Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)

mini|Diese Wirbelstraße in einer ebenen Scherströmung genügt den Euler-Gleichungen.

Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes System von partiellen Differentialgleichungen zur Beschreibung der Strömung von viskositätsfreien Fluiden und drücken im engeren Sinn aus, dass Fluidteilchen durch ein Druckgefälle und ein Kraftfeld wie der Schwerkraft beschleunigt werden.M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. 2006, S. 52.

Im engeren Sinne bezeichnet Eulersche Gleichung die Impulsgleichung für viskositätsfreie Strömungen. Im weiteren Sinn wird das Gleichungssystem um die Kontinuitätsgleichung und die Energiebilanz erweitert und bildet dann ein System von fünf gekoppelten nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung.

Die Impulsgleichungen sind in eulerscher Darstellung formuliert und lauten:

Der Vektor ist das Geschwindigkeitsfeld im Fluid mit Komponenten in Richtung der kartesischen Koordinaten , die Dichte, der Druck und eine äußere volumenverteilte Beschleunigung (z. B. Schwerebeschleunigung).

Die Richtungsableitung der Geschwindigkeit in Richtung der Geschwindigkeit lässt sich mit dem Nabla-Operator 𝜵 oder dem Geschwindigkeitsgradienten ausdrücken: . Der Term stellt einen konvektiven Anteil dar, der physikalisch daraus resultiert, dass ein Partikel auch dadurch beschleunigt werden kann, dass es von einem schneller oder langsamer fließenden Stromfaden mitgenommen wird. Der Gradient des Drucks gibt das Gefälle oder den Anstieg des Drucks an und entspricht . Alle Variablen in den Euler-Gleichungen sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die linke Vektorgleichung ist koordinatenunabhängig während die rechte ein kartesisches Koordinatensystem voraussetzt.

Anwendungsbereiche und Limitierungen Anwendung finden die Euler-Gleichungen bei laminaren Strömungen, wie sie in technischen Rohrströmungen oder in der Flugzeugentwicklung in guter Näherung angenommen werden können.

Die Euler-Gleichungen beschreiben reibungslose, d. h. viskositätsfreie Strömungen, in denen gekrümmte Verdichtungsstöße vorkommen können. Das Strömungsfeld wird durch die Mach-Zahl charakterisiert. Wirbel können nach den Helmholtz’schen Wirbelsätzen in viskositätsfreien Strömungen weder entstehen noch vergehen und bilden Wirbelröhren aus, die buchstäblich unendlich sind oder auf den Rand des Strömungsfeldes laufen. Alle Phänomene, die eine hydrodynamische Grenzschicht oder turbulente Strömung nebst Dissipation von Energie beinhalten, wie z. B. Strömungsabrisse, können nicht abgebildet werden.

Die Euler-Gleichungen sind als der Sonderfall vernachlässigbarer Viskosität und Wärmeleitung in den Navier-Stokes-Gleichungen enthalten und umfassen ihrerseits die drehungsfreien Potentialströmungen, die sich bei isentroper viskositätsfreier Strömung einstellen.

Herleitung der Impulsgleichung Herleitung am Volumenelement mini|In einem Druckfeld (p, Pfeile) befindliches quaderförmiges Fluidelement mit Länge dx und Höhe dy Die Impulsgleichung konnte Leonhard Euler wie folgt aus dem Schnittprinzip, Newtons zweitem Gesetz und seiner Definition des Drucks ableiten, der in einem Fluid in alle Raumrichtungen aber immer senkrecht auf Wände wirkt. Zunächst wird eine Strömung in der xy-Ebene betrachtet, in der ein (infinitesimal) kleines, quaderförmiges Fluidelement wie im Bild freigeschnitten wird. Es habe die Dichte , Masse und Geschwindigkeit in x- und in y-Richtung.

Der weggeschnitte Teil der Strömung wirkt durch den Druck p auf das Fluidelement, das auch einer volumenverteilten Kraft ausgesetzt ist. Anwendung von Newtons zweitem Gesetz auf das Fluidelement in den Raumrichtungen x und y liefert:

Division durch die Masse des Kontrollvolumens liefert:

Wo eine massenbezogene Kraft, wie z. B. die Schwerebeschleunigung, ist. In der zur Bildebene senkrechten z-Richtung schreibt sich analog:

Weil der Druck und die äußere Kraft auf das Fluidelement und nicht auf einen Raumpunkt wirken, muss auf der linken Seite die substantielle Ableitung der Geschwindigkeit für eingesetzt werden, was nach Umstellung auf die eingangs angegebenen Gleichungen führt.

