Koch-Kurve

mini|links|221px|Dreidimensionale „Koch-Kurve“ nach zwei Iterationsschrittenmini|220px|Kochsche Schneeflocke, Konstruktion. Die Koch-Kurve oder kochsche Kurve ist ein von dem schwedischen Mathematiker Helge von Koch 1904 vorgestelltes Beispiel für eine überall stetige, aber nirgends differenzierbare Kurve. Es handelt sich bei ihr ferner um eines der ersten formal beschriebenen fraktalen Objekte. Die Koch-Kurve ist eines der am häufigsten zitierten Beispiele für ein Fraktal und wurde bei der Entdeckung als Monsterkurve bezeichnet. Die Koch-Kurve ist auch in Form der kochschen Schneeflocke bekannt, die durch geeignete Kombination dreier Koch-Kurven entsteht. Die Kurve taucht in von Kochs Artikeln nicht in ihrer Schneeflockenform auf. Ihr Erfinder scheint der Mathematiker Edward Kasner gewesen zu sein.

Konstruktion Man kann die Kurve anschaulich mittels eines iterativen Prozesses konstruieren (siehe Lindenmayer-System). Zu Beginn besteht die Kurve aus einem einzigen Streckenstück. Die Iteration besteht nun darin, dass dieser Streckenabschnitt durch einen anderen, aus 4 gleich langen Strecken bestehenden Streckenabschnitt ersetzt wird. Die Winkel zwischen diesen Strecken betragen 240°, 60° und 240°. Jeder der 4 neuen Streckenabschnitte hat der Länge des ursprünglichen Streckenabschnitts. Im nächsten Schritt wird jeder der 4 Streckenabschnitte durch einen Streckenabschnitt der oberen Art ersetzt.

hochkant=2.0|Iteration einer Koch-Kurve

Diese Iteration wird nun beliebig oft wiederholt, wobei die Dreiecke stets zur selben Seite der Kurve hin zu errichten sind. Auf diese Weise ergibt sich eine Folge von Streckenzügen, die gegen die Koch-Kurve strebt.

Graphische Darstellung der Konstruktion Die ersten drei Iterationen der Konstruktion sehen so aus:600px

Nach fünf Iterationen ergibt sich folgendes Bild:

600px

Dieses Konstruktionsprinzip, bei dem iterativ jede Teilstrecke durch einen Streckenzug ersetzt wird, lässt sich auch für die Erzeugung anderer fraktaler Kurven verwenden. So wird es beispielsweise bei der Drachenkurve eingesetzt.

Das Konstruktionsprinzip ist eng verwandt mit dem der Erzeugung der Cantor-Menge, welche man erhält, wenn man das mittlere Drittel der Strecke nicht ersetzt, sondern entfernt.

Lindenmayer-System

Die Koch-Kurve lässt sich durch ein Lindenmayer-System mit folgenden Eigenschaften beschreiben:

Winkel: 60° Startstring: Ableitungsregeln:

Wählt man als Startstring (ein gleichseitiges Dreieck), so erhält man die kochsche Schneeflocke.

Definition des Grenzwerts Der Grenzwert dieser Iteration (z. B. als IFS-Fraktal), die eigentliche Koch-Kurve, ist in gewissem Sinne unendlich fein strukturiert und kann daher nur näherungsweise grafisch dargestellt werden. In diesem Fall lässt sich der Grenzwert einfach wie folgt definieren: Zum Grenzwert der Iteration gehören diejenigen Punkte, die von irgendeinem Iterationsschritt an in allen folgenden Iterationen enthalten sind, sowie alle Häufungspunkte der so gebildeten Punktmenge. Der linke Endpunkt des anfänglichen Streckenstücks ist beispielsweise in jeder Iteration enthalten und gehört damit zur Koch-Kurve. Der Mittelpunkt des anfänglichen Streckenstücks hingegen ist schon ab der ersten Iteration nicht mehr enthalten. Eine andere gleichbedeutende Grenzwertdefinition ist weiter unten durch die Parameterdarstellung gegeben.

Alternative Definitionen mini|hochkant= 0.9|Bild 2: Koch-Kurve, alternative Definition, 3 Iterationsschritte mini|hochkant= 0.9|Bild 1: Koch-Kurve, alternative Definition, 2 Iterationsschritte

