Ein quantenmechanischer Zustand ist die Beschreibung des Zustands eines physikalischen Systems nach den Regeln der Quantenmechanik. Diese Beschreibung unterscheidet sich grundlegend von derjenigen nach den Regeln der klassischen Physik, damit die an quantenphysikalischen Systemen beobachteten Phänomene erfasst werden können. Zu den verschiedenen Interpretationen der Quantenmechanik gehören zum Teil unterschiedliche Zustandsbegriffe. Dieser Artikel behandelt den Zustandsbegriff der weit verbreiteten Kopenhagener Interpretation.
Überblick Physikalischer Gehalt Viele der physikalischen Beobachtungen, die an Quantensystemen gemacht werden, sind auf der Grundlage der Zustandsbegriffe der klassischen Physik nicht mehr zu erfassen.Das wird in fast allen Lehrbüchern der Quantenphysik ausführlich dargestellt. Z. B. in Richard Feynman: Feynman-Vorlesungen über Physik Band 3, Quantenmechanik, Kap. 16. ISBN 0-201-02115-3 (dt. Vorlesungen über Physik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58444-8), zuerst 1963/1965 bei Addison/Wesley.
Streuung der Messwerte, Wahrscheinlichkeitsaussagen In der klassischen Physik ist der Zustand eines Systems zu jedem Zeitpunkt durch bestimmte Werte für jeden der Freiheitsgrade des Systems gegeben. Aus diesen lässt sich für jede am System beobachtbare physikalische Größe der aktuelle Wert berechnen. Diese Werte sind damit auch eindeutig als die Messwerte vorhergesagt, die bei einer (idealen) entsprechenden Messung gemessen werden würden. Beispiele sind Ort oder Geschwindigkeit eines Körpers. Auch in der Quantenmechanik stellt der Zustand die genaueste physikalische Beschreibung dar, die physikalisch möglich ist, kann aber im Gegensatz zum klassischen Zustand nicht für jede Messung einen mit Sicherheit zu erwartenden Messwert festlegen, sondern nur für jedes der möglichen Messergebnisse die Wahrscheinlichkeit (), dass gerade dieser Wert eintritt (siehe z. B. Quantenmechanische Messung). Nur im Grenzfall für einen Messwert (und damit für alle anderen) ist dieser Messwert sicher vorhergesagt. Diesen Fall gibt es nur bei besonderen Zuständen, die als Eigenzustände zu der betreffenden Messgröße bezeichnet werden. In allen anderen Zuständen zeigen wiederholte Messwerte eine Streuung oder Unbestimmtheit, die für die ganze Quantenphysik charakteristisch ist, weil es keine andere Beschreibung gibt, in der die Messwerte genauer vorherzusagen wären. Dann nimmt das System erst durch die Messung einen bestimmten Wert für die gemessene Größe an. Sein Zustand geht damit auch unstetig in den entsprechenden Eigenzustand über (Zustandsreduktion), sodass gewährleistet ist, dass für eine unmittelbar folgende Wiederholung der Messung mit Sicherheit derselbe Messwert vorhergesagt wird. Die Zustandsreduktion läuft nicht als ein physikalischer Vorgang ab, sondern beschreibt den durch die Messung gewonnenen Informationszuwachs des Beobachters. So wird durch eine Messung der Zustand des Systems im Allgemeinen auf eine Weise verändert, die nur mit gewisser Wahrscheinlichkeit vorhergesagt und nicht weiter beeinflusst werden kann. Insbesondere Kap. VI, Der Meßprozeß. Daher findet eine deterministische Zeitentwicklung des quantenmechanischen Zustands nur im Zeitraum zwischen zwei aufeinanderfolgenden Messungen statt. In diesem Zeitraum entwickelt sich der Zustand gemäß einer deterministischen Bewegungsgleichung: im nichtrelativistischen Fall gemäß der Schrödinger-Gleichung, im relativistischen, abhängig von Spin und Masse des Teilchens, gemäß der Klein-Gordon-Gleichung (Spin 0), der Dirac-Gleichung (massiv, Spin ½), der Weyl-Gleichung (masselos, Spin ½), der Proca-Gleichung (massiv, Spin 1) oder der Maxwell-Gleichungen (masselos, Spin 1).
