mini|Geländemodell vor und nach Kriging-Interpolation|368x368px Unter Kriging (oder auch: Krigen) versteht man ein geostatistisches Prognose- und Interpolationsverfahren, mit dem man eine räumlich verortete Variable an Orten, an denen sie nicht gemessen wurde, durch umliegende Messwerte interpolieren oder auch annähern kann. Stark vereinfacht könnte man sagen, diese Prognose ist eine Art gewichteter Mittelwert aus allen oder einigen der bekannten Messwerte einer Stichprobe. Außerhalb der Geostatistik ist das Verfahren als Gaußprozess-Regression bekannt. Siehe Abschnitt 2.1 Conventional kriging
Der südafrikanische Bergbauingenieur Danie Krige entwickelte 1951 für den Goldbergbau eine Interpolationsmethode, die auf der Abhängigkeit der Messwerte von den Abständen basiert, die zwischen den zugehörigen Messpunkten liegen. Der französische Mathematiker und Ingenieur Georges Matheron veröffentlichte 1960 die Arbeit „Krigeage d’un Panneau Rectangulaire par sa Périphérie“, welche die theoretische Grundlage der von Danie Krige entwickelten Methode schuf und sie nach ihm benannte.
Der wesentliche Vorteil gegenüber einfacheren Methoden wie beispielsweise der Inversen Distanzwichtung ist die Berücksichtigung der räumlichen Varianz, die sich mit Hilfe von Semivariogrammen ermitteln lässt. Die Semivarianz beschreibt, wie die Unterschiede zwischen den Messwerten zunehmen bzw. die Ähnlichkeit zwischen den Messwerten abnimmt, wenn der Abstand zwischen den Messpunkten größer wird. Sie eignet sich also dafür, die Gewichte der Mittelwertsbildung zu bestimmen, indem sie für näher gelegene Stichprobenwerte größere Gewichte, und für entferntere Stichprobenwerte kleinere Gewichte vergibt. Für einen gesuchten Wert werden dabei die Gewichte der in die Berechnung einfließenden Messwerte so bestimmt, dass der Prognosefehler möglichst gering ist. Der Prognosefehler hängt dabei von der Qualität des Variogramms bzw. der Variogrammfunktion ab, also wie gut das Semivariogrammmodell die tatsächliche räumliche Autokorrelation beschreibt.
Bei einfacheren Interpolationsverfahren können bei Häufung der Messpunkte Probleme auftreten. Dies wird beim Kriging vermieden und zwar durch die Berücksichtigung der statistischen Abstände zwischen der in die Berechnung eines Punktes einfließenden Nachbarn und Optimierung der gewichteten Mittel. Tritt an einer Stelle eine Clusterung auf, werden die Gewichte der Punkte innerhalb dieses Clusters gesenkt.
Unter Kriging versteht man die Bestimmung der besten linearen Prognose (oder Vorhersage) (englischer Kurzbegriff BLP, best linear prediction) eines Messwertes an einem nicht beobachteten Ort auf der Basis von Messwerten an beobachteten Orten. Dabei werden die Messwerte als Realisierungen von Zufallsvariablen (zufälliger Messungen) modelliert, die ein Zufallsfeld mit bekannter Erwartungswertfunktion und Kovarianzfunktion bilden. Werden in einem allgemeineren Kontext unbekannte Parameter in der Erwartungswertfunktion unverzerrt (erwartungstreu) geschätzt, so ergibt sich das Konzept der besten linearen unverzerrten Prognose (englischer Kurzbegriff BLUP, best linear unbiased prediction).
Modellannahme Die Messwerte eines interessierenden Merkmals an den Orten werden als Realisierungen von reellwertigen Zufallsvariablen aufgefasst, die ein Zufallsfeld mit der Indexmenge bilden. Eigenschaften der gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zufallsfeldes sind die Erwartungswertfunktion
und die Kovarianzfunktion
Im Spezialfall eines gaußschen Zufallsfeldes liegt durch die Erwartungswertfunktion und die Kovarianzfunktion die multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen als multivariate Normalverteilung fest.
Statistische Fragestellung und Kriging-Lösung Das Kriging beantwortet die Aufgabenstellung, einen Prognosewert an einem nicht beobachteten Ort auf der Basis beobachteter Messwerte an den Orten anzugeben. Im einfachsten Fall, wenn die Erwartungswertfunktion bekannt ist, handelt es sich um ein Prognoseverfahren. In Fällen, in denen Parameter der Ewartungswertfunktion geschätzt werden müssen, handelt es sich um ein kombiniertes Schätz- und Prognoseverfahren.