Der iterative Prozess für die Koch-Kurve kann auch auf andere Weise definiert werden: Begonnen wird mit einer einzigen Strecke (Bild 1). Auf dem mittleren Abschnitt jeder Teilstrecke wird ein regelmäßiges Sechseck aufgesetzt, dessen Seitenlänge der Länge der Strecke beträgt. Für einige Teilstrecken ergibt sich dabei das gleiche regelmäßige Sechseck. Die dadurch entstehende Fläche ist die Fläche unterhalb der Koch-Kurve.Stack Exchange Inc.: Area of Generalized Koch Snowflake Die Startfigur ist ein regelmäßiges Sechseck (Bild 2). Jede Teilstrecke wird durch einen anderen, aus vier gleich langen Strecken bestehenden Streckenabschnitt ersetzt, wobei die Strecken die Winkel 120°, 300° und 120° bilden. Diese Streckenabschnitte sind also genauso definiert wie bei der oben beschriebenen Konstruktion mit dem Unterschied, dass der zweite und dritte Streckenabschnitt nach innen gerichtet ist. Ist die Seitenlänge des regelmäßigen Sechsecks, dann hat es den Flächeninhalt . Der Flächeninhalt der sechs gleichseitigen Dreiecke, die beim ersten Iterationsschritt abgezogen werden, beträgt zusammen . Mit jedem Schritt vervierfacht sich die Anzahl der abgezogenen Dreiecke, während der Flächeninhalt um den Faktor kleiner wird. Der Flächeninhalt der abgezogenen Dreiecke wird also mit jedem Schritt um den Faktor kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt also . Mithilfe der geometrischen Reihe ergibt sich, dass der gesamte Flächeninhalt dieser Dreiecke für eine sehr große Anzahl von Schritten sich dem Grenzwert nähert. Der Flächeninhalt innerhalb des Streckenzugs nähert sich also dem Grenzwert . Als Fläche ergibt sich die kochsche Schneeflocke. mini|hochkant=1.5|Bild 3: Koch-Kurve, alternative Definition,Dreieck 30°, 30° und 120°, fünf Iterationsschritte Die Startfigur ist ein gleichschenkliges Dreieck mit den Innenwinkeln 30°, 30° und 120° (Bild 3). Aus diesem Dreieck wird ein gleichseitiges Dreieck herausgeschnitten, dessen Seitenlänge der längsten Seite des gleichschenkligen Dreiecks ist. Dabei entstehen zwei neue gleichschenklige Dreiecke mit der Seitenlängen. Mit jedem Iterationsschritt werden wiederum gleichseitige Dreiecke aus jedem gleichschenkligen Teildreieck herausgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt um den Faktor verringert. Die übrigbleibende Fläche nähert sich dabei der Koch-Kurve an.

Eigenschaften Eigenschaften aus der fraktalen Geometrie Die Koch-Kurve ist nach ihrer Konstruktionsvorschrift streng selbstähnlich, das heißt, es erscheinen bei beliebiger Vergrößerung immer wieder die gleichen Strukturen. Sie hat eine Hausdorff-Dimension von

Länge und Flächeninhalt Die Länge der ursprünglichen Strecke, die die beiden Enden der Kurve verbindet, sei .

Bei jedem Iterationsschritt wird jede Strecke des Streckenzugs durch vier Strecken mit der Streckenlänge ersetzt. Die Kurve wird also mit jedem Iterationsschritt um den Faktor länger. Nach dem Iterationsschritt ist die Kurvenlänge also um den Faktor angewachsen und beträgt . Wegen divergiert die Kurvenlänge, d. h., sie geht gegen unendlich.

Die Fläche unterhalb der Kurve ist hingegen begrenzt, d. h., der Flächeninhalt konvergiert. Das gleichseitige Dreieck, das nach dem ersten Iterationsschritt hinzukommt, hat den Flächeninhalt . Mit jedem Schritt vervierfacht sich die Anzahl der hinzugefügten Dreiecke, während der Flächeninhalt um den Faktor kleiner wird. Der Flächeninhalt der hinzugefügten Dreiecke wird also mit jedem Schritt um den Faktor kleiner, beträgt nach dem Iterationsschritt also . Der gesamte Flächeninhalt nach dem Iterationsschritt unterhalb der Kurve berechnet sich mithilfe der geometrische Reihe zu . Für eine sehr große Anzahl von Schritten nähert sich dieser Flächeninhalt dem Grenzwert . Bei der kochschen Schneeflocke werden die drei Seiten eines gleichseitige Dreiecks mit der Seitenlänge durch die Koch-Kurve ersetzt. Der Flächeninhalt, der von der kochschen Schneeflocke eingeschlossen wird, ergibt sich also, indem man das Dreifache des Flächeninhalts unterhalb der Koch-Kurve zum Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks addiert:Go Figure: Koch Snowflake Area

Stetigkeit und Differenzierbarkeit Die Kurve ist überall stetig, aber nirgends differenzierbar.

Zur Untersuchung dieser Eigenschaften betrachtet man die Parameterdarstellung des Iterationsschritts und deren Grenzfunktion . Wenn man als Zeitpunkt auffasst, ist derjenige Punkt auf dem Streckenzug nach dem Iterationsschritt , den man zum Zeitpunkt erreicht, wenn man den Streckenzug mit konstanter Geschwindigkeit (allerdings mit abrupten Richtungsänderungen) vom linken zum rechten Endpunkt durchläuft. Die Funktionen sind alle stetig und konvergieren punktweise gegen die Grenzfunktion .

