250px|mini|Die Seitenhalbierenden im Dreieck. S, der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden, ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Er teilt die Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2:1.Eine Seitenhalbierende (auch Schwerlinie oder Median) in einem Dreieck ist eine Strecke, die eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite verbindet. Die Seitenhalbierenden gehören zusammen mit den Mittelsenkrechten (Streckensymmetralen), Winkelhalbierenden (Winkelsymmetralen) und den Höhen zu den klassischen Transversalen der Dreiecksgeometrie.
Eigenschaften Grundeigenschaften Eine Seitenhalbierende teilt die Dreiecksfläche in zwei Dreiecke gleicher Höhe bzgl. der gemeinsamen Grundseite und damit auch gleicher Fläche. Mittels Scherung parallel zur Seitenhalbierenden lassen sich die beiden Teildreiecke unter Beibehaltung ihres Flächeninhalts in eine achsensymmetrische Form überführen. Diese Scherung lässt die Verteilung der Flächenelemente innerhalb der Teildreiecke und damit das Drehmoment der einzelnen Dreiecksflächen bezogen auf die gemeinsame Grundseite unverändert. Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks sind somit Schwerlinien und schneiden sich in einem Punkt, dem so genannten Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis . Dabei ist die Strecke zwischen Schwerpunkt und Ecke doppelt so lang wie die Strecke zwischen Schwerpunkt und Seitenmittelpunkt.Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 63
Alle drei Seitenhalbierenden zerlegen das Dreieck in sechs flächengleiche Teildreiecke.
Die Längen der jeweils zu den Seiten , und gehörenden Seitenhalbierenden berechnet man mit:
Zusätzliche Eigenschaften
Entstehung des Median-Dreiecks Das aus den Seitenhalbierenden eines Dreiecks gebildete Median-Dreieck ist -mal so groß wie das ursprüngliche Dreieck.Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 21Norbert Hungerbühler: Proof Without Words: The Triangle of Medians Has Three-Fourths the Area of the Original Triangle, Mathematics Magazine (1999), 72:2, 142, DOI:10.1080/0025570X.1999.11996717
Diese Eigenschaft lässt sich im Wesentlichen in zwei Schritten geometrisch veranschaulichen: Schritt 1: Spiegelung des ursprünglichen Dreiecks am Mittelpunkt der Seite a (Figur 1). Schritt 2: Entstehung des aus den Seitenhalbierenden des ursprünglichen Dreiecks gebildeten neuen Dreiecks durch geeignete Scherungen von drei der vier gefärbten Teildreiecke (Figur 2).
Flächengleichheiten angrenzender Dreiecke Jede der Dreiecksseiten FB, bzw. BD, bzw. DF ist gleichzeitig je eine Seitenhalbierende der Dreiecke DAB, bzw. FCD, bzw. BEF.
Hieraus folgt, dass alle vier Dreiecke ABF, FBD, CDB und EFD flächengleich sind (Figur 3).Roger B. Nelsen: Beweise ohne Worte, Deutschsprachige Ausgabe herausgegeben von Nicola Oswald, Springer Spektrum, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-50330-0, Seite 22
Geometrische Veranschaulichungen
Literatur Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 63 Harald Scheid, Wolfgang Schwarz: Elemente der Geometrie. 5. Auflage. Springer, 2016, ISBN 978-3-662-50323-2, S. 21 Rolf Baumann: Mehr Erfolg in Mathematik: 8. Klasse Geometrie. Mentor, 2008, ISBN 978-3-580-65629-4, S. 29
Weblinks
Herleitung von Formeln zum Schwerpunkt beim Dreieck
Einzelnachweise
Kategorie:Dreiecksgeometrie