Kreis

rahmenlos|rechts|hochkant=1.3

Ein Kreis ist eine ebene geometrische Figur, die zu den klassischen und grundlegenden Objekten der euklidischen Geometrie gehört. Er ist definiert als die Menge aller Punkte einer Ebene, die den gleichen Abstand (den Radius) zu einem bestimmten Punkt dieser Ebene (dem Mittelpunkt) haben.

In einem kartesischen Koordinatensystem lässt sich ein Kreis mit Radius und Mittelpunkt durch die folgende Kreisgleichung beschreiben:

Bereits die alten Ägypter und Babylonier versuchten, den Flächeninhalt des Kreises näherungsweise zu bestimmen. In der griechischen Antike stieß der Kreis wegen seiner Vollkommenheit auf Interesse. Archimedes versuchte erfolglos, den Kreis mit den Werkzeugen Zirkel und Lineal in ein Quadrat mit exakt gleichem Flächeninhalt zu überführen, um so den Flächeninhalt des Kreises bestimmen zu können (siehe Quadratur des Kreises). Erst 1882 konnte Ferdinand von Lindemann durch den Nachweis einer besonderen Eigenschaft der Kreiszahl, nämlich der Transzendenz, zeigen, dass diese Aufgabe unlösbar ist.

Worterklärungen Radius, Kreis, Kreislinie und Kreisfläche Der Abstand, den die Punkte eines Kreises zum Mittelpunkt haben, ist der Radius oder Halbmesser des Kreises. Oft wird auch eine Strecke, die den Kreismittelpunkt mit der Kreislinie verbindet, als Radius bezeichnet.

Umgangssprachlich und früher wird mit dem Begriff „Kreis“ häufig die von einem Kreis eingeschlossene Fläche bezeichnet, so auch in den Elementen des Euklid.Vgl. Definitionen in: Euklid, Elemente. Buch I; in der Übersetzung nach Rudolf Haller heißt es: „Ein Kreis ist eine ebene Figur innerhalb einer Linie, von deren Punkte zu einem besonderen Punkt innerhalb der Figur gleiche gerade Strecken zu ziehen sind.“ Nach der oben gegebenen Definition ist ein Kreis jedoch eine Kurve, also ein eindimensionales Gebilde, und keine zweidimensionale Fläche. Zur Verdeutlichung verwendet man daher oft anstatt Kreis die Begriffe Kreislinie, Kreisrand oder Kreisperipherie.Ilja Nikolajewitsch Bronštein: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 5. Auflage, Thun und Frankfurt 2001, S. 143. Die von einer Kreislinie eingeschlossene offene Fläche heißt das Innere des Kreises. Die abgeschlossene Menge aller Punkte einer Kreislinie und ihres Inneren wird dagegen Kreisfläche, Vollkreis oder Kreisscheibe genannt.

Bogen, Sehne, Sektor, Segment und Ring mini|hochkant=1|Kreisring mini|hochkant=2|Kreisbogen, Kreissektor und Kreissegment Eine zusammenhängende Teilmenge eines Kreises (also der Kreislinie) ist ein Kreisbogen. Eine Verbindungsstrecke von zwei Punkten auf der Kreislinie bezeichnet man als Kreissehne. Zu jeder Sehne gehören zwei Kreisbögen. Die längsten Kreissehnen sind diejenigen, die durch den Mittelpunkt verlaufen, also die Durchmesser. Die zugehörigen Kreisbögen heißen Halbkreise. Ist die Kreissehne kein Durchmesser, so sind die Kreisbögen unterschiedlich lang.

Ein Kreissektor (Kreisausschnitt) ist eine Fläche, die von zwei Radien und einem dazwischen liegenden Kreisbogen begrenzt wird. Bilden die zwei Radien einen Durchmesser, wird der Sektor auch als Halbkreis bezeichnet.

Kreissegmente (Kreisabschnitte) werden von einem Kreisbogen und einer Kreissehne eingeschlossen.

Ein Kreisring entsteht, wenn man aus einem Kreis einen kleineren Kreis mit demselben Mittelpunkt herausschneidet.