Stellt man den Zeitpunkt in einer Entwicklung zur Basis 4 dar, d. h. mit den Ziffern 0, 1, 2, 3, dann gibt die erste Nachkommastelle den Abschnitt des ersten Konstruktionsschrittes an, auf welchem sich befindet, die zweite den Unterabschnitt auf diesem im zweiten Konstruktionsschritt usw. Dadurch kann man mit den ersten Nachkommastellen ein Gebiet der Größenordnung konstruieren, in welchem sich alle nachfolgenden Punkte aufhalten müssen. Aus dieser Eigenschaft folgt, dass die Funktionen sogar gleichmäßig gegen konvergieren. Nach einem Satz der Analysis ist als „gleichmäßiger Limes stetiger Funktionen“ dann ebenfalls stetig.

In jedem noch so kleinen Abschnitt der Kurve finden sich nach der Konstruktion Teilstücke, die eine Richtung für jedes haben. Daher kann man zu keinem Punkt der Kurve eine Tangente konstruieren, d. h., die Kurve ist nirgends differenzierbar.

Kochsche Schneeflocke Beginnt man den Ersetzungsprozess der Koch-Kurve nicht mit einer Strecke, sondern mit einem gleichseitigen Dreieck, dann erhält man die kochsche Schneeflocke. Sie besteht aus drei Koch-Kurven und schließt trotz ihrer unendlichen Länge nur einen Bereich mit endlicher Fläche ein. Die kochsche Schneeflocke ist im Gegensatz zur Koch-Kurve nicht selbstähnlich. Sie ist spiegelsymmetrisch, punktsymmetrisch und drehsymmetrisch. mini|Parkettierung der euklidischen Ebene mit kochschen Schneeflocken mit zwei verschiedenen Größen mini|220px|Kochsche Schneeflocke, Animation.mini|163px|Kochsche Schneeflocke

Parkettierungen Die euklidische Ebene kann mit kochschen Schneeflocken mit zwei verschiedenen Größen parkettiert werden (siehe Abbildung). Diese Parkettierung ist periodisch, spiegelsymmetrisch, punktsymmetrisch, drehsymmetrisch und translationssymmetrisch.

Dabei sind die Abmessungen der großen Schneeflocken um den Faktor größer als die kleinen Schneeflocken. Der Flächeninhalt ist also 3-mal so groß.

Es ist möglich, eine kochsche Schneeflocke in 6 Schneeflocken mit des Flächeninhalts und 1 Schneeflocke mit des Flächeninhalts zu zerlegen. Daher gibt es auch Parkettierungen mit kochschen Schneeflocken, die mehr als zwei verschiedene Größen haben.

Anwendung Ein Beispiel ist die Fraktalantenne

Verallgemeinerungen Die kochsche Schneeflocke kann auch mithilfe eines Hexagramms definiert werden. Startfigur ist dann ein Hexagramm. Mit jedem Iterationsschritt wird jeder Streckenabschnitt durch einen aus 4 gleich langen Strecken bestehenden Streckenabschnitt mit den Winkeln , und ersetzt. Als Verallgemeinerung kann als Startfigur ein -Stern genommen werden. Dabei bezeichnet das Schläfli-Symbol. Dann wird mit jedem Iterationsschritt jeder Streckenabschnitt durch einen aus 4 gleich langen Strecken bestehenden Streckenabschnitt mit den Winkeln , und ersetzt.

mini|hochkant=1|Bild 6: Verallgemeinerung, kochsche Schneeflocke, Startfigur Achtort (0, hellblau) mit 2 Iterationsschritten.mini|hochkant=1|Bild 5: Verallgemeinerung, kochsche Schneeflocke, Startfigur Pentagramm (0, hellblau) mit 3 Iterationsschritten.mini|hochkant=1|Bild 4: Ausschnitt einer verallgemeinerten kochschen Schneeflocke. Für den Fall ist die Startfigur ein Pentagramm und die Winkel zwischen den Strecken betragen , und .

Die Animation (Bild 4) zeigt einen Ausschnitt der kochschen Schneeflocke für . In der nächsten Darstellung (Bild 5) sind auf einer Zacke der Startfigur (0, hellblau) die drei ausgeführten Iterationsschritte farbig hervorgehoben: 1. Iterationsschritt (goldgelb), 2. Iterationsschritt (grün) und 3. Iterationsschritt (rot).

Der Flächeninhalt dieser verallgemeinerten kochschen Schneeflocke beträgt , wobei die Seitenlänge des Pentagramms bezeichnet.Stack Exchange Inc.: Area fractal pentagrams