mini|hochkant=1.6|Luftdruck bis 20 km Höhe (Höhe und Druck linear geteilt) mini|hochkant=1.6|Mittlerer Luftdruck und Luftdichte (logarithmisch geteilt) in Abhängigkeit von der Höhe bis 600 km (linear geteilt)Achtung: Achsen vertauscht, Verwirrung möglich! Die barometrische Höhenformel beschreibt die vertikale Verteilung der (Gas-)Teilchen in der Atmosphäre der Erde, also die Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe. Man spricht daher auch von einem vertikalen Druck-Gradienten, der jedoch aufgrund der hohen Wetterdynamik innerhalb der unteren Atmosphäre nur mit Näherungen auf mathematischem Wege beschrieben werden kann.
In der einfachsten Form kann grob angenommen werden, dass der Luftdruck in geringer Höhe über dem Meeresspiegel um ein Hektopascal (entsprechend 1 ‰ des mittleren Luftdrucks) je 8 m Höhenzunahme abnimmt , 8 m³ Luft haben eine Gewichtskraft von etwa 100 N.
Etwas besser ist die Näherung, dass der Druck mit zunehmender Höhe exponentiell abnimmt. Dieser Zusammenhang war 1686 erstmals von Edmond Halley erkannt worden.Edmond Halley: A discourse of the rule of the decrease of the height of the mercury in the barometer. In: Philos. Transactions, 1686 and 1687, Bd. 16, S. 104
Hydrostatische Grundgleichung mini|upright=0.8|Volumenelement mit den maßgebenden Einflüssen Die Änderung von Druck und Dichte der Atmosphäre mit der Höhe wird durch die hydrostatische Grundgleichung beschrieben. Zur Herleitung betrachte man ein quaderförmiges Volumenelement mit der Grundfläche und der infinitesimal kleinen Höhe , welches Luft der Dichte enthält. Von unten wirkt auf die Grundfläche nur die vom Atmosphärendruck ausgeübte Kraft . Die von oben auf die Grundfläche wirkende Kraft setzt sich zusammen aus der Gewichtskraft der im Volumen enthaltenen Luftmasse und der vom Atmosphärendruck auf die Oberseite ausgeübten Kraft. Der Atmosphärendruck ist in dieser Höhe um den Betrag verschieden von dem auf die Unterseite wirkenden Druck; die durch ihn ausgeübte Kraft ist daher .
Im hydrostatischen Gleichgewicht sind alle Luftströmungen zur Ruhe gekommen. Damit das Gleichgewicht erhalten und das betrachtete Volumenelement auch weiterhin in Ruhe bleibt, muss die Summe aller darauf wirkenden Kräfte null sein:
Kürzen und Umstellen liefert
Nach dem idealen Gasgesetz lässt sich die Dichte ausdrücken als ,
so dass sich schließlich ergibt:
Dabei ist die mittlere molare Masse der Atmosphärengase (0,02896 kg·mol−1), die Schwerebeschleunigung (9,807 m·s−2), die universelle Gaskonstante (8,314 J·K−1·mol−1) und die absolute Temperatur.
Die hydrostatische Grundgleichung gibt an, um welchen Betrag sich der Atmosphärendruck ändert, wenn sich die Höhe um einen kleinen Betrag ändert. Wie das negative Vorzeichen zeigt, ist negativ, wenn positiv ist; der Druck wird mit zunehmender Höhe also geringer. So nimmt beispielsweise bei mittlerem Luftdruck auf Meereshöhe ( = 1013 hPa) bei einer Temperatur von 288 K (= 15 °C) der Druck auf einem Meter Höhenunterschied um 0,12 hPa beziehungsweise auf 8,3 Metern Höhenunterschied um 1 hPa ab. Der Höhenunterschied, der einem Druckunterschied von 1 hPa entspricht, ist die barometrische Höhenstufe. In größeren Höhen (kleineres ) und bei höheren Temperaturen verändert sich der Luftdruck langsamer, die barometrische Höhenstufe nimmt zu.
In der Regel werden explizite Werte für Druck und Dichte auf vorgegebenen Höhen benötigt. Daraus lassen sich bei Bedarf auch die Druckunterschiede für größere Höhenunterschiede ablesen. Die gesuchte Lösung der Grundgleichung erhält man durch Trennung der Variablen
und anschließende Integration zwischen den gesuchten Höhen beziehungsweise den zugehörigen Drücken:
.