Sekante, Tangente und Passante Für die Lage einer Geraden in Bezug auf einen gegebenen Kreis gibt es drei Möglichkeiten: mini|Beziehung von Kreis zu Tangente, Passante und Sekante Ist der Abstand zwischen Kreismittelpunkt und Gerade kleiner als der Kreisradius, so haben Kreis und Gerade zwei (verschiedene) Schnittpunkte und man nennt die Gerade Sekante (lateinisch secare = „schneiden“). Manchmal bezeichnet man den Spezialfall einer Sekante, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft, als Zentrale. Stimmt der Abstand des Kreismittelpunkts zu der Geraden mit dem Radius überein, so gibt es genau einen gemeinsamen Punkt. Man sagt, dass die Gerade den Kreis berührt, und nennt den gemeinsamen Punkt einen Berührpunkt und die Gerade eine Tangente (lateinisch tangere = „berühren“). Eine Tangente steht im Berührpunkt senkrecht (orthogonal, normal) zum entsprechenden Radius. Wenn der Abstand des Kreismittelpunkts von der Geraden größer ist als der Kreisradius, dann haben Kreis und Gerade keinen Punkt gemeinsam. In diesem Fall bezeichnet man die Gerade als Passante. Diese Bezeichnung hat keinen unmittelbaren lateinischen Ursprung, sondern wurde wohl nach franz. oder ital. passante = „Vorbeigehende“ gebildet. Die lat. Wurzel ist passus = Schritt.

Formale Definition mini|Ein Kreis mit Mittelpunkt , Radius und Durchmesser In einer Ebene ist ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius die Punktmenge Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie. 3. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2007, ISBN 978-3-540-49327-3, S. 143.

Dabei ist der Radius eine positive reelle Zahl, und bezeichnet die Länge der Strecke .

Der doppelte Radius heißt Durchmesser und wird oft mit bezeichnet. Radius und Durchmesser sind somit durch die Beziehungen oder miteinander verknüpft.

Das Innere des Kreises ist formal definiert als die (offene) Punktmenge

die (abgeschlossene) Kreisscheibe als

Geschichte Zeit der Ägypter und Babylonier mini|hochkant=1|Kreis (grün) mit d = 9, Quadrat (gepunktete Linie) umschreibt Kreis, unregelmäßiges Achteck (blau) mit A = 63, Quadrat (rot) mit s = 8/9·d mit A = 64 und Kreis mit A = 63,617…mini|hochkant=1.1|Annäherung der Kreisfläche im Papyrus Rhind, die obige Figur im Quadrat wird als unregelmäßiges Achteck gedeutet, darunter die Rechenschritte am Beispiel d = 9 (Chet). Der Kreis gehört neben dem Punkt und der geraden Linie zu den ältesten Elementen der vorgriechischen Geometrie.Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 32–33. Schon vor 4000 Jahren beschäftigten sich die Ägypter mit ihm in ihren geometrischen Studien. Sie konnten den Flächeninhalt eines Kreises näherungsweise bestimmen, indem sie vom Durchmesser  ein Neuntel seiner Länge abzogen und das Ergebnis mit sich selbst multiplizierten. Sie rechneten also

und bestimmten so näherungsweise (mit einer Abweichung von nur etwa +0,6 %) den Flächeninhalt einer Kreisfläche. Diese Näherung wurde in der altägyptischen Abhandlung Papyrus Rhind gefunden. Sie lässt sich erhalten (siehe nebenstehendes Bild), wenn man den Kreis durch ein unregelmäßiges Achteck annähert.Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 13. Um die Seite des zum Kreis annähernd flächengleichen Quadrates (rot) rechnerisch zu erhalten, ermittelt man nach Kurt Vogel den Flächeninhalt des unregelmäßigen Achtecks und bestimmt aus dessen Wert die nächstliegende Quadratzahl. Die Wurzel daraus ist dann die gesuchte Seitenlänge des flächengleichen Quadrates.Scriba, Schreiber: 5000 Jahre Geometrie. 2005, S. 23.

