mini|Daniel Ellsberg an der Georgetown University, 2014
Bei dem Ellsberg-Paradoxon handelt es sich um ein Paradoxon aus der Entscheidungstheorie, bei dem Entscheidungen die Postulate der (subjektiven) Erwartungsnutzen-Theorie (subjective expected utility – SEU) verletzen, die in weiten Teilen der Ökonomie nicht nur als normative Basis für Entscheidungen gesehen wird, sondern auch als Grundlage von deskriptiven Modellen dient.Vgl. Homo oeconomicusEconomist - IRRATIONALITY Rethinking thinking Dec 16th 1999Economist, Behaviourists at the gates; May 8th 2003 Ein solches Wahlverhalten lässt sich generell nicht als eine zugrunde liegende einzelne Wahrscheinlichkeitsverteilung auffassenJ. Eichberger et al.: Ambiguity and social interaction. In: Oxford Economic Papers. Nr. 61, 2009, S. 355–379. und ist somit insbesondere nicht durch Risikoeinstellungen (Risikoaversion, -neutralität oder -affinität) erklärbar. Daniel Ellsberg trifft deswegen die zusätzliche Unterscheidung zwischen Risiko und Ungewissheit (im Original ambiguity).D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 643–669. Ein wichtiges Resultat des Experiments ist, dass Menschen häufig ein Risiko – dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung bekannt ist – einer Situation von Ungewissheit vorziehen, selbst wenn die wahrgenommenen Wahrscheinlichkeiten konstant gehalten werden.C. Camerer und M. Weber: Recent Developments in Modeling Preferences: Uncertainty and Ambiguity. In: Journal of Risk and Uncertainty. Nr. 5, 1992, S. 325,360.
Historischer Hintergrund Sowohl John Maynard Keynes als auch Frank Knight setzen sich bereits in den 1920er-Jahren mit dem Konzept von Ungewissheit auseinander.
So schreibt F.H. Knight:
Außerdem wird häufig angeführt, dass die Konzepte, die Keynes 1921 in seiner A Treatise on Probability entwickelt, sehr eng mit der Kritik am SEU Modell, die Ellsberg formuliert, verwandt sind. Unter anderem führt er dort ein Konzept von Ungewissheit ein, die er als non-comparable probabilities bezeichnet.A. Feduzi: On the relationship between Keynes’s conception of evidential weight and the Ellsberg paradox. In: Journal of Economic Psychology. Nr. 28, 2007, S. 545–565.
Abgrenzung zwischen Risiko, Unsicherheit und Ungewissheit mini|hochkant=3|Veranschaulichung für verschiedene Entscheidungssituationen generell: von links nach rechts: (1) Eine mit gelben Bällen gefüllte Urne steht für Entscheidung unter Sicherheit; (2) Eine mit gelben und grünen Bällen gefüllte Urne steht für Entscheidung unter Risiko; (3) Eine mit gelben, grünen und einem schwarzen Ball gefüllte Urne steht für „Black swan“; (4) Eine mit grauen, einem gelben und einem grünen Ball gefüllte Urne steht für Entscheidung unter Ungewissheit (Knightian uncertainty); und (5) Eine nur mit grauen Bällen gefüllte Urne steht für radikale Ungewissheit (Radical Uncertainty). Bei (1) und (2) Sind jeweils mögliche Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten bekannt, während bei (4) nur die möglichen Ergebnisse aber keine Wahrscheinlichkeiten bekannt sind. Bei (3) enthält die Urne ein extrem folgenschweres Ergebnis, das entweder extrem gut ('Diamant') oder extrem schlecht sein kann ('Bombe'). Bei (5) sind weder mögliche Realisationen noch Wahrscheinlichkeiten bekannt. Wobei (4) und (5) Entscheidungen unter Ambiguität darstellen.
In der realen Welt müssen Menschen Entscheidungen in ganz unterschiedlichen Situationen treffen. Schon Knight unterscheidet zwischen (i) a priori Wahrscheinlichkeiten, die in Zufallsspielen logisch hergeleitet werden können; (ii) Statistischen Wahrscheinlichkeiten, die aus empirischen Daten gewonnen werden; und (iii) Vorhersagen in Situationen, in denen es keinerlei Basis für irgendeine Art der Klassifizierung gibt. Daran angelehnt können verschiedene Szenarien von Sicherheit/Risiko/Ungewissheit(Ambiguität) unterschieden werden.B. Meder et al.: Decision making in uncertain times: what can cognitive and decision sciences say about or learn from economic crises? In: Trends in Cognitive Sciences. Vol. 17, Nr. 6, 2013, S. 257–260.