Für zwei verschiedene Messgrößen existieren in vielen Fällen keine gemeinsamen Eigenzustände. Solche Paare von physikalischen Größen können daher in keinem Zustand gleichzeitig mit scharfen Werten vorliegen, so z. B. der Ort und die Geschwindigkeit eines Körpers. Zwei Messgrößen dieser Art heißen zueinander inkommensurabel. Die Präparation eines Systems in einem bestimmten Zustand kann daher nicht so erfolgen, dass für sämtliche Freiheitsgrade feste Werte vorgegeben werden, sondern bestenfalls für einen maximalen Satz solcher physikalischer Größen, die untereinander alle kommensurabel sind. Anschließend befindet sich das System in einem wohldefinierten gemeinsamen Eigenzustand aller dieser Größen, während für alle zum gewählten Satz nicht kommensurablen Größen die Messwerte streuen. Diese Unbestimmtheit wird durch die Heisenbergsche Unschärferelation ausgedrückt.
Unvollständige Präparation, statistisches Gemisch, inkohärente Überlagerung Werden viele gleichartige Systeme so präpariert, dass sie nur für eine Auswahl der kommensurablen Größen denselben Eigenzustand haben, liegt eine unvollständige Präparation vor (z. B., wenn die Elektronen in einem Elektronenstrahl nur in den drei Komponenten des Impulses übereinstimmen, aber nicht in der Ausrichtung ihrer Spins). So erhält man ein statistisches Gemisch von Systemen, die hinsichtlich der zur Präparation ausgewählten Größen alle im selben Eigenzustand sind, hinsichtlich der anderen (kommensurablen) Größen aber in verschiedenen Eigenzuständen. Die Messwerte dieser Größen streuen dann nicht wegen der quantenmechanischen Unbestimmtheit, sondern weil sie schon vor der Messung verschiedene Werte hatten. Diese Form der Überlagerung wird als inkohärente Überlagerung oder Zustandsgemisch bezeichnet. Sie ist in der klassischen Physik genau so möglich, zeigt in der Quantenmechanik jedoch neue Eigenschaften.Erwin Schrödinger nennt diese Art der Unbestimmtheit „Boltzmannisch“, weil sie in der klassischen statistischen Physik, z. B. in der kinetischen Gastheorie, der Unkenntnis des Zustands eines herausgegriffenen Teilchens entspricht. Die quantenmechanische Unbestimmtheit, die durch die Unschärferelation ausgedrückt wird und die schon in einem einzelnen wohldefinierten Zustand vorliegen kann, nennt er „Heisenbergisch“.Karl von Meyenn: Eine Entdeckung von ganz außerordentlicher Tragweite – Schrödingers Briefwechsel zur Wellenmechanik und zum Katzenparadoxon, Springer Verlag, 2011, S. 566.
Kohärente Überlagerung und Interferenz (Superposition) In der klassischen Physik kann es eine kohärente Überlagerung von zwei Zuständen – aus der ein einziger neuer Zustand hervorgeht – nur bei Schwingungen und Wellen geben, nicht bei Teilchen. In der Quantenphysik hingegen muss bei jedem System die Überlagerung zweier Zustände einen möglichen Zustand ergeben. Anders wäre das Entstehen von Interferenzmustern durch konstruktive und destruktive Interferenz nicht zu verstehen. Ein Beispiel zeigt sich im Doppelspaltexperiment, wo man am Intensitätsmuster auf dem Schirm ablesen kann, dass sich die zwei Zustände überlagern, bei denen dasselbe Teilchen nur von dem einen bzw. nur von dem anderen Spalt aus zum Schirm fliegt.
Zusammengesetzte Systeme, Quantenverschränkung Diese beiden Charakteristika zusammengenommen ergeben weiterhin die Möglichkeit, dass zwei Teile eines größeren Systems eine Art von Verschränkung zeigen, die in der klassischen Physik nicht vorkommt.