Die Babylonier (1900 bis 1600 vor Christus) benutzten eine ganz andere Methode, um den Flächeninhalt der Kreisscheibe zu berechnen. Im Gegensatz zu den Ägyptern gingen sie vom Kreisumfang aus, den sie als dreimal den Kreisdurchmesser schätzten. Der Flächeninhalt wurde dann auf ein Zwölftel des Quadrates des Umfanges geschätzt, alsoChristoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 18. mit einer Abweichung von −4,5 % ein deutlich schlechteres Ergebnis. mini|In der Technik ermöglicht die kreisrunde Form des Rades die rollende Fortbewegung. mini|hochkant=1.1|Fragment des Papyrus Rhind

Die Babylonier beschäftigten sich aber auch schon mit Kreissegmenten. Sie konnten die Länge der Sehne oder die Höhe des Kreissegments (die senkrecht auf der Sehnenmitte stehende Strecke zwischen Sehne und Umfang) berechnen. Damit begründeten sie die Sehnengeometrie, die später von Hipparch weiterentwickelt wurde und die Claudius Ptolemaios an den Anfang seines astronomischen Lehrbuches Almagest stellte.Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 19–20.

Antike mini|Titelblatt von Henry Billingsleys englischer Übersetzung der Elemente (1570) Die Griechen werden meist als die Begründer der Wissenschaft von der Natur angesehen. Als der erste bedeutende Philosoph dieser Zeit, der sich mit Mathematik beschäftigte, gilt Thales von Milet (624–546 v. Chr.). Er brachte Wissen über die Geometrie aus Ägypten mit nach Griechenland, wie zum Beispiel die Aussage, dass der Durchmesser den Kreis halbiert. Andere Aussagen zur Geometrie wurden von Thales selbst aufgestellt. Der heute nach Thales benannte Satz besagt, dass Peripheriewinkel im Halbkreis rechte Winkel sind. Insbesondere war Thales der erste, bei dem der Begriff des Winkels auftrat.Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 31–33.

Die erste bekannte Definition des Kreises geht auf den griechischen Philosophen Platon (428/427–348/347 v. Chr.) zurück, die er in seinem Dialog Parmenides formulierte:

Zirka 300 Jahre vor Christus lebte der griechische Mathematiker Euklid von Alexandria. Über ihn selbst ist wenig bekannt, aber sein Werk im Bereich der Geometrie war beachtlich. Sein Name ist heute noch in Zusammenhängen wie euklidischer Raum, euklidische Geometrie oder euklidische Metrik in Gebrauch. Sein wichtigstes Werk waren Die Elemente, eine dreizehnbändige Abhandlung, in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasste und systematisierte. Er folgerte die mathematischen Aussagen aus Postulaten und begründete damit die euklidische Geometrie. Der dritte Band der Elemente beschäftigte sich mit der Lehre über den Kreis.Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 Jahre Geometrie: Geschichte, Kulturen, Menschen (Vom Zählstein zum Computer). Springer, Berlin / Heidelberg / New York, ISBN 3-540-67924-3, S. 49–50.

Von Archimedes, der vermutlich zwischen 287 v. Chr. und 212 v. Chr. auf Sizilien lebte, ist eine ausführliche Abhandlung mit dem Titel Die Kreismessung überliefert.In englischer Übersetzung von Thomas Little Heath: The works of Archimedes, ed. in modern notation, with introductory chapters. University press, Cambridge 1897. Kreismessung: S. 91 ff., Über Spiralen: S. 151 ff., (Digitalisat). Er bewies in dieser Arbeit, dass der Flächeninhalt eines Kreises (AK) gleich dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks (AD) mit dem Kreisradius (r) als der einen und dem Kreisumfang (UK) als der anderen Kathete ist. Der Flächeninhalt des Kreises lässt sich also als angeben (s. Bild). Mit dieser Erkenntnis führte er das Problem der Quadratur des Kreises auf die Frage der Konstruierbarkeit des Umfangs aus dem vorgegebenen Radius zurück. mini|hochkant=2.2|Kreisfläche und Kreisumfang nach Archimedes:

In seiner Abhandlung Die Kreismessung konnte Archimedes zeigen, dass der Umfang eines Kreises größer als und kleiner als des Durchmessers ist. Für praktische Zwecke wird diese Näherung (~ 3,143) heute noch verwendet.

Aus diesen beiden Aussagen folgert man, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises zum Quadrat seines Durchmessers nahezu wie verhält. Euklid war bereits bekannt, dass sich der Flächeninhalt eines Kreises proportional zum Quadrat seines Durchmessers verhält.Euklids Elemente. XII, § 2. Archimedes gibt hier eine gute Näherung der Proportionalitätskonstante an.