Eine Nutzenfunktion ist in der Wirtschaftswissenschaft und insbesondere der Mikroökonomie eine mathematische Funktion, die Präferenzen von Wirtschaftssubjekten beschreibt. Sie ordnet beliebigen Güterbündeln jeweils eine reelle Zahl zu, und zwar in der Weise, dass höher geschätzte Güterbündel größere Zahlen erhalten. Die zugeordneten Zahlen heißen Nutzen der jeweiligen Güterbündel.
In der mikroökonomischen Theorie beinhalten Nutzenfunktionen nur Aussagen über die Rangordnung: Liefert ein Güterbündel einen höheren Nutzen als ein anderes, so darf daraus lediglich gefolgert werden, dass ersteres aus Sicht des betreffenden Wirtschaftssubjekts „besser“ als letzteres ist; wie groß der Abstand zwischen den Zahlen ist, hat dabei keinerlei Bedeutung. Man bezeichnet derartige Nutzenfunktionen auch als ordinale Nutzenfunktionen, weil sie lediglich eine Ordnung der Güterbündel vorgeben. Das Konzept der ordinalen Nutzenfunktion basiert auf einem anderen theoretischen Fundament als die so genannten kardinalen Nutzenfunktionen, bei denen auch der Unterschied zwischen dem Nutzenwert zweier Güter interpretierbar ist.Vgl. Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny 2011, S. 17.
Das Konzept der Nutzenfunktion wird sowohl unmittelbar in der Mikroökonomie als auch im Kontext makroökonomischer Fragestellungen eingesetzt.
Das Ziel der Nutzenmaximierung wird oft als handlungsbestimmendes Streben der Konsumenten angenommen (vgl. Homo oeconomicus). Ein alternatives Ziel wäre das Satisficing (eine Anspruchserfüllung).
Definition Im Folgenden wird jeweils von lediglich ordinaler Messbarkeit des Nutzens ausgegangen und die Nutzenfunktion wird so eingeführt, wie sie in der Haushaltstheorie konstruiert wird.
Illustrative Definition im Zwei-Güter-Fall mini|hochkant=2.5|Nutzenfunktion im Zwei-Güter-Fall (hier: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion, siehe unten). Beschränkt man zunächst zur Vereinfachung den Umfang der Güterbündel auf zwei Güter, so kann man sich beispielsweise ein Güterbündel A vorstellen, das sich aus zwei Güterarten zusammensetzt: Kiwi (Gut 1) und Kirschen (Gut 2). In Güterbündel A sei nun eine gewisse Menge Kiwi – bezeichnet mit – und eine gewisse Menge Kirschen – bezeichnet mit enthalten; man schreibt für dieses Güterbündel kurz . Analog stellt man sich ein zweites Güterbündel B aus Kiwi und Kirschen vor, das entsprechend durch dargestellt ist. Mit konkreten Werten kann man sich beispielsweise vorstellen, dass , das heißt in Güterbündel A sind zwei Kiwi und sechs Kirschen enthalten, während . Nimmt man wie üblich an, dass die Präferenzen monoton sind (salopp: „mehr ist besser“), sollte der Haushalt B gegenüber A vorziehen. Es gibt unendlich viele Nutzenfunktionen, die die Präferenzen abbilden können, da sie ja lediglich sicherstellen müssen, dass der Funktionswert an der Stelle größer ist als der an der Stelle . Beispielsweise könnte man eine Funktion verwenden, mit der und . Auch negative Werte sind möglich: Sei eine andere Nutzenfunktion und bzw. , dann ist auch diese Nutzenfunktion konsistent mit den Präferenzen des Haushalts.
Analog müssen Güterkombinationen, die der Haushalt gleich gerne mag, auch gleiche Nutzenwerte erhalten. Wenn zum Beispiel das Güterbündel als gleich gut empfunden wird wie das Güterbündel , dann muss auch für jede Nutzenfunktion gelten, dass .
Formale Definition In der mikroökonomischen Theorie geht man davon aus, dass Wirtschaftssubjekte Präferenzen über die ihnen potenziell zur Verfügung stehenden Auswahlalternativen haben. Mathematisch lassen sich derartige Präferenzen (die sehr allgemein sein können) als binäre Relationen darstellen. Beispielsweise wird so als Präferenz-Indifferenz-Relation vereinbart. Seien nun und Vektoren von Gütern aus einer Menge von Alternativen, dann wird durch ausgedrückt, dass das Güterbündel mindestens so gut wie oder besser als bewertet wird. Um diese Information in der korrespondierenden Nutzenfunktion zu bewahren, muss auch dort der Funktionswert der Nutzenfunktion für gleich hoch oder höher sein als der von . Dies führt auf folgende exakte Definition:
Nutzenfunktionen ermöglichen es so, bestimmte Präferenz-Indifferenz-Relationen äquivalent funktional zu repräsentieren (siehe auch der Abschnitt Existenz einer Nutzenfunktion in diesem Artikel). Ihr Vorteil liegt in der vergleichsweise wesentlich einfacheren mathematischen Handhabbarkeit.
Ebenso wie bei der Analyse der Präferenzrelationen kann auch hier die Indifferenz und die strikte Präferenz aus der Präferenz-Indifferenz-Relation hergeleitet werden. Die Definition der strikten Präferenz lautet: Für zwei Alternativen und ist genau dann , wenn (1) , aber (2) nicht zugleich . Handelt es sich bei nun um eine Nutzenfunktion, so gilt mit ihrer obigen Definition wegen (1), dass und wegen (2), dass nicht , was eben impliziert, dass bei strikter Präferenz auch tatsächlich . Analog zeigt sich auch für die Indifferenzrelation , dass sie nach obiger Definition von gerade dadurch in der Nutzenfunktion zum Ausdruck gebracht wird, dass für zwei für gleichwertig erachtete Güterbündel . Wie groß der Abstand zwischen den Funktionswerten ist oder wie hoch die Funktionswerte selbst sind, ist ohne Aussagekraft.
Einordnung und Eigenschaften Nutzenkonzept und Transformationen der Nutzenfunktion Die für die obige Definition zugrunde gelegte Interpretation ist recht allgemein gefasst, dergestalt dass die konkreten Nutzenwerte für sich nicht interpretierbar sind – es geht beim Vergleich von Güterbündeln lediglich darum, wie sich die zwei korrespondierenden Nutzenwerte zueinander verhalten, das heißt ob einer größer, gleich groß oder kleiner als der andere ist. Dies basiert auf dem Ansatz, die Messbarkeit des Nutzens als ausschließlich ordinal aufzufassen. Das Nutzenkonzept der modernen Haushaltstheorie fußt auf dieser Annahme, da in den Präferenzrelationen keinerlei weitere Informationen enthalten sind (paarweiser Vergleich von Alternativen). Es ist damit intuitiv einsichtig, dass Nutzenfunktionen im oben definierten Sinne auch beliebig positiv streng monoton transformiert werden können, dass also dieselben Informationen enthält wie , wenn nur streng monoton steigend in ist.
Denkbar – aber nicht mit obigem Konzept vereinbar – sind hingegen durchaus auch andere Typen von Nutzenfunktionen. Misst man den Nutzen beispielsweise auf einer Kardinalskala, so wäre eine Transformation nur dann zulässig, wenn sie positiv affin ist, wenn also . Die restriktiveren Anforderungen der Kardinalskala korrespondieren allerdings mit erweiterten Interpretationsmöglichkeiten, denn hier wäre es durchaus möglich, aus der Tatsache, dass der Nutzenwert beim Übergang von Güterbündel zu um 10 steigt, während er beim Übergang von zu um 20 steigt, zu folgern, dass der zusätzliche Nutzen von gegenüber doppelt so hoch ist wie der von gegenüber .
Misst man den Nutzen auf einer Verhältnisskala, so wäre eine Transformation nur dann zulässig, wenn sie positiv linear ist, wenn also . Hier könnte man daraus, dass der Nutzen von Güterbündel doppelt so groß ist wie der von , folgern, dass ersteres Bündel auch einen doppelt so hohen Nutzen wie letzteres stiftet.
Im Extremfall ist überhaupt keine Transformation zulässig (Absolutskala), wobei dann selbst die absolute Nutzenhöhe (zum Beispiel ) interpretierbar wäre.
Existenz einer Nutzenfunktion Setzt man die Existenz einer Präferenzordnung voraus, kann diese nicht in allen Fällen durch eine Nutzenfunktion repräsentiert werden. Vielmehr sind zusätzliche Anforderungen an die Alternativenmenge oder die Präferenzordnung zu stellen.
Funktionale Eigenschaften Basierend auf den zugehörigen Präferenzordnungen lassen sich auch Aussagen über die Eigenschaften einer Nutzenfunktion treffen.
Dabei bezeichnet man eine Präferenz-Indifferenz-Relation als streng monoton, wenn ; als konvex, wenn und als strikt konvex, wenn . Siehe ausführlicher der Artikel Präferenzrelation.
Indifferenzkurve mini|hochkant=0.8|Drei Indifferenzkurven im Zwei-Güter-Fall.mini|hochkant=0.8|Indifferenzkurven im Drei-Güter-Fall
Nutzenfunktionen geben wie oben definiert das Nutzenniveau an, das bestimmte Güterbündel generieren. Betrachtet man die Funktion von einer anderen Seite, kann man auch ein gewisses Nutzenniveau vorgeben und nach den Güterbündeln fragen, mit denen sich dieses erreichen lässt. Dies bildet die Grundlage für das Konzept einer Indifferenzkurve (auch Nutzen-Isoquante oder Iso-Nutzenfunktion). Geht man von einem Güterbündel aus, dann handelt es sich bei einer Indifferenzkurve formal um die Menge aller Güterbündel , für die gilt, dass (Indifferenzmenge zu ).
Im Zwei-Güter-Fall lassen sich Indifferenzkurven wie nebenstehend recht einfach visualisieren. Zwischen der horizontalen und der vertikalen Achse befindet sich die Menge aller möglichen Güterbündel (jeder Punkt in diesem Bereich markiert eine bestimmte Kombination von Gut 1 und Gut 2). Auf der Indifferenzkurve 2 liegen beispielsweise sämtliche Punkte, die dem Haushalt den gleichen Nutzen stiften wie B und man sieht so unter anderem, dass der Haushalt zwischen C und B indifferent ist (das heißt C und B gleich gut findet). Nimmt man wie üblich Monotonität der Präferenzen an („mehr ist besser“), dann stehen Indifferenzkurven für ein umso höheres Nutzenniveau, je weiter sie vom Ursprung entfernt liegen – die Güterbündel auf Indifferenzkurve 2 sind also stets besser als diejenigen auf Kurve 1.
Mathematisch ist eine Indifferenzmenge im oben definierten Sinne eine Niveaumenge zur Nutzenfunktion. Ist beispielsweise eine Nutzenfunktion, dann sind unter anderem die Güterbündel , und Punkte auf der Indifferenzkurve zum Nutzenniveau 4, denn .
mini|hochkant=2.5|Visualisierung der Eigenschaft als Niveaumenge – Indifferenzkurven als Konturlinien der Nutzenfunktion. Im Beispiel: Cobb-Douglas-Nutzenfunktion wie oben; in der (x1,x2)-Ebene sind vier Konturlinien/Indifferenzkurven eingezeichnet. (Beachte, dass die x2-Achse hier aus Gründen der Übersichtlichkeit die x1-Achse nicht im Nullpunkt schneidet; stellt man sich die Achse hingegen auf der linken Seite vor, zeigt sich das vertraute Bild einer Indifferenzkurve im Zwei-Güter-Fall.) mini|hochkant=1.5|„Projektion“ der Höhenlinien in die x1-x2-Ebene (Animation). Aus der Eigenschaft folgt auch, dass sich Indifferenzkurven nicht schneiden können. Wären nämlich A und B zwei echt verschiedene Indifferenzmengen und gäbe es ein Güterbündel , das sowohl in A als auch in B enthalten ist, dann würde dies notwendig auf einen Widerspruch führen. Nach Definition einer Indifferenzmenge würde nämlich für alle anderen Güterbündel aus A gelten, dass sie den gleichen Nutzen wie generieren (weil in A enthalten ist); für alle anderen Güterbündel aus B wiederum gölte dasselbe (weil in B enthalten ist), was darauf führt, dass alle Güterbündel in A und B den gleichen Nutzen wie generieren. Dann können die Indifferenzmengen aber nicht echt verschieden sein – im Widerspruch zur Annahme.
Grenznutzen und Grenzrate der Substitution Grenznutzen
Die erste partielle Ableitung der Nutzenfunktion nach einem Gut bezeichnet man als Grenznutzen dieses Gutes. Anschaulich gibt der Grenznutzen an, wie viel zusätzlichen Nutzen eine marginale Erhöhung der Menge von Gut stiften würde, wobei die Menge aller anderen Güter unverändert gelassen wird. Ein Grenznutzen von bedeutet, dass für dieses Gut Sättigung eingetreten ist. Eine weitere Einheit dieses Gutes würde (bei einem konkaven Funktionsverlauf) keinen zusätzlichen Nutzen stiften.