Dies sei hier am Beispiel eines zusammengesetzten Systems dargestellt, das sich in einem seiner eindeutig bestimmten Zustände befindet, wo es also unmöglich ist, für diesen Zustand eine noch detailliertere Beschreibung zu geben. Wenn es sich zum Beispiel um einen Energieeigenzustand des Gesamtsystems handelt, dann liegt der Wert der Gesamtenergie fest, aber es ist damit nicht immer festgelegt, dass auch jedes Teilsystem in einem seiner Energieeigenzustände ist. Verschränkung der beiden Teilsysteme bedeutet dann vielmehr, dass in dem wohlbestimmten Zustand des Gesamtsystems die Möglichkeit von mehreren verschiedenen Aufteilungen der Energie auf die Teilsysteme angelegt ist, bei denen nur die Summe mit der Energie des Gesamtsystems übereinstimmt. Daher kann die Messung der Energie des ersten Teilsystems verschiedene Werte ergeben, wobei durch die entsprechende Zustandsreduktion des Zustands des Gesamtsystems wegen der Verschränkung stets sichergestellt ist, dass danach das zweite System genau den dazu passenden Energieinhalt besitzt. Das heißt, nach der Messung am ersten Teilsystem befindet sich nicht nur dieses in einem seiner Energieeigenzustände, sondern auch das zweite, auch dessen Zustand hat sich geändert. Das gilt entgegen aller alltäglichen Anschauung auch dann, wenn die Messung das zweite System sonst in keiner Weise beeinflusst hat, einschließlich des Falls, dass die beiden Teilsysteme beliebig weit voneinander entfernt sind.
Bei dieser quantenmechanischen Verschränkung ist zu beachten, dass die Energieeigenzustände eines Teilsystems, beispielsweise des ersten, die mit gewissen Wahrscheinlichkeiten im Gesamtzustand enthalten sind, eine inkohärente Überlagerung bilden, keine kohärente. Interferenzeffekte zwischen verschiedenen solcher Zustände des einen Teilsystems sind ausgeschlossen, außer in dem Sonderfall, dass sie durch die Verschränkung nicht an verschiedene Eigenzustände des anderen Teilsystems gekoppelt sind, sondern an exakt denselben. Ohne den Nachweis von Interferenzen kann aber durch keine Beobachtung ausgeschlossen werden, dass jedes der beiden Teilsysteme schon vor der Messung jeweils in einem bestimmten Zustand gewesen sei, man aber nur nicht wisse, in welchem. Man kann diese Folge der quantenmechanischen Verschränkung insoweit ebenso gut als Folge der bloßen Unkenntnis einer Verteilung begreifen, die schon vor der Messung real vorliegt (wobei es gleichzeitig für das Gesamtsystem keine vollständigere Beschreibung geben kann als durch seinen – hier als bekannt vorausgesetzten – quantenmechanischen Zustand). Dann wäre sie noch mit dem klassischen Zustandsbegriff verträglich. (Beim Würfeln sind verschiedene Augenzahlen möglich und jeweils mit bestimmten festgelegten Konsequenzen verknüpft. Man weiß aber auch erst nach dem Aufdecken des Würfelbechers, welche der Kombinationen von Augenzahl und Konsequenz eingetreten ist.) Im obigen Beispiel etwa kann man sich vorstellen, dass zwischen den beiden Teilsystemen ständig Energie ausgetauscht wird, wie etwa zwischen zwei Systemen im thermischen Gleichgewicht, nur dass die momentane Energieverteilung im Augenblick der Messung nicht vorhersagbar ist. Demnach beruht diese Verschränkung, genau wie bei der oben erwähnten unvollständigen Präparation, auf partieller Unkenntnis des genauen Zustands und widerspricht nicht der klassischen Vorstellung, dass jedes Teilsystem zu jedem Zeitpunkt einen wohlbestimmten Zustand habe.
Diese klassisch und anschaulich mögliche Vorstellung kann aber in der Quantenphysik letztendlich doch nicht aufrechterhalten werden. Denn anders, als in der klassischen Physik denkbar, kann die Verschränkung in bestimmten Experimenten (siehe Quantenradierer) von der inkohärenten Überlagerung zu einer kohärenten umgewandelt werden, indem die Unterschiede zwischen den Zuständen des zweiten Systems, die die Interferenz verhindern, zum Verschwinden gebracht werden. Dann erscheinen die Interferenzmuster aufs Neue und zeigen, dass das Teilsystem nun nicht mehr entweder in dem einen oder in dem anderen Zustand war, sondern im Zustand einer kohärenten Überlagerung beider. Das gelang bisher allerdings nur, wenn das zweite Teilsystem ein Quantensystem aus höchstens wenigen Teilchen ist. Quantenmechanische Verschränkungen mit großen, z. B. makroskopischen Systemen, sind daher durch Beobachtungen nicht vom klassischen Fall der Verschränkung durch Unkenntnis eines real vorliegenden Zustands zu unterscheiden (siehe z. B. Schrödingers Katze und Dekohärenz).
Mathematische Darstellung