Eine Permutationsgruppe ist in der Gruppentheorie eine Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge mit der Hintereinanderausführung als Gruppenverknüpfung. Die Gruppe aller Permutationen von nennt man ihre symmetrische Gruppe . Die Permutationsgruppen sind in diesem Sinne genau die Untergruppen der symmetrischen Gruppen.
Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe, also zu einer Permutationsgruppe isomorph. Insofern „ist“ jede endliche Gruppe eine Permutationsgruppe. Sieht man die endliche Gruppe als abstrakte algebraische Struktur an, dann sagt man daher genauer: operiert als Permutationsgruppe auf der Menge . Damit wird deutlich, dass es sich bei dieser treuen Permutationsdarstellung um eine eindeutige Beschreibung der Gruppenstruktur handelt, neben der auch andere Beschreibungen möglich sind.
Definitionen Definition durch eine Gruppenoperation Sei eine Gruppe mit dem neutralen Element . operiert genau dann als Permutationsgruppe auf , wenn gilt:Artin (1993) ist eine endliche Menge. operiert auf , das bedeutet, dass eine Abbildung existiert, die den Regeln für alle gehorcht. Die Operation ist treu (engl.: faithfulBeth, Jungnickel, Lenz, Definition III.3.1), das heißt, es gilt: Ist für alle , dann folgt . Oder es gilt gleichwertig: für alle , dann folgt .
Eine Gruppenoperation, die nur die 2. und 3. Bedingung erfüllt, heißt treu. operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf , wenn die Operation treu und endlich ist. Eine Gruppenoperation, die nur die 1. und 2. Bedingung erfüllt, wird als Permutationsdarstellung (engl.: permutation representation) von bezeichnet. operiert also genau dann als Permutationsgruppe auf , wenn die Gruppenoperation eine treue Permutationsdarstellung ist.
Definition durch einen Gruppenhomomorphismus Gleichwertige Beschreibung: operiert genau dann als Permutationsgruppe auf , falls eine endliche Menge ist und ein injektiver Gruppenhomomorphismus existiert. Dabei ist , also die Menge aller bijektiven Selbstabbildungen der Menge . Bei dieser Beschreibung ist die Operation aus der ersten Definition durch gegeben, die Forderung der Injektivität ist gleichwertig zur Forderung, dass die Operation treu sei.
Man beachte, dass bei den hier genannten Definitionen für eine Permutationsgruppe nicht gesondert gefordert werden muss, dass die Gruppe endlich sei; dies ergibt sich aus der Endlichkeit von .
Isomorphie als Permutationsgruppen Für zwei Gruppen und , die auf zwei endlichen Mengen bzw. als Permutationsgruppen operieren, wird eine Verschärfung des Isomorphiebegriffs definiert: und heißen isomorph als Permutationsgruppen genau dann, wenn ein Gruppenisomorphismus und eine Bijektion existiert, so dass für alle gilt. Man kann zeigen, dass zwei Gruppen und , die auf derselben Menge treu operieren, genau dann als Permutationsgruppen isomorph sind, wenn ihre durch die Gruppenoperationen bestimmten Bildgruppen in der symmetrischen Gruppe konjugierte Untergruppen sind, das heißt, wenn sie durch Konjugation mit einem festen Gruppenelement aufeinander abgebildet werden können.
Semiregulär und regulär Wenn auf als Permutationsgruppe operiert, wird diese Operation genau dann semiregulär und semireguläre Permutationsgruppe genannt,Beth, Jungnickel, Lenz, Definition III.3.8: engl.: semiregular permutation group wenn das einzige Element von , das irgendein Element von fixiert, das Einselement von ist. Formal:
Die Operation heißt genau dann regulär und man nennt genau dann eine reguläre Permutationsgruppe auf , wenn die Operation semiregulär und transitiv ist. Die Operation heißt transitiv, wenn jedes Element von durch die Operation auf irgendein beliebiges Element von abgebildet werden kann. Formal: Siehe zu weiteren möglichen Transitivitätseigenschaften einer Permutationsgruppe Gruppenoperation#Transitive Gruppenoperation.
