Quantenchromodynamik

Die Quantenchromodynamik (kurz QCD) ist eine Quantenfeldtheorie zur Beschreibung der starken Wechselwirkung. Sie beschreibt die Wechselwirkung von Quarks und Gluonen, also der fundamentalen Bausteine der Atomkerne.

Die QCD ist wie die Quantenelektrodynamik (QED) eine Eichtheorie. Während die QED jedoch auf der abelschen Eichgruppe U(1) beruht und die Wechselwirkung elektrisch geladener Teilchen (z. B. Elektron oder Positron) mit Photonen beschreibt, wobei die Photonen selbst ungeladen sind, ist die Eichgruppe der QCD, die SU(3), nicht-abelsch. Es handelt sich also um eine Yang-Mills-Theorie. Die Wechselwirkungsteilchen der QCD sind die Gluonen, und an die Stelle der elektrischen Ladung als Erhaltungsgröße tritt die Farbladung (daher der Name Chromodynamik). Die Gluonen selbst sind im Gegensatz zu den Eichteilchen der QED „geladen“, das heißt Träger von Farbladungen, und wechselwirken auch untereinander.

Analog zur QED, die nur die Wechselwirkung elektrisch geladener Teilchen betrifft, behandelt die QCD ausschließlich Teilchen mit „Farbladung“, die sogenannten Quarks. Quarks haben drei verschiedene Farbladungen, die als rot, grün und blau bezeichnet werden. (Diese Benennung ist lediglich eine bequeme Konvention; eine Farbe im umgangssprachlichen Sinn besitzen Quarks nicht. Die Anzahl der Farben entspricht dem Grad der Eichgruppe der QCD, also der SU(3).)

Die Wellenfunktionen der Baryonen sind antisymmetrisch bezüglich der Farbindices, wie es vom Pauli-Prinzip gefordert wird. Im Unterschied zum elektrisch neutralen Photon in der QED tragen jedoch die Gluonen selbst Farbladung und wechselwirken daher miteinander. Die Farbladung der Gluonen besteht aus einer Farbe und einer Anti-Farbe, so dass Gluonenaustausch meist zu „Farbänderungen“ der beteiligten Quarks führt. Die Wechselwirkung der Gluonen bewirkt, dass die Anziehungskraft zwischen den Quarks bei großen Entfernungen nicht verschwindet, die zur Trennung nötige Energie nimmt weiter zu, ähnlich wie bei einer Zugfeder oder einem Gummifaden. Wird eine bestimmte Dehnung überschritten, reißt der Faden – in der QCD wird in dieser Analogie bei Überschreitung eines gewissen Abstands die Feldenergie so hoch, dass sie in die Bildung neuer Mesonen umgesetzt wird. Daher treten Quarks niemals einzeln auf, sondern nur in gebundenen Zuständen, den Hadronen (Confinement). Das Proton und das Neutron – auch Nukleonen genannt, da aus ihnen die Atomkerne bestehen – sowie die Pionen sind Beispiele für Hadronen. Zu den von der QCD beschriebenen Objekten gehören auch exotische Hadronen wie die Pentaquarks und die 2016 am LHCb_experiment am CERN entdeckten Tetraquarks.

Da Quarks sowohl eine elektrische als auch eine Farbladung besitzen, wechselwirken sie sowohl elektromagnetisch als auch stark. Da die elektromagnetische Wechselwirkung deutlich schwächer ist als die starke Wechselwirkung, kann man ihren Einfluss bei der Wechselwirkung von Quarks vernachlässigen und sich daher nur auf den Einfluss der Farbladung beschränken. Die Stärke der elektromagnetischen Wechselwirkung ist durch die Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante gekennzeichnet, während der entsprechende Parameter der starken Wechselwirkung von der Größenordnung 1 ist.

Durch ihre nichtabelsche, stark nichtlineare Struktur (Wechselwirkung der Gluonen miteinander) und hohe Kopplungsstärken sind Rechnungen in der QCD häufig aufwendig und kompliziert. Die QCD besitzt im Bereich von Hochenergiestreuprozessen (Tiefinelastische Streuung, bei der die Quarks und Gluonen in den Hadronen auf kleinstem Raum untersucht werden) die Eigenschaft, dass Quarks sich wie freie Teilchen verhalten (Asymptotische Freiheit) und in diesem Bereich ist die QCD störungstheoretisch beschreibbar. Im Allgemeinen gilt das nicht, und insbesondere die Massen der Hadronen lassen sich so nicht ermitteln, es gibt aber die Möglichkeit von Computersimulationen im Rahmen von Gittereichtheorien, die über mehrere Jahrzehnte so gut ausgebaut wurden, dass die Genauigkeit der Vorhersagen für die Massen vieler Hadronen typischerweise im Prozentbereich liegt. In der analytischen Behandlung spielen im sogenannten Confinement-Bereich bei größeren Abständen, bei denen die Störungstheorie nicht mehr anwendbar ist, verschiedene effektive Feldtheorien und nichtlineare Anregungen des QCD-Feldes wie Instantonen und Monopole eine Rolle.