Integration der linken Seite ergibt . Zur Integration der rechten Seite muss die Höhenabhängigkeit von und bekannt sein. Die Schwerebeschleunigung kann für nicht zu große Höhen als konstant angesehen werden. Die Temperatur variiert in komplizierter und kaum vorhersagbarer Weise mit der Höhe. Es müssen daher vereinfachende Annahmen über den Temperaturverlauf getroffen werden.
Isotherme Atmosphäre
Die in einführender Literatur und im Schulunterricht meist zitierte klassische barometrische Höhenformel gilt für den Spezialfall, dass die Temperatur in jeder Höhe gleich, die Atmosphäre also isotherm ist.
Herleitung aus der hydrostatischen Grundgleichung Die Integration der hydrostatischen Grundgleichung liefert bei konstantem :
Durch Einführung der Skalenhöhe vereinfacht sich die Höhenformel zu
Mit jeder Höhenzunahme um nimmt der Luftdruck um den Faktor ab. Die Skalenhöhe ist daher ein natürliches Maß für die Höhe der Atmosphäre und den Druckverlauf in ihr. Sie beträgt in der hier angenommenen Modellatmosphäre bei einer Temperatur von 288 K (~15 °C) etwa 8,4 km.
Für die Dichte gilt entsprechend:
Für einen bergab wandernden Beobachter nimmt der Luftdruck ständig zu, da eine immer schwerere Luftsäule auf ihm lastet. Die Zunahme verläuft exponentiell, da die Luft kompressibel ist: für jeden Meter Höhenunterschied nimmt die Gewichtskraft der auf einer Messfläche lastenden Luftsäule um das Gewicht des auf dieser Strecke hinzukommenden Säulenvolumens zu. Dieses Gewicht hängt aber von der Dichte der Luft und diese wiederum vom Luftdruck ab. Der Luftdruck wächst also umso schneller, je höher der Luftdruck bereits ist (je weiter der Beobachter also herabgestiegen ist). Ändert sich eine Größe stets um einen Betrag, der der Größe selbst proportional ist, so geschieht die Änderung exponentiell.
Obwohl der Druck nicht konstant ist, befindet sich die Luftsäule im mechanischen Gleichgewicht: Der negative Druckgradient ist gleich der Schwerkraft pro Volumenelement
Herleitung aus der statistischen Mechanik In einem Teilchensystem, das sich bei der Temperatur im thermischen Gleichgewicht befindet (das also insbesondere überall dieselbe Temperatur aufweist) und dessen Teilchen die kontinuierlich oder diskret verteilten Energieniveaus einnehmen können, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich ein Teilchen gerade auf dem Energieniveau befindet, gegeben durch die Boltzmann-Verteilung .
Dabei ist die Boltzmann-Konstante und ein Normierungsfaktor (die so genannte Zustandssumme), der sicherstellt, dass die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten gleich 1 ist. Besteht das System aus Teilchen, so ist die Anzahl der Teilchen auf dem Energieniveau im Mittel .
Ein Gasteilchen der Masse hat im Schwerefeld der Erde die potentielle Energie und wegen seiner Temperatur im Mittel die thermische Energie , insgesamt also die Energie . Betrachtet man zwei gleich große Volumenelemente auf den Höhen beziehungsweise , so haben die Teilchen auf der Höhe eine um den Betrag höhere Energie. Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen im höheren Volumenelement anzutreffen, verhält sich daher zur Wahrscheinlichkeit, es im tieferen Volumenelement anzutreffen wie .
Für eine hinreichend große Anzahl von Teilchen verhalten sich die Teilchendichten wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ,
und wegen des idealen Gasgesetzes folgt für den Druck dasselbe Verhältnis ,
wobei man die molare Masse und die Gaskonstante erhält, indem man die Teilchenmasse beziehungsweise die Boltzmann-Konstante mit der Avogadro-Konstante multipliziert.
Atmosphäre mit linearem Temperaturverlauf
Der streng lineare Temperaturverlauf besteht nur in der idealisierten Vorstellung einer ruhenden Atmosphäre ohne Konvektion ohne Ausgleich des Temperaturgefälles durch Wärmeleitung. Um das besser verwendbar zu machen, wurde die potentielle Temperatur eingeführt. Obwohl der adiabatische Gradient ein Temperaturgefälle ist, ist die potentielle Temperatur konstant, d. h. ein Gleichgewicht. Mit der potentiellen Energie eines Teilchens im Gravitationsfeld () hat das nichts zu tun. Besonders deutlich wird das mit der Zahl der Freiheitsgrade. Teilchen gleicher Masse, aber unterschiedlicher Zahl an Freiheitsgraden haben unterschiedliche Temperaturgradienten.