Das Ellsberg-Experiment beinhaltet dabei sowohl Risiko (die Urne bzw. Farben deren Verteilung bekannt ist) als auch Ungewissheit/Ambiguität („Knightian uncertainty“ – die Urne bzw. die Farben deren Verteilung nicht bekannt ist).
Subjektive Erwartungsnutzen-Theorie Häufig erscheint es plausibel, dass aus Wetten von Agenten bzgl. verschiedener Lotterien direkt deren (subjektive) Wahrscheinlichkeitsverteilungen ableitbar sind, dabei unterstellt man allerdings automatisch, dass diese rational im Rahmen einer (subjektive) Erwartungsnutzen-Theorie (subjective expected utility – SEU) agieren. Das bedeutet insbesondere, man unterstellt, dass zwischen Ereignissen zumindest eine „qualitative Wahrscheinlichkeitsbeziehung“ vorliegt. mini|hochkant=2.5|Diagramm Wahrscheinlichkeitsbeziehung
Damit eine Beziehung 15px zwischen Ereignissen die Eigenschaften einer „qualitativen Wahrscheinlichkeitsbeziehung“ hat, müssen insbesondere folgende Bedingungen erfüllt sein:D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 648. ( und bezeichnen die Komplemente zu α und β) 15px ordnet alle Ereignisse; für zwei Ereignisse α und β gilt: Entweder ist α „nicht weniger wahrscheinlich“ als β oder β ist „nicht weniger wahrscheinlich als“ α; und falls α ≥ β und β ≥ γ ⇒ α ≥ γ Wenn α wahrscheinlicher als β ist ⇒ ist weniger wahrscheinlich als ; falls α gleich wahrscheinlich wie ist und β gleich wahrscheinlich wie ist ⇒ α ist gleich wahrscheinlich wie β Schließen sich α und γ gegenseitig aus und β und γ ebenfalls (α ∩ γ = β ∩ γ = 0), und gilt gleichzeitig α ist wahrscheinlicher als β ⇒ Die Vereinigung (α ∪ γ) ist wahrscheinlicher als (β ∪ γ)
Um nun von den Entscheidungen der Agenten (Aktionen) auf eine zugrunde liegende „qualitative Wahrscheinlichkeitsbeziehung“ bzgl. der Ereignisse schließen zu können, muss die Beziehung ≿ zwischen den Aktionen einigen axiomatischen Beschränkungen unterliegen. Ein solches System sind die Savage Postulate, wobei die wichtigsten Folgende sind:M. J. Machina und D. Schmeidler: A More Robust Definition of Subjective Probability. In: Econometrica. Vol. 60, Nr. 4, 1992, S. 749 f.I. Gilboa et al.: Theory of Decision under Uncertainty. Cambridge: Cambridge university press., 2009, S. 97 ff.
P1 (Ordering): Die Beziehung ≿ ist vollständig, reflexiv und transitiv. P2 (Sure-Thing Principle): Die Präferenzordnung zwischen zwei Aktionen f und f*, hängt nur von Werten von f und f* ab, in denen sie sich unterscheiden. Das heißt für zwei Aktionen f und f*, die sich nur bei einem speziellen Ereignis E unterscheiden und ansonsten gleich sind, ist für den Vergleich irrelevant, welche Werte diese außerhalb von E annehmen.
P3 (Eventwise Monotonicity): Gegeben sei eine Aktion, die im Falle von (dem nichtleeren) Ereignis E immer das Ergebnis x erzielt. Wenn diese Aktion nun so geändert wird, dass sie im Falle von E immer das Ergebnis y erzielt, dann sollte die Präferenz zwischen den beiden Aktionen genau der Präferenz zwischen den Ergebnissen x und y entsprechen (oder genauer gesagt: Der Ordnung der konstanten Funktionen, die x bzw. y erzielen).
P4 (Weak Comparative Probability): P4 dient dazu, eine (qualitative) Rangfolge von Ereignissen zu etablieren. Gegeben die Ergebnisse x*≻x und y*≻y, dann gilt für alle Ereignisse A und B: ( und bezeichnen die Komplemente zu A und B)
Ellsberg-Experiment Das Ellsberg-Paradoxon geht auf die von Daniel Ellsberg 1961 veröffentlichte Arbeit „Risk, ambiguity and the Savage axioms“ zurück. Dort stellt er zwei Versionen eines Urnenexperiments vor, die beide zur Schlussfolgerung kommen, dass Menschen in den meisten Situationen Ungewissheits-Aversion zeigen.
2-Farben-Version mini|hochkant=1.5|Das Ellsberg-Experiment: Die 2-Farben-Version Links: Urne1, Rechts Urne2
Der Aufbau ist folgender: Es gibt zwei Urnen, die jeweils genau 100 Kugeln enthalten. In Urne1 befinden sich – vom Agenten nachprüfbar – genau 50 rote und 50 schwarze Kugeln. In Urne2 befinden sich ebenfalls 100 Kugeln, allerdings ist die Verteilung zwischen Schwarz und Rot unbekannt; sie kann also jede beliebige Kombination enthalten, von (100 Rot2 & 0 Schwarz2) bis (0 Rot2 & 100 Schwarz2) inklusive aller dazwischenliegenden Verteilungen. Die folgenden Aktionen werden dem Agenten (nacheinander) angeboten: Wette auf Rot1 oder Schwarz1 oder indifferent? Wette auf Rot2 oder Schwarz2 oder indifferent? Wette auf Rot1 oder Rot2 oder indifferent? Wette auf Schwarz1 oder Schwarz2 oder indifferent? Wobei Rot1 einer (zufällig gezogenen) roten Kugel aus Urne1 entspricht und Schwarz2 einer (zufällig gezogenen) schwarzen Kugel aus Urne2.
Das typische Antwortmuster, das sich dabei ergibt lautet (Set1): Im Fall 1 und 2 Indifferenz. Im Fall 3: Rot1 wird gegenüber Rot2 bevorzugt und im Fall 4: Schwarz1 wird gegenüber Schwarz2 bevorzugt.
Es gibt auch das (wesentlich seltenere) Muster, bei dem Fall 3 und Fall 4 jeweils genau umgekehrt als in Set1 beantwortet werden (Set2). Im Fall 3: Rot2 wird gegenüber Rot1 bevorzugt und im Fall 4: Schwarz2 wird gegenüber Schwarz1 bevorzugt.
Darüber hinaus gibt es ein drittes Muster, bei dem Indifferenz über alle Antwortmöglichkeiten besteht (Set3). Weitere Antwortmuster sind möglich, allerdings noch seltener. Letzteres (Set3) ist auch das Einzige, – gegeben Fall 1 & 2 Indifferenz – das konsistent mit den Savage Axiomen bzw. SEU allgemein ist. Sowohl Set1 als auch Set2 verletzen Axiome, die notwendig sind, um aus den Antworten eine SEU abzuleiten, wobei Set1 den (typischen) Fall von Ungewissheitsaversion und Set2 den (wesentlich selteneren) Fall von Ungewissheitsaffinität darstellt. Um den Widerspruch zu verstehen, nehmen wir an, dass wir uns in Set2 befinden: Ein Beobachter, der die Savage-Axiome zugrunde legt, würde aus der Wahl in Fall 3: Rot1 ≺ Rot2 schließen, dass wir Rot2 als wahrscheinlicher als Rot1 erachten. Gleichzeitig bevorzugen wir aber auch Schwarz2 gegenüber Schwarz1, woraus folgen würde, dass wir Schwarz2 als wahrscheinlicher als Schwarz1 ansehen. Da aber in unserem Experiment Schwarz1 genau (Komplement Rot1) und Schwarz2 genau (Komplement Rot2) entspricht, würde das bedeuten, dass wir Rot2 für wahrscheinlicher als Rot1 und gleichzeitig als wahrscheinlicher als erachten. Dies ist aber ein offensichtlicher Widerspruch.D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 650 ff.
3-Farben-Version Eine andere Version des Ellsberg-Experiments ist folgende:D. Ellsberg: Risk, ambiguity and the Savage axioms In: Quarterly Journal of Economics Vol. 75, Nr. 4, 1961, S. 654 f. mini|Das Ellsberg-Experiment: Die 3-Farben-Version In einer Urne befinden sich 30 rote und 60 Kugeln, die schwarz und gelb sind, allerdings ist die Verteilung zwischen Schwarz und Gelb unbekannt. Es wird eine Kugel zufällig aus der Urne gezogen. Nun muss wieder zwischen den folgenden Aktionen paarweise gewählt werden: Zuerst 30 60 Rot Schwarz Gelb Aktion I 100 € 0 € 0 € Aktion II 0 € 100 € 0 €
Der Agent hat die Wahl zwischen Aktion I (Wette auf Rot), oder Aktion II (Wette auf Schwarz).
Und anschließend unter denselben Bedingungen: 30 60 Rot Schwarz Gelb Aktion III 100 € 0 € 100 € Aktion IV 0 € 100 € 100 €
Der Agent kann zwischen Aktion III (Wette auf Rot oder Gelb) oder Aktion IV (Wette auf Schwarz oder Gelb) wählen
Auch hier ergibt sich als typisches Antwortmuster (Set1): Aktion I wird Aktion II bevorzugt und Aktion IV wird Aktion III bevorzugt
Wesentlich seltener gibt es das gegenteilige Muster (Set2): Aktion II wird Aktion I bevorzugt und Aktion III wird Aktion IV bevorzugt.