Bekannte Parameter Der einfachste Fall liegt vor, wenn die Erwartungswertfunktion und die Kovarianzfunktion bekannt sind. In diesem Fall ist die beste lineare Prognose (BLP) durch
gegeben. Dabei gelten die folgenden Bezeichnungen: bezeichnet den Erwartungswert der Zufallsvariablen , bezeichnet den Vektor der beobachteten Messwerte, ist ein ()-Vektor mit den Erwartungswerten für , ist eine ()-Kovarianzmatrix mit den Kovarianzen und ist ein ()-Vektor mit den Kovarianzen für . Der hochgestellte Index bezeichnet die Transponierung und bezeichnet die invertierte Matrix.
Geschätzte Parameter Wenn die Erwartungswertfunktion unbekannt ist und durch eine bekannte Funktion und einen unbekannten Parametervektor in der Form
dargestellt werden kann, ergibt sich ein kombiniertes Schätz- und Prognoseproblem, das durch die Angabe der besten linearen unverzerrten Prognose (BLUP) gelöst werden kann. Diese führt dann zum Prognosewert
mit dem Schätzwert
für den unbekannten Parametervektor . Dabei ist eine ()-Matrix, bei der in der -ten Zeile der Vektor steht.
Beste lineare Prognose (BLP) Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers Die beste lineare Prognose beruht auf der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers
zwischen der Prognose und der nicht beobachteten Zufallsvariable . Dabei wird bei der Minimierung die Menge der zulässigen Funktionen auf lineare Funktionen der Form
beschränkt. Die sind die zufälligen Messungen an den Stellen , ist eine Konstante ist und die Koeffizienten sind Gewichte der einzelnen Messungen. Die Bildung des Erwartungswertes bezieht sich sowohl auf die Zufallsvariable als auch auf die Zufallsvariablen , die in eingehen.
Die Parameter der besten linearen Prognose im Sinn der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers sind die Komponenten der Minimalstelle mit der Eigenschaft
Sie hängen nur von der Erwartungswertfunktion und der Kovarianzfunktion des Zufallsfeldes ab. Für den Parametervektor gilt
und für den Parameter gilt . Aus den bekannten Parametern , , und können die Parameter und bestimmt werden.
Der Minimalwert des mittleren quadratischen Prognosefehlers ist mit . Bester linearer Prognoswert Für gegebene Messwerte als Realisierungen der Zufallsvariablen ist dann der Wert
der beste lineare Prognosewert für die Messung am Ort . Der beste lineare Prognosewert ist eine Realisierung der Zufallsvariablen
die als beste lineare Prognose bezeichnet wird. Der zufällige Prognosefehler (die zufällige Prognoseabweichung) hat den Erwartungswert 0 und die Varianz .
Anmerkungen Die obige Darstellung enthält die stillschweigend gemachte Voraussetzung, dass die Zufallsvariablen für jeweils eine endliche Varianz besitzen. Ohne diese Annahme, die beispielsweise für Cauchy-verteilte Zufallsvariablen verletzt ist, ist das Kriterium der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers nicht anwendbar. Es ist oben vorausgesetzt, dass die Kovarianzmatrix invertierbar ist und somit die Kovarianzmatrix nicht nur positiv semidefinit, sondern positiv definit ist. Falls die Kovarianzmatrix nicht invertierbar ist, ist für
zwar das Minimum, nicht aber die Minimalstelle eindeutig. Für zwei verschiedene minimierende Parametervektoren und gilt in diesem Fall
sodass zwar die Parameter nicht eindeutig sind, aber der prognostizierte Wert
eindeutig ist. Die beste lineare Prognose ist im Allgemeinen nicht die beste Prognose im Sinn der Minimierung des mittleren quadratischen Prognosefehlers, wenn für die Prognose allgemeinere nichtlineare Funktionen zugelassen werden. Eine Besonderheit ergibt sich im Spezialfall eines gaußschen Zufallsfelds. Bei dieser speziellen Verteilungsannahme ist die beste Prognose bezüglicher aller, auch nicht-linearer Funktionen, durch die beste lineare Prognose gegeben. In diesem Fall ist also die beste lineare Prognose zugleich die beste Prognose. Außerdem ist die bedingte Verteilung von gegeben eine univariate Normalverteilung mit den Parametern
und
Beste lineare unverzerrte Prognose (BLUP) Wenn für das Zufallsfeld die Erwartungswertfunktion und die Kovarianzfunktion bekannt sind, kann der beste lineare Prognosewert (BLP) für den Ort basierend auf Messwerten an den Orten einfach, wie im vorausgegangenen Abschnitt angegeben, berechnet werden.