Die Quantenchromodynamik ist ein wesentlicher Bestandteil des Standardmodells der Elementarteilchenphysik.

Abgrenzung zur Kernphysik Die Stärke der Wechselwirkung führt dazu, dass Protonen und Neutronen im Atomkern viel stärker aneinander gebunden sind als etwa die Elektronen an den Atomkern. Die Beschreibung der Nukleonen ist jedoch ein offenes Problem. Die Quarks (die konstituierenden Quarks und die Seequarks) tragen nur 9 Prozent zur Masse der Nukleonen bei, die restlichen rund 90 Prozent der Nukleonenmasse entstammen der Bewegungsenergie der Quarks (rund ein Drittel, verursacht durch die Bewegungsenergie nach der Unschärferelation, da sie auf engem Raum „gefangen“ sind) und Beiträge der Gluonen (ein Feldstärkebeitrag von rund 37 Prozent und ein anomaler Gluonenbetrag von rund 23 Prozent).André Walker-Loud: Viewpoint: Dissecting the Mass of the Proton, Physics, APS, 19. November 2018Y.-B. Yang, J. Liang, Y.-J. Bi, Y. Chen, T. Draper, K.-F. Liu, and Z. Liu, Proton mass decomposition from the QCD energy momentum tensor, Phys. Rev. Lett., Band 121, 2018, S. 212001, Arxiv Die in der QCD auftretenden Kopplungsprozesse sind dynamisch und nicht perturbativ: Die Protonen und Neutronen selbst sind farblos. Ihre Wechselwirkung wird statt durch die Quantenchromodynamik meist im Rahmen einer effektiven Theorie beschrieben, nach der die anziehende Kraft zwischen ihnen auf einer Yukawa-Wechselwirkung aufgrund des Austauschs von Mesonen, insbesondere der leichten Pionen, beruht (Pion-Austauschmodell). Die Beschreibung des Verhaltens der Nukleonen über Mesonenaustausch im Atomkern und in Streuexperimenten ist Gegenstand der Kernphysik.

Die starke Wechselwirkung zwischen den Nukleonen im Atomkern ist also viel wirksamer als ihre elektromagnetische Wechselwirkung. Dennoch ergibt die elektrostatische Abstoßung der Protonen ein wichtiges Stabilitätskriterium für Atomkerne. Die starke Wechselwirkung zwischen den Nukleonen wird, im Gegensatz zur Wechselwirkung zwischen den Quarks, mit zunehmender Entfernung der Nukleonen exponentiell kleiner. Dies liegt an der Tatsache, dass die beteiligten Austauschteilchen im Pion-Austauschmodell eine Masse ungleich Null besitzen. Daher liegt die Reichweite der Wechselwirkung zwischen den Nukleonen bei cm, also in der Größenordnung der Compton-Wellenlänge der -Mesonen ( ist die Masse des Pions).

Während die Kernkräfte exponentiell mit dem Abstand kleiner werden,

(Yukawa-Potential),

fällt die elektromagnetische Wechselwirkung nur nach dem Potenzgesetz ab

(Coulomb-Potential),

da deren Austauschteilchen, die Photonen, keine Masse besitzen und die Wechselwirkung damit eine unendliche Reichweite hat.

Die starke Wechselwirkung ist also im Wesentlichen auf Abstände der Hadronen beschränkt, wie sie z. B. im Atomkern auftreten.

Confinement und asymptotische Freiheit

mini|hochkant=1.2|Energieabhängigkeit der starken Kopplungskonstante

Die der QCD zugrundeliegende Eichgruppe ist nicht-abelsch, das heißt die Multiplikation von zwei Gruppenelementen ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Das führt dazu, dass in der Lagrange-Dichte Terme auftreten, die eine Wechselwirkung der Gluonen miteinander bewirken. Aus demselben Grund tragen die Gluonen Farbladung. Diese Selbstwechselwirkung führt dazu, dass die renormierte Kopplungskonstante der QCD sich qualitativ genau entgegengesetzt zur Kopplungskonstante der QED verhält: Sie nimmt für hohe Energien ab. Dies führt bei hohen Energien zum Phänomen der asymptotischen Freiheit und bei niedrigen Energien zum Confinement. Erst bei extrem hohen Temperaturen, T > 5·1012 Kelvin, und/oder entsprechend hohem Druck, wird anscheinend das Confinement aufgehoben und es entsteht ein Quark-Gluon-Plasma.