Wortgleich, aber mit Bedeutungsunterschied! In dem Begriff (links-)reguläre Darstellung und auch in dem auf Gruppen spezialisierten Sinn dieses Wortes, wie er im Artikel Satz von Cayley beschrieben ist, beschreibt regulär als Homonym eine Eigenschaft, die die hier beschriebene weder spezialisiert noch verallgemeinert! Die in Satz von Cayley beschriebene „spezielle reguläre Darstellung“, bei der die Gruppe via Linksmultiplikation auf sich selbst operiert, ist tatsächlich – vielleicht eher zufällig – eine, aber im Allgemeinen nicht die einzige „reguläre Permutationsdarstellung“ der Gruppe. Dieser Spezialfall wird bei den Beispielen in diesem Artikel erläutert.
Eigenschaften Die in diesem Abschnitt beschriebenen Eigenschaften finden sich in dem Lehrbuch Design Theory, das in der Literatur genannt ist.Beth, Jungnickel, Lenz Triviale Eigenschaften werden hier oder im Abschnitt Beispiele und Gegenbeispiele in diesem Artikel demonstriert. Jede endliche Gruppe lässt eine Darstellung als reguläre Permutationsgruppe zu. Eine solche Darstellung ist durch die „Linksmultiplikation“ der Gruppe auf sich gegeben, siehe bei den Beispielen. Für jede endliche Gruppe kann auf jeder beliebigen endlichen Menge eine Permutationsdarstellung als Gruppenoperation erklärt werden, man wähle etwa die triviale Operation . Eine treue Permutationsdarstellung erfordert jedoch eine von der Gruppenstruktur abhängige Mindestanzahl an Elementen. Dann existiert für jede natürliche Zahl , die nicht kleiner als ist, eine treue Permutationsdarstellung auf jeder Menge mit Elementen. Nur für die triviale Einsgruppe ist . Enthält die Gruppe ein Element der Ordnung , wobei eine Primzahlpotenz ist, dann ist . Speziell gilt dann nach dem Satz von Cauchy, einem Spezialfall eines der Sylowsätze: Teilt die Primzahl die Gruppenordnung, dann ist . → Im Abschnitt Minimale Permutationsdarstellungen aus dem Artikel zum Satz von Cayley wird die Frage nach der Größe von vertieft: Dabei sind mit minimalen Permutationsdarstellungen minimale reguläre Darstellungen als Permutationsgruppe im Sprachgebrauch des hiesigen Artikels gemeint. Sei eine Gruppe, eine Untergruppe. Wenn auf als Permutationsgruppe operiert, dann operiert auch über die auf diese Untergruppe eingeschränkte Operation als Permutationsgruppe auf . Ist die Operation von transitiv, dann ist es auch die von ; umgekehrt kann die Operation von transitiv sein, die eingeschränkte von aber nicht. Ist dagegen die Operation von semiregulär, dann ist es ebenso die von ; auch hier muss die Umkehrung nicht gelten.
Beispiele und Gegenbeispiele Die Ideen zu den in diesem Abschnitt genannten Beispiele finden sich dem Sinne nach in dem Lehrbuch Design Theory, das in der Literatur genannt ist.
Jede endliche Gruppe operiert auf sich selbst durch die Linksmultiplikation . Diese Operation ist treu und semiregulär (wegen der Kürzungsregel für Gruppen) und transitiv, also operiert jede endliche Gruppe via Linksmultiplikation als reguläre Permutationsgruppe auf der Menge ihrer Elemente und ist damit isomorph zu einer transitiven Untergruppe der symmetrischen Gruppe , wenn Elemente enthält. Die Rechtsmultiplikation führt im Allgemeinen zu einer anderen Einbettung der Gruppe in , außerdem muss dafür die Gruppenverknüpfung umgekehrt werden: , , damit die Rechtsmultiplikation den oben genannten Regeln (2.) für eine Operation von links genügt, oder die Regeln müssen für eine Operation von rechts sinngemäß umformuliert werden. Die zyklische Restklassengruppe operiert regulär durch die Linksaddition auf sich selbst und in der gleichen Weise auf den Resten . Die symmetrische Gruppe auf Elementen operiert in ihrer Ausgangsdarstellung auf treu und transitiv, aber nur für semiregulär. Auf sich selbst operiert sie aber mit der Linksmultiplikation als reguläre Permutationsgruppe. Eine endliche Gruppe operiert auf sich selbst auch durch Konjugation . Diese Operation ist aber im Allgemeinen nicht treu. Jede endliche, nichtkommutative, einfache Gruppe operiert jedoch via Konjugation als Permutationsgruppe (also treu) auf sich selbst. Die lineare Gruppe ( Primzahlpotenz) operiert als Permutationsgruppe auf . ist die endliche Menge der Vektoren in dem -dimensionalen Vektorraum über dem endlichen Körper mit Elementen. Die Operation ist transitiv auf , aber im Allgemeinen nicht semiregulär. Sind ein echter linearer Teilraum von und die Untergruppe, die als Ganzes auf sich selbst abbildet, dann operiert transitiv, aber nicht als Permutationsgruppe auf , denn die Operation ist nicht treu. Dagegen operiert die Faktorgruppe , wobei die Untergruppe von und ist, die jedes einzelne Element von fixiert, in natürlicher Weise transitiv als Permutationsgruppe auf . Für einen unendlichen Körper (zum Beispiel ) operiert zwar treu und transitiv, aber nicht als Permutationsgruppe auf , denn ist nicht endlich. Sei die Kleinsche Vierergruppe als Untergruppe der symmetrischen Gruppe . operiert als reguläre Permutationsgruppe auf . Die Gruppe enthält drei weitere, zu isomorphe Untergruppen, z. B. . Da , wie hier definiert, semiregulär auf operiert, dagegen nicht und weil die Bahn von bei der Operation von nur zwei Elemente enthält, sind die beiden Untergruppen nicht als Permutationsgruppen auf isomorph. Dagegen ist zu den anderen beiden (von verschiedenen!) Gruppen, die von zwei disjunkten Transpositionen erzeugt werden, isomorph als Permutationsgruppe. Die Untergruppe ist wie transitiv, aber ist im Gegensatz zu nicht semiregulär. Die zyklische Gruppe mit sechs Elementen operiert als reguläre Permutationsgruppe via Linksmultiplikation auf sich selbst, das entspricht ihrer üblichen Permutationsdarstellung auf . Sie operiert aber auch als Permutationsgruppe auf der Menge , hier aber nicht transitiv und nicht semiregulär. Die Zahl ist für diese Gruppe die Mindestmächtigkeit für eine Menge, auf der als Permutationsgruppe operiert. Die eingeschränkte Operation von ist semiregulär, aber nicht transitiv. Die zyklische Gruppe mit drei Elementen operiert regulär auf , ihre Permutationsdarstellung kann als Einschränkung der Operation der symmetrischen Gruppe , deren Untergruppe ist, angesehen werden. Aber operiert auf zwar transitiv, aber nicht semiregulär.
Endliche Symmetriegruppen In der Geometrie treten viele Gruppen auf, die dadurch definiert sind, dass sie eine geometrische Figur als Ganzes auf sich abbilden. Zum Beispiel ist die Gruppe der Bewegungen des dreidimensionalen Anschauungsraums, die den Einheitswürfel (aufgespannt von den drei Standardbasisvektoren) als Ganzes auf sich abbilden, eine typische Symmetriegruppe. Die Symmetriegruppe eines (nichtentartetenDas bedeutet hier: Keine drei Eckpunkte liegen auf derselben Geraden und die Menge aller Eckpunkte liegt nicht in einer gemeinsamen Ebene) Polyeders im Anschauungsraum operiert als Permutationsgruppe auf der (endlichen!) Menge der Eckpunkte des Polyeders. Die Symmetriegruppe einer Kugel im Anschauungsraum operiert transitiv auf der Menge der Punkte auf der Kugeloberfläche, aber auf keiner Menge als Permutationsgruppe: Weil die Operation auf transitiv ist, lässt sie sich nicht für die ganze Symmetriegruppe auf eine endliche Punktmenge beschränken. Dagegen kann die Symmetriegruppe des Einheitswürfels als Untergruppe von aufgefasst werden, wenn man als Kugel die dem Würfel umbeschriebene Kugel wählt, also die Kugel durch alle Eckpunkte des Würfels. Die Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks in der reellen Ebene operiert als transitive Permutationsgruppe, aber nicht semiregulär auf der Menge der Eckpunkte des Dreiecks. Allgemeiner operiert die Symmetriegruppe eines regelmäßigen -Ecks () in der Ebene als transitive, nicht semireguläre Permutationsgruppe auf der Menge der Eckpunkte des -Ecks. Diese Beschreibung kann für als Definition der Diedergruppe (als Untergruppe der symmetrischen Gruppe ) benutzt werden.