Die Euler-Gleichungen können auch wie die Navier-Stokes-Gleichungen hergeleitet werden, indem dort die Viskositäten λ, μ und ζ zu null gesetzt werden.

Ein weiterer Ansatz geht von der Boltzmann-Gleichung aus: Der Kollisionsoperator wird dort mit drei möglichen Termen multipliziert, den sog. Kollisionsinvarianten. Nach Integration über die Teilchengeschwindigkeit entstehen Kontinuitätsgleichung, Impulsgleichung und Energiebilanz. Schließlich wird eine Skalierung für große Zeit- und Raumabmessungen durchgeführt (Hydrodynamische Limites), und das Ergebnis sind die erweiterten Euler-Gleichungen.

Herleitung aus den Cauchy-Eulerschen Bewegungsgesetzen Der wesentliche Teil der Euler-Gleichungen ist das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz, das dem Impulssatz entspricht:

Auf der linken Seite der Gleichung steht in den eckigen Klammern die substanzielle Beschleunigung, bestehend aus der lokalen und der konvektiven Beschleunigung:

Zusätzlich zu den eingangs beschriebenen Variablen tritt der Cauchy’sche Spannungstensor und der Divergenzoperator auf. Innere Reibung, die sich in Viskosität und damit in Schubspannungen zeigen würde, wird in reibungslosen, d. h. viskositätsfreien Fluiden vernachlässigt, weshalb der Spannungstensor dort Diagonalgestalt hat. Des Weiteren ist jedes Fluid auch isotrop. Wird nun ein Fluid gedanklich in zwei Teile zerschnitten, dann bilden sich an den Schnittflächen Schnittspannungen aus, die senkrecht zur Schnittfläche sind, denn der Druck in einem elastischen Fluid wirkt immer senkrecht auf begrenzende Flächen. In einer isotropen Flüssigkeit muss die Normalspannung für alle Orientierungen der Schnittfläche dieselbe sein, weshalb der Spannungstensor mithin ein Vielfaches des Einheitstensors ist:M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. 2006, S. 52. . Ein Spannungstensor dieser Form wird auch Drucktensor genannt, denn der Proportionalitätsfaktor ist der Druck. Ausführung der Ableitung zeigt: . Dies in das Bewegungsgesetz eingesetzt ergibt die Euler-Gleichungen

Formulierung

Impulsgleichung In kartesischen Koordinaten lauten die Euler-Gleichungen im zweidimensionalen Fall für und vollständig ausgeschrieben: mini|Parametrisierung des Raumes mit Zylinderkoordinaten mini|Parametrisierung des Raumes mit Kugelkoordinaten

In Zylinderkoordinaten schreiben sich die GleichungenM. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. 2006, S. 380 ff.

Der Operator bildet die substantielle Ableitung und die radiale Koordinate wurde mit statt mit bezeichnet, um eine Verwechselung mit der Dichte zu vermeiden. In Kugelkoordinaten ergibt sich:

Flussformulierung Obige Bewegungsgleichung ist bei vernachlässigbarer Beschleunigung auf Grund der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Bilanzgleichung der Impulsdichte für ideale Fluide:

oder in alternativer Schreibweise

Das Rechenzeichen „“ bildet das dyadische Produkt. Der symmetrische Tensor

ist der konvektive Transport der Impulsdichte, seine Divergenz

ist der konvektive Impulsfluss.

Integriert man über ein ortsfestes Volumen und wendet den Gaußschen Integralsatz an, so erhält man:

Hierbei ist das Volumen mit der Oberfläche und ist der Normaleneinheitsvektor auf dem Flächenelement . Diese Formulierung der Gleichung beweist die Erhaltung des Impulses bei Einführung des statischen Druckes . Der Druck ist eine Oberflächenkraft und nimmt Einfluss auf den Impuls durch Austausch mit der Umgebung. Kräfte werden nur senkrecht zur Oberfläche übertragen, es treten keine Reibungskräfte auf.

Umgekehrt folgen die Euler-Gleichungen aus der Impulsbilanz an beliebigen, hinreichend glatt berandeten Volumina , wenn man annimmt, dass es einen hydrostatischen Druck gibt und nur dieser Kräfte auf (und zwar über die Oberfläche und nur in Normalenrichtung) überträgt – vorausgesetzt die auftretenden Funktionen sind hinreichend glatt, um den Gaußschen Integralsatz anwenden zu können.

Vollständiges Gleichungssystem Obige Impulsgleichung stellt (selbst mit passenden Rand- und Anfangsbedingungen) kein geschlossenes System dar. Intuitiv sieht man dies bereits, da man im -Dimensionalen nur Differentialgleichungen für unbekannte Funktionen (Geschwindigkeit und Druck) hat. Um das System zu schließen, ist noch mindestens eine weitere Gleichung nötig.

Inkompressibler Fall Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gasströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. Inkompressible Fluide sind dichtebeständig () und das Gleichungssystem wird durch Hinzunahme der Massenerhaltung in Form der Kontinuitätsgleichung

geschlossen. Die Lösung der Gleichungen vereinfacht sich dadurch, dass sich der Druck durch Bildung der Rotation aus der Euler-Gleichung eliminieren lässt:M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. 2006, S. 54.

Hier wurde die Grassmann-Entwicklung wobei das Kreuzprodukt bezeichnet. eingesetzt und ausgenutzt, dass Gradientenfelder immer rotationsfrei sind.

Der Druck berechnet sich bei Inkompressibilität nicht aus einer Zustandsgleichung der Form , sondern allein aus der Impulsbilanz in Form der Euler-Gleichung und den Randbedingungen, d. h. aus dem bereits berechneten Geschwindigkeitsfeld. Anwendung der Divergenz auf die Euler-Gleichung liefert die Bestimmungsgleichung für den DruckAusgenutzt wird die Produktregel , wobei hier ist. Der Operator Sp berechnet die Spur. Die Identität gilt für alle Vektorfelder . In der Literatur kommen andere Definitionen des Divergenzoperators für Tensoren vor, die sich durch die Transposition ihres Argumentes von der hier benutzten unterscheidet. Abweichende Formeln bei der Herleitung sind in der Literatur daher nicht auszuschließen.:

Der Operator berechnet die Spur und das Produkt der Geschwindigkeitsgradienten wird mit dem Tensorprodukt „“ gebildet. In kartesischen Koordinaten entwickelt sich:

Kompressibler Fall Bei kompressiblen Fluiden und insbesondere, wenn die Temperatur als weitere Unbekannte eine Rolle spielt, benötigt man außerdem die Energiebilanz. Im dreidimensionalen Fall ergeben sich so die fünf gekoppelten Differentialgleichungen

Massenbilanz: Impulsbilanz: Energiebilanz:

wo die spezifische Enthalpie ist und mit dem Nabla-Operator 𝜵 die substantielle Zeitableitung bildet.

Bei vernachlässigbarer äußerer Kraft kann dies kompakt als Matrizengleichung geschrieben werden:

wobei der Vektor der Variablen ist und der Fluss durch folgende Ausdrücke gegeben ist:

Der Divergenzoperator div ist hier auf die Spalten der 3×5-Matrix f anzuwenden. Die erste Gleichung in diesem System ist die Kontinuitätsgleichung für den kompressiblen Fall , die zweite bis vierte Gleichung sind die Impulsgleichungen (Euler-Gleichungen im engeren Sinn, siehe oben) und die letzte Gleichung ist die Energiebilanz, jeweils mit .

Zusammen mit einer thermischen Zustandsgleichung, die Druck , Temperatur und Dichte miteinander verknüpft, sowie einer kalorischen Zustandsgleichung, welche Temperatur , Druck und spezifische Enthalpie verknüpft, entsteht ein formal geschlossenes Gleichungssystem, um die sieben unbekannten Größen Geschwindigkeit , und , Druck , Dichte , Temperatur und spezifische Enthalpie zu berechnen. In der Praxis wird oft ein perfektes Gas-Modell verwendet, d. h. ein ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität.

In diesem Modell werden Wärmeleitung und Viskosität vernachlässigt. Werden auch Viskositäts- und gegebenenfalls Wärmeleitungseffekte berücksichtigt, entstehen die Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide.

Randbedingungen