Wenn aber, was eher typisch ist, die Erwartungswert- und Kovarianzfunktion teilweise unbekannt sind, sind verschiedene einschränkende Modellannahmen erforderlich, um die Zahl der unbekannten Parameter so zu senken, dass diese mit den vorhandenen Beobachtungen schätzbar sind. Es entsteht dann ein kombiniertes Schätz- und Prognoseproblem. Ein bestimmtes Verfahren, bei dem die unbekannten Parameter im Rahmen eines linearen Modellansatzes unverzerrt (erwartungstreu) geschätzt werden, heißt dann beste lineare unverzerrte Prognose (BLUP). Beispiel Ein einfaches Beispielmodell beruht auf den beiden folgenden stark vereinfachenden Annahmen: Die Erwartungswertfunktion ist konstant, d. h.
wobei der Parameter unbekannt ist. Die Kovarianzfunktion ist
wobei der Parameter bekannt ist. Dabei bezeichnet die euklidische Distanz zwischen den Orten und . Die Distanz kann zweidimensional in der Fläche, im dreidimensionalen Raum oder allgemeiner in einem -dimensionalen Raum gemessen werden, in dem die euklidische Distanz definiert ist. Die Korrelationsfunktion ist in diesem Fall durch
gegeben. Mit zunehmender Distanz nimmt die Korrelation ab. Mit abnehmender Distanz nähert sich die Korrelation dem Wert Eins. Da die Koordinaten der Orte als bekannt vorausgesetzt sind, können die Distanzen und damit die Werte der Kovarianzfunktion bestimmt werden. Parameterschätzung Im Beispielmodell gibt es den unbekannten Parameter . Da die beiden Parameter und zugleich der Erwartungswert und die Varianz der beobachtbaren Zufallsvariablen sind, also
gilt, scheint bei oberflächlicher Betrachtung ein Standardproblem der statistischen Schätztheorie vorzuliegen. Dies ist aber nicht der Fall, da bei Standardproblemen der statistischen Schätztheorie von stochastisch unabhängigen Beobachtungen ausgegangen wird. In diesem Beispiel sind aber alle Beobachtungspaare positiv korreliert, wobei die Korrelation für ein Paar durch gegeben ist.
Die Schätzung des Parameters aus gegebenen beobachteten Werten kann in diesem Modellzusammenhang mit Hilfe der verallgemeinerten Methode der kleinsten Quadrate erfolgen, die es ermöglicht, bei der Schätzung eine gegebene Korrelationsstruktur zwischen den beobachtbaren Variablen zu berücksichtigen. Im Fall unkorrelierter Variablen führt die gewöhnliche Methode der kleinsten Quadrate zu dem üblichen Schätzwert
für den Parameter . Dabei bezeichnet den Einsvektor der Dimension . Dagegen ergibt sich im hier vorliegenden Fall korrelierter Beobachtungen mit der verallgemeinerte Methode der kleinsten Quadrate der Schätzwert
für den Parameter , der im Allgemeinen nicht mit dem arithmetischen Mittelwert übereinstimmt. Das sich die Komponenten des Gewichtsvektors zu Eins addieren, wie man durch Rechtsmultiplikation mit dem Vektor unmittelbar verifiziert, handelt es sich um einen gewogenen arithmetischen Mittelwert der beobachteten Werte .
Im Spezialfall eines gaußschen Zufallsfeldes ist die multivariate Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen durch die Erwartungswertfunktion und die Kovarianzfunktion als multivariate Normalverteilung vollständig festgelegt, so dass es möglich ist, den Parameter bei gegebenen Werten durch die Maximum-Likelihood-Methode zu bestimmen.
Prognose Wäre der Parameter bekannt, so ergäbe sich der beste lineare Prognosewert für den Messwert , wie oben angegeben, als
wobei der mittlere quadratische Prognosefehler durch gegeben ist.