Da für die Aufrechterhaltung des linearen Temperaturverlaufs die Wärmeleitung keine Rolle spielen darf, darf in der Realität der permanente „Wärmetransport“ (Wärmeleitung) durch schnelle Zirkulation nur einen geringen Einfluss haben. Weil Konvektionslosigkeit und Zirkulation nicht gleichzeitig vorkommen können, wird der lineare Verlauf immer leicht modifiziert durch Wärmetransport aller Art, der bekannteste ist die Kondensation von Wasserdampf, die zu einem geringeren Temperaturabfall führt („feucht-adiabatisch“, eine etwas irreführende Bezeichnung).
Temperaturverteilung (Adiabatische Atmosphäre)
Aus der Gleichung für die Druckänderung
und der mit Hilfe logarithmischer Ableitungen geschriebenen Gleichung für die adiabatische Zustandsänderung
folgt sofort die lineare Temperaturabnahme gemäß
Mit der mittleren molaren Masse des Atmosphärengases M = 0,02896 kg·mol−1, der Schwerebeschleunigung g = 9,807 m·s−2, der universellen Gaskonstante R = 8,314 J·K−1·mol−1 und dem Adiabatenexponenten von (trockener) Luft = 1,402 erhält man den Temperaturgradienten
Dies ist näherungsweise der unten angegebene Temperaturgradient. Jener wird allerdings im Wesentlichen durch die feuchtadiabatische Expansion bestimmt: der feuchtadiabatische Adiabatenexponent ist kleiner als der trockenadiabatische Adiabatenexponent. Bei einer reinen Wasserdampfatmosphäre wäre der Temperaturgradient
Weitere Grenzen des adiabatischen Ansatzes: Wird die Luft sehr kalt, ändert sich auch bei trockener Luft der Adiabatenexponent. Bei sehr großen Höhen (geringe Dichte) wird auch die mittlere freie Weglänge sehr groß, so dass die Gasgleichungen kaum noch gelten. Dazu kommt noch, dass durch den Treibhauseffekt auch der adiabatische Ansatz (kein Energieaustausch mit der Umgebung) verletzt wird.
Dichte- und Druckverteilung
Im Allgemeinen ist die Temperatur nicht konstant, sondern variiert mit der Höhe. Der einfachste Ansatz zur Berücksichtigung einer solchen Veränderlichkeit geht von einer linearen Abnahme mit der Höhe aus. Aus der adiabatischen Beziehung folgt wie oben beschrieben ein konstanter Temperaturgradient
sodass für die Temperatur gilt: , wobei der (positiv zu nehmende) Betrag des vertikalen atmosphärischen Temperaturgradienten ist, der angibt, um wie viele Kelvin die Lufttemperatur pro Meter Höhenunterschied abnimmt. Das Integral über die rechte Seite der Grundgleichung lautet damit .
Wegen
ist die Lösung des Integrals ,
so dass insgesamt aus dem Integral über die Grundgleichung
die barometrische Höhenformel für linearen Temperaturverlauf folgt: ,
oder wegen
Für die Dichte gilt entsprechend
Der Exponent ist hier durch geteilt, da der Dichte/Druck-Zusammenhang aus der adiabatischen Beziehung der beiden Größen resultiert.
Diese erweiterte barometrische Höhenformel bildet die Grundlage für die barometrische Höhenfunktion der Standardatmosphäre in der Luftfahrt. Dabei wird zunächst die Atmosphäre in Teilschichten mit jeweils linear interpoliertem Temperaturverlauf unterteilt. Dann werden, mit der untersten Schicht beginnend, Temperatur und Druck an der Obergrenze der jeweiligen Teilschicht berechnet und für die Untergrenze der darüber liegenden Schicht eingesetzt. Auf diese Weise entsteht induktiv das Modell für die gesamte Atmosphäre.
Typische Temperaturgradienten Wie Messungen der Temperaturprofile in der Atmosphäre zeigen, ist die Annahme einer linearen Temperaturabnahme im Mittel eine gute Näherung, wenn auch im Einzelfall deutliche Abweichungen auftreten können, zum Beispiel bei Inversionswetterlagen. Die Hauptursache für die Temperaturabnahme mit der Höhe ist die Erwärmung der unteren Luftschichten durch die von der Sonne aufgeheizte Erdoberfläche, während die oberen Luftschichten Wärme in den Weltraum abstrahlen. Dazu kommen trockenadiabatische oder feuchtadiabatische Temperaturänderungen einzelner aufsteigender oder absinkender Luftpakete und zusätzliche Modifikationen durch Vermischungsvorgänge zwischen Luftmassen unterschiedlicher Herkunft.