Asymptotische Freiheit bedeutet, dass die Quarks sich bei hohen Energien (kleine typische Abstände) wie freie Teilchen verhalten, was konträr zum Verhalten sonstiger Systeme ist, wo schwache Wechselwirkung mit großen Abständen verbunden ist. Confinement bedeutet, dass unterhalb einer Grenzenergie die Kopplungskonstante so groß wird, dass Quarks nur noch in Hadronen auftreten. Da die Kopplungskonstante der QCD bei niedrigen Energien kein kleiner Parameter ist, kann die Störungstheorie, mit der sich viele Probleme der QED lösen lassen, nicht angewendet werden. Ein Ansatz zur Lösung der QCD-Gleichungen bei niedrigen Energien sind dagegen Computersimulationen von Gittereichtheorien.

Ein weiterer Ansatz zur quantenfeldtheoretischen Behandlung von Hadronen ist die Verwendung von effektiven Theorien, die für große Energien in die QCD übergehen und für kleine Energien neue Felder mit neuen „effektiven“ Wechselwirkungen einführen. Ein Beispiel für solche „effektive Theorien“ ist ein Modell von Nambu und Jona-Lasinio. Je nach den zu beschreibenden Hadronen finden verschiedene effektive Theorien Verwendung. Die chirale Störungstheorie (chiral perturbation theory, CPT) wird für Hadronen verwendet, die nur aus leichten Quarks, also Up-, Down- und Strange-Quarks, aufgebaut sind, die nach der CPT über Mesonen miteinander wechselwirken. Für Hadronen mit genau einem schweren Quark, also einem Charm- oder Bottom-Quark, und sonst nur leichten Quarks wird die effektive Theorie schwerer Quarks (heavy quark effective theory, HQET) verwendet, in welcher das schwere Quark als unendlich schwer angenommen wird, ähnlich der Behandlung des Protons im Wasserstoffatom. Das schwerste Quark, das „top-Quark“, ist so hochenergetisch (E0 ≈ 170 GeV), dass sich in seiner kurzen Lebenszeit   mit der Planck’schen Konstante h, keine gebundenen Zustände bilden können. Für Hadronen aus zwei schweren Quarks (gebundene Zustände im Quarkonium) wird die sogenannte nichtrelativistische Quantenchromodynamik (nonrelativistic quantum chromodynamics, NRQCD) verwendet.

Nichtabelsche Eichtheorie

Die Beschreibung der Quantenchromodynamik als nicht-abelsche Eichtheorie ist eine Verallgemeinerung des Vorgehens bezüglich der -Eichgruppe der Quantenelektrodynamik.

Für die Eichgruppe geht man von einem Satz von drei Dirac-Spinor-Feldern aus. Diese entsprechen einem Quark mit roter, blauer oder grüner Farbladung. Die Lagrangedichte dieser Spinorfelder ist gegeben durch

Dabei sind die Dirac-Matrizen. Diese Lagrangedichte soll invariant sein unter der globalen Transformationsgruppe , der speziellen unitären Gruppe. Die Transformation kann geschrieben werden als:

Dabei ist eine unitäre 3x3-Matrix mit Determinante 1.

Nun soll diese globale Symmetrie geeicht werden, das bedeutet, sie soll in eine lokale Transformation umgewandelt werden, welche die Form hat

Die Transformationsmatrix hängt nun also vom Ort ab. Die Lagrangedichte ist jedoch jetzt nicht mehr invariant unter dieser neuen, lokalen Transformation, da für die partielle Ableitung gilt:

Für die Invarianz der Lagrangedichte unter der lokalen Transformation, wird die sogenannte kovariante Ableitung eingeführt. Diese nimmt die Form

an. Dabei ist das Eichfeld (Gluonenfeld), welches mit der Kopplungskonstante g an den Spinor koppelt (sogenannte minimale Kopplung). Unter der Matrix muss das Eichfeld dabei einem speziellen Transformationsgesetz gehorchen:

Unter der lokalen Transformation gilt nun für die kovariante Ableitung

Die kovariante Ableitung ist also unter der lokalen Transformation invariant, sie ist eichinvariant.

Mittels der kovarianten Ableitung kann nun eine eichinvariante Lagrangedichte des Spinorfeldes gefunden werden. Dabei wird die partielle durch die kovariante Ableitung ersetzt: