mini|Bernoulli-Effekt bei Vergrößerung des Strömungsquerschnittes: Der Druck (mittels U-Rohr senkrecht zur Strömung gemessen) nimmt zu.
Die Bernoulli-Gleichung (auch Gesetz von Bernoulli) ist die Grundgleichung für die eindimensionale Behandlung von Strömungen in Fluiden (Flüssigkeiten und Gase). Die Gleichung gilt näherungsweise für viele Strömungen in realen Flüssigkeiten und Gasen und ist daher Grundlage vieler aero- und hydrodynamischer Berechnungen in der Technik. Sie wurde im 18. Jahrhundert von Daniel und Johann Bernoulli aufgestellt und ist Ausdruck der Tatsache, dass in der Mechanik Arbeit geleistet werden muss, um einem Körper, hier einem Fluidelement, Energie zuzuführen. Die Bernoulli-Gleichung wird auch mit dem in isolierten Systemen gültigen Energieerhaltungssatz in Verbindung gebracht; die Beschreibung hier folgt Prandtl, Spurk und Landau/Lifshitz.
Nach Bernoulli lässt sich eine Größe mit der physikalischen Dimension einer spezifischen (d. h. massebezogenen) Energie angeben, die ein Integral der Bewegung ist, also auf dem Weg des Fluidelements längs seiner Stromlinie konstant bleibt. In ihrer einfachsten Form lautet die Bernoulli-Gleichung in einer stationären Strömung eines viskositätsfreien inkompressiblen Fluids in einem homogenen äußeren Kraftfeld, wie das Schwerefeld eines ist:
Hierin ist die Geschwindigkeit an einem Ort auf der Stromlinie, der thermodynamische Druck, unter dem das Fluid hier steht (manchmal statischer Druck und bei Umgebungsdruck oder Betriebsdruck genannt), die Dichte, die Schwerebeschleunigung und die Höhe über einer Bezugsebene bei , wo der Betriebsdruck herrscht. Der erste Summand auf der rechten Seite ist die spezifische kinetische Energie des Fluidelements. Der zweite Summand entspricht der spezifischen Enthalpie oder Druckfunktion und berücksichtigt die am Fluidelement geleistete spezifische Verdrängungsarbeit (auch: Verschiebearbeit). Der dritte Summand steht für die spezifische Lageenergie des Fluidelements im Potential des äußeren Kraftfelds. Die Bernoulli-Konstante wird an einem Punkt der Stromlinie ermittelt und bleibt auf der ganzen Stromlinie konstant. Daher balancieren sich Veränderungen der drei Summanden längs einer Stromlinie gegenseitig aus.
Durch Multiplikation mit geeigneten Konstanten ergeben sich äquivalente Formen dieser Energiegleichung, ausgedrückt mithilfe von Größen anderer physikalischer Dimension. Multiplikation der Energiegröße mit der (konstanten) Dichte ergibt die bernoullische Druckgleichung
.
Auch diese als Totaldruck bezeichnete Größe ist konstant; Veränderungen der drei Summanden balancieren sich auf einer Stromlinie gegenseitig aus. Wird z. B. bei gleichbleibender Höhe die Strömungsgeschwindigkeit an einem Staupunkt vollständig abgebremst, so wächst an diesem Punkt der Druck um die Größe , die treffend Staudruck oder dynamischer Druck genannt wird. Hierauf beruht z. B. das hydrodynamische Paradoxon. Messgeräte für den Totaldruck ( angenommen) und den dynamischen Druck sind Pitotrohr bzw. Prandtlsonde.
Dividiert man die Bernoulli-Konstante durch die (konstante) Schwerebeschleunigung , ergibt sich die bernoullische Höhengleichung. Sie gibt die bei der idealen Strömung in jedem Stromfaden erhaltene Größe so an, wie ursprünglich von D. Bernoulli veröffentlicht:
Die drei Summanden in der Höhengleichung heißen Geschwindigkeitshöhe , Druckhöhe und Ortshöhe . Ihre Summe ist die längs einer Stromlinie konstante Energiehöhe .
Instationarität der Strömung, Kompressibilität und Viskosität des Fluids können durch Erweiterungen der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt werden. So findet sie breite Anwendung in der Auslegung technischer Rohrströmungen, im Turbomaschinen- und Windenergieanlagenbau.
Geschichte mini|Titelblatt von Bernoullis „Hydrodynamica“ Die allgemeine Bernoulli-Gleichung wird heute aus physikalischen Gesetzen gefolgert, die erst im 19. Jahrhundert gefunden wurden (siehe Herleitung) und auf die Daniel Bernoulli bei seiner Herleitung 1738 nicht zurückgreifen konnte. Stattdessen benutzte er die Vorarbeiten von Evangelista Torricelli, Christiaan Huygens und Gottfried Wilhelm Leibniz.
Torricelli übertrug 1640 die Galileischen Fallgesetze auf ausströmende Flüssigkeiten, was zum Torricelli’schen Ausflussgesetz führte. Huygens erkannte 1669, dass die von René Descartes aufgestellten Gleichungen zum elastischen Stoß richtig sind, wenn man die Geschwindigkeiten unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens zählt. Leibniz folgerte 1678 aus Huygens’ Gesetz des elastischen Stoßes, dass die Vis viva, das Doppelte der kinetischen Energie, vor und nach dem Stoß identisch sind.
mini|links|Bernoullis Fig. 72 zu seiner Herleitung
Daniel Bernoulli veröffentlichte 1738 seine Hydrodynamica,oder siehe Bilder, wo er in Sectio 12 die Ergebnisse von Torricelli und Huygens an einem kleinen Fluidelement (abcd in seiner Fig. 72) kombinierte. So gelang es ihm, den Druck von fließenden Fluiden auf Wände zu bestimmen und die Rolle des Verlusts an kinetischer Energie, die er vis viva nannte, bei plötzlichen Änderungen des Strömungsquerschnitts aufzudecken. Die instationäre Form der Bernoulli-Gleichung erschien 1742 in einem Werk des Vaters Johann I Bernoulli, der es dort auf 1732 vordatierte.in
1797 veröffentlichte der italienische Physiker Giovanni Battista Venturi seine Entdeckung, dass sich die Fließgeschwindigkeit einer Flüssigkeit, die durch ein Rohr strömt, umgekehrt proportional zu einem sich verändernden Rohrquerschnitt verhält. Venturi konnte auch experimentell nachweisen, dass der statische Druck an den Engstellen niedriger ist als an den weiteren Partien, siehe die Illustration zum Bernoulli-Effekt unten.
Bernoulli und Venturi betrachteten dabei den quasi eindimensionalen Fluss mit ebenen Querschnitten, was heute Gegenstand der Hydraulik und nicht der Hydrodynamik ist.
Anwendungsbereiche und Limitierungen Die Bernoullische Gleichung drückt eine Relation zwischen Geschwindigkeits- und Druckfeld aus, die oftmals zu paradox erscheinenden Effekten führt, ohne aber das Entstehen des Strömungsmusters verständlich zu machen. Sie gilt zunächst für Punkte auf derselben Stromlinie, was für Anwendungen die Kenntnis des Geschwindigkeitsfeldes voraussetzt. In drei technisch bedeutsamen Fällen wiegt die Einschränkung nicht schwer: Zum einen entlang von Strömröhren mit Eingang und Ausgang, die durch einen „mittleren“ Stromfaden verbunden sind, der somit feststeht. Dies ist das Fachgebiet der Hydraulik. Auch im Beispiel unten muss jedes Fluidelement von der Oberfläche zur Austrittsöffnung laufen, eine Kenntnis, die für die Lösung des Problems bereits ausreicht. Zum anderen in rotationsfreien, laminaren Strömungen fernab von den Rändern der Strömung. Solche Strömungen können in guter Näherung als Potentialströmung angesehen werden, in der die Bernoulli-Gleichung global zwischen zwei beliebigen Punkten des Gebiets gilt, siehe die Anwendung beim Flügelprofil. Ferner gilt: Kommen alle Stromlinien aus einem Raum, in dem statische Verhältnisse herrschen (d. h. Ruhe oder gleichförmige geradlinige Bewegung), ist die Konstante für alle Stromlinien gleich, wie im Beispiel, wo alle Stromlinien von der Oberfläche AB ausgehen.
Die Bernoulli-Gleichung kann in modifizierter Form auch auf kompressible barotrope Fluide angewendet werden. Das ist wiederum in zwei bedeutsamen Fällen statthaft: wenn die Dichte-Druck-Relation von der Form ρ(p,T) ist und die Temperatur T überall gleich ist, also nur isotherme Zustandsänderungen vorkommen, oder wenn die Dichte-Druck-Relation von der Form ρ(p,s) ist und die Entropie s überall gleich ist, also nur isentrope Zustandsänderungen stattfinden.
Die Bernoulli-Gleichung gilt zum Beispiel nicht, wenn Fluidelemente entlang einer Stromlinie einen Carnot-Prozess durchlaufen, bei dem sie Arbeit leisten und Wärme austauschen und daher ihre Temperatur und Entropie ändern.
Eigenschaften der Strömungen nach Bernoulli Venturi-Effekt mini|Die Fluidballen (grau) haben gleiches Volumen.
Giovanni Battista Venturi entdeckte das Kontinuitätsgesetz für inkompressible Fluide: Bei gegebenem Volumenstrom verhält sich die Fließgeschwindigkeit einer inkompressiblen Rohrströmung umgekehrt proportional zum Rohrquerschnitt (), so dass der Volumenstrom über jedem Querschnitt konstant ist, siehe Bild. Dort ist und mit dem in der Zeit transportierten Volumen folgt:
Das heißt, die Geschwindigkeit des Fluids ist dort am größten, wo der Querschnitt des Rohrs am kleinsten ist. Dieser Effekt wird umgangssprachlich Düsenwirkung genannt. Die obige Gleichung gilt allerdings nur, solange Dichteänderungen unbedeutend sind. Das ist auch für Gase bei Strömungsgeschwindigkeiten weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit in guter Näherung gegeben, siehe Bild bei der Herleitung unten. Bei einer Überschallströmung in einer Düse kehrt sich der Effekt um: Ein abnehmender Querschnitt führt zu Geschwindigkeitsabnahme und umgekehrt, was in den beiden letztgenannten Artikeln erläutert und in der Lavaldüse ausgenutzt wird.
Der Venturi-Effekt macht sich im Alltag beispielsweise bemerkbar, wenn Wind zwischen Häusern an Stärke zunimmt.
Bernoulli-Effekt und hydrodynamisches Paradoxon mini|Die Fig. 11 von Venturi zeigt die Druckabnahme an der Engstelle
Aus der Bernoulli-Gleichung folgt, dass längs einer Stromlinie bei steigender Fließgeschwindigkeit der statische Druck abnimmt (Bernoulli-Effekt). Das konnte von Venturi mittels des Venturi-Rohrs experimentell nachgewiesen werden (siehe Fig. 11 unten mittig). Die Kraft zur Beschleunigung der Fluidteilchen in die Engstelle hinein ist die Druckgradientkraft. Deren Arbeit (spezifisch ) führt zur Zunahme der kinetischen Energie der Fluidteilchen. mini|links|Versuchsskizze zum Bernoulli-Effekt: Zwischen zwei Papierbögen (grau) eingeblasene Luft (hellblau) lässt die Bögen zusammenrücken (schwarz). Der Bernoulli-Effekt kann in einem einfachen Versuch gezeigt werden, siehe Versuchsskizze: Man hängt zwei Blätter Papier (grau) über Stäbe (braun) und bläst von oben in den Zwischenraum (hellblau). Aufgrund des verringerten Drucks im Luftstrom werden die Blätter zusammengedrückt (schwarz). Diese Tatsache ist das hydrodynamische Paradoxon: Anstatt dass der eingeblasene Luftstrom die Blätter auseinanderdrückt, rücken sie zusammen. Gegenstände, die an Strömungszonen von Gasen oder Flüssigkeiten angrenzen, werden in sie hineingezogen. Auch wird ein durchströmter Wasserschlauch, der unter Wasser senkrecht an eine Wand gehalten wird, nicht von der Wand abgestoßen, sondern zur Wand hingezogen.
Die Stimmlippen des Menschen werden durch den Bernoulli-Effekt zu Schwingungen angeregt, die in der Luft hörbaren Schall erzeugen. Der Bernoulli-Effekt wird in Strahlpumpen, in Schornsteinen und beim Fliegen technisch ausgenutzt, siehe auch die Anwendung unten.
Der Bernoulli-Effekt kann auch unerwünschte Auswirkungen hervorrufen: Sind zwei Schiffe auf Parallelkurs, dann kann der Effekt die Schiffe derart ablenken, dass sie kollidieren. Ebenso kann ein Schiff bei schneller Fahrt und wenig Wasser unter dem Kiel auf Grund gehen, weil der Bernoulli-Effekt es in Richtung Grund saugt. Dasselbe Wirkprinzip kann bei Starkwind zu Atemnot führen, wenn der Wind infolge des Bernoulli-Effekts die in den Atemwegen ruhende Luft heraussaugt. Auch starker Wind über einem Haus verringert den Druck über dem Dach gegenüber dem Raum darunter und kann so Hausdächer abdecken.
Weitere Folgerungen aus der Bernoulli-Gleichung Die Bernoulli-Gleichung erklärt in einer stationären, verlustfreien und inkompressiblen Strömung entlang einer Stromlinie die folgenden Tatsachen: Pascalsches Gesetz: Bei konstanter Strömungsgeschwindigkeit – zum Beispiel in Ruhe – sinkt der Druck mit der Höhe (oder steigt mit der Tiefe): . Torricellisches Ausflussgesetz: Bei konstantem Außendruck steigt das Geschwindigkeitsquadrat mit abnehmender Höhe (oder zunehmender Tiefe): .