad, bei der mit einem Mehrfachgetriebe mehr als die mit einem einfachen Umlaufradsatz erreichbaren drei Gänge möglich wurden.

Weitere Beispiele für Mehrfachgetriebe sind der Ravigneaux-Satz oder das Lepelletier-Getriebe.

Kinematik Willis-Gleichung und Standübersetzung i0 Zur analytischen Darstellung genügt eine einzige Gleichung, die sogenannte Willis-Gleichung:Robert Willis, 1800 bis 1875, englischer Ingenieur .

Darin ist die sogenannte Standübersetzung des Umlaufrädergetriebes, welche das Drehzahlverhältnis zwischen den beiden Zentralwellen 1 und 2 bei festgehaltenem Steg S beschreibt: .

Wertebereiche für : < 0: Antriebs- und Abtriebswelle drehen sich entgegengesetzt, Minusgetriebe > 0: Antriebs- und Abtriebswelle drehen sich gleichsinnig, Plusgetriebe −1 < < 1: Je nachdem, wie man Antriebs- und Abtriebsdrehzahl dividiert, kommt oder heraus, beides beschreibt kinematisch gleichwertige Getriebe. Es ist aber üblich || ≥ 1 anzugeben. = 0 ist mit einem Planetengetriebe nicht möglich, dies kann nur ein IVT

Ein spezielles Planetengetriebe mit ist das Differentialgetriebe.

Die Bedeutung von lässt sich dadurch erklären, dass jede Bewegung eines Planetengetriebes als Superposition (Überlagerung) von zwei Teildrehungen betrachtet werden kannEckhard Kirchner, Leistungsübertragung in Fahrzeuggetrieben, siehe Anmerkung 5.13, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2007, ISBN 978-3-540-35288-4: Eine Teildrehung ergibt sich bei festgehaltenem Steg mit der Standübersetzung . Diese wird überlagert durch die Drehung des gesamten Planetengetriebes mit Steg.

Im Folgenden wird die für die Willis-Gleichung benötigte Standübersetzung aus den Wälzradien der Getrieberäder bestimmt.Das Wälzradienverhältnis gepaarter Zahnräder ist gleich ihrem Zähnezahlverhältnis. Dazu wird der Ansatz verwendet, der dem Kutzbachplan zu Grunde liegt: Die Geschwindigkeit eines Umlaufrades U (vgl. Abbildungen unter Grundlegender Aufbau) verläuft längs seines rot dargestellten Radius (einschließlich seiner rückwärtigen Ergänzung zum Durchmesser) linear. Das gilt allgemein für rotierende Kreisflächen, deren Mittelpunkt senkrecht zum Radius bewegt wird. Bei Vorgabe von zwei der drei Umfangsgeschwindigkeiten und kann aus der zugehörigen Verbindungsgeraden auf die dritte Umfangsgeschwindigkeit geschlossen werden.

Für die Bauarten mit Hohlrad oder Umlaufradpaaren (vgl. Bilder am Artikelanfang) erhält man die Umfangsgeschwindigkeit des jeweiligen 1. Zentralrades nach der Zwei-Punkte-Form der Geradengleichung zu bzw. .Wenn man ausschließlich die unabhängigen Radien und als Variablen nutzt, liest man aus dem Bild am Artikelanfang für beide Bauformen dieselbe Umfangsgeschwindigkeits-Geradengleichung in der Punktsteigungsform ab. Nach Übergang auf die entsprechenden Drehzahlen folgt damit

für beide Bauarten. Diese Gleichung begründet die obengenannte, ebenfalls für beide Bauarten einheitliche Willis-Gleichung.

Durch Übergang auf die entsprechenden Drehzahlen folgt bzw. .

Für die Standübersetzung (d. h. für festgebremsten Steg) folgt daraus bzw. .

Dieser Parameter erlaubt, beide Bauarten mit der nach R. Willis benannten Gleichung zu beschreiben.

Die Willis-Gleichung gilt unabhängig davon, wie das Umlaufrädergetriebe im Inneren aufgebaut ist. Die umlaufenden Räder werden von ihr nicht erfasst. Mit der Standübersetzung zwischen zwei der drei gestellfesten Wellen sind die übrigen Drehzahlverhältnisse zwischen den gestellfesten Wellen bestimmt.

Im Zweiwellenbetrieb gibt es sechs Kombinationen für eine treibende, eine getriebene und eine festgehaltene Welle. In der folgenden Tabelle ist die Willis-Gleichung beispielsweise für jeden dieser sechs Fälle umgestellt, wobei als Standübersetzung diejenige zwischen Sonnenrad (treibend) und Hohlrad (getrieben) gewählt ist:

Hierbei gilt: Zähnezahl Stirnräder positives Vorzeichen Zähnezahl Hohlräder negatives Vorzeichen ist negativ für den in der Tabelle dargestellten Getriebeaufbau

Steg fest Hohlrad fest Sonnenrad fest 150px 150px 150px Antrieb / Abtrieb Übersetzung Antrieb / Abtrieb Übersetzung Antrieb / Abtrieb Übersetzung Sonnenrad / Hohlrad Sonnenrad / Steg Hohlrad / Steg Hohlrad / Sonnenrad Steg / Sonnenrad Steg / Hohlrad Antrieb / Abtrieb Übersetzungs­verhältnis Antrieb / Abtrieb Übersetzungs­verhältnis Antrieb / Abtrieb Übersetzungs­verhältnis Sonnenrad / Hohlrad Sonnenrad / Steg Hohlrad / Steg Hohlrad / Sonnenrad Steg / Sonnenrad Steg / Hohlrad Bei nicht gestuften umlaufenden Rädern errechnet sich die Relativdrehzahl des umlaufenden Rads gegenüber dem Steg (Minusradsatz) aus:

Diese Formel kann auch für die Berechnung der Relativdrehzahl des mit dem Hohlrad kämmenden umlaufenden Rads eines Plusradsatzes verwendet werden.

Die Zähnezahl und die Anzahl der umlaufenden Räder ist ohne Bedeutung für die Standübersetzung , hat aber einen Einfluss auf die Drehzahl der umlaufenden Räder und die maximal übertragbaren Drehmomente.

Drehmomentübersetzung mini|Hebelmodell eines reibungsfreien Planetengetriebes Die Verhältnisse der Drehmomente untereinander lassen sich mit einem einfachen Hebelmodell oder aus einer Leistungsbilanz herleiten. Vorausgesetzt wird hier ein reibungsfreies Getriebe, also ein Wirkungsgrad von 100 %. Das rechts abgebildete Hebelmodell gilt drehzahlunabhängig. Mit Vorgabe des Drehmoments der Stegwelle erhält man und