Die Klothoide, auch Klotoide (früher auch Clothoide; von ‚spinnen‘, s. Klotho (Mythologie)), ist eine spezielle ebene Kurve. Sie ist in der Ebene bis auf Ähnlichkeit durch die Eigenschaft eindeutig bestimmt, dass die Krümmung an jeder Stelle der Kurve proportional zur Länge ihres Bogens bis zu der Stelle ist. Andere Bezeichnungen für die Klothoide sind Cornuspirale (nach Marie Alfred Cornu) und Spinnkurve (da der Graph, der von einem Konvergenzpunkt zum anderen läuft, einer Garnrolle ähnelt, die „umsponnen“ wird).
hochkant=1.2|mini|Graph einer Klothoide/Euler-Spirale mit beiden Ästen. Die Kurve ist unendlich lang und nähert sich an beiden Enden asymptotisch den mit Kreuzen markierten Punkten an.
Die Klothoide wird als Übergangsbogen bei Kurven im Straßenbau und im Eisenbahnbau eingesetzt. Ihr Krümmungsverlauf nimmt linear zu, wodurch sich anstatt eines abrupten Rucks ein allmählicher Beschleunigungs-Übergang von der Geradeausfahrt in die Kreisfahrt ergibt.
In den heutigen Trassierungs- und CAD-Programmen ist die numerische Berechnung von Klothoiden in der Programmbibliothek integriert und erfolgt automatisch.
Geschichte
Die Gleichungen der Klothoide wurden erstmals nachweislich 1694 von Jakob I Bernoulli niedergeschrieben. Sie wurde aber von ihm weder gezeichnet noch numerisch berechnet. Dies wurde 1743 von Leonhard Euler gemacht, als er die Gleichungen bei der Untersuchung von spiralförmig aufgewickelten Sprungfedern wiederentdeckte.Raymond Clare Archibald: Euler Integrals and Euler’s Spiral–Sometimes called Fresnel Integrals and the Clothoide or Cornu’s Spiral. In: American Math Monthly. Volume 25, 1918, S. 276–282 (online). Die Bestimmung der asymptotischen Endpunkte gelang ihm aber erst 1781. Im Jahr 1874 wurden die Gleichungen vom französischen Physiker Alfred Cornu nochmals unabhängig bei Beugungsberechnungen entdeckt und untersucht. In der angelsächsischen Literatur wird sie daher meist als Euler-(Cornu-)Spirale bezeichnet.
1937 wurde die Klothoide erstmals durch Leopold Oerley als Geometrieelement im Straßenbau eingesetzt, ab 1938 setzte der Autobahningenieur Hans Lorenz sie bei der Planung der Reichsautobahn Wien–Brünn–Breslau konsequent ein. 1954 wurde die Klothoide mit einem umfassenden Tafelwerk (Kasper, Schürba, Lorenz: Die Klotoide als Trassierungselement, siehe Literatur) für Trassierungs- und Absteckungsarbeiten allgemein zugänglich gemacht. In diesem Tafelwerk wird durchgängig Klotoide (ohne „h“) geschrieben. Auch die alten Ausgaben des Taschenbuches der Mathematik (Bronstein-Semendjajew) bevorzugen diese Schreibweise. Die Schreibweise laut Duden ist Klothoide.
Klothoidengleichung Der Krümmungsradius dieser Kurve ist bzw. soll sein: umgekehrt proportional zur Länge ihres Bogens, formal mit der Großbuchstabenkonvention in den Straßenbauernormen ausgedrückt:
wobei den Krümmungsradius, die Länge des Kurvenbogens vom festgewählten Kurvenausgangspunkt zum betrachteten Kurvenpunkt und eine beliebige, aber feste, positive, reelle Konstante bezeichnet. Diese Konstante wird als Klothoidenparameter bezeichnet.
Aus dieser Forderung folgt bereits eindeutig die Gleichung der Klothoide, wenn man einen Ausgangspunkt und eine Anfangssteigung vorgibt. Diese lautet in Parameterdarstellung mit Ausgangspunkt und Anfangssteigung durch parametrisiert:
wobei dann die Länge der Kurve von bis ist. Somit gilt für die Krümmung dieser Kurve
.
Ferner besitzt sie die beiden asymptotischen Punkte und .
Einheitsklothoide Die Einheitsklothoide ist eine Klothoide mit dem Parameter . Die Grundgleichung zeigt, dass der Parameter eine kennzeichnende Größe ist. Die Einheitsklothoide wurde benutzt, um Tafeln für die Berechnung von Punkten auf der Klothoide aufzustellen, analog den Tafelwerken für Winkelfunktionen, denen der Einheitskreis mit zugrunde liegt. Die dort entnommenen Werte für die Koordinaten der Punkte auf der Klothoide werden mit dem gegebenen Parameter multipliziert, da alle Klothoiden einander ähnlich sind und proportional vergrößert oder verkleinert werden können.
Bekannte, häufig benutzte Tabellenwerke waren (siehe auch Literatur): Die Klotoide als Trassierungselement von Kasper, Schürba, Lorenz Klothoidentaschenbuch für Entwurf und Absteckung von Krenz, Osterloh
Bezeichnungen gem. Kasper, Schürba, Lorenz:
Parameter der KlothoideKrümmungsradius im betrachteten Endpunkt des Klothoidenabschnittes (also auch minimaler Krümmungsradius des Klothoidenausschnittes)Länge des KlothoidenabschnittesSchnittwinkel der Tangenten im Anfangs- und Endpunkt im Bogenmaß
Die Tabellenwerte und beziehen sich auf die Tangente im Ursprung (der einzige Wendepunkt) der Klothoide (0,0) mit dem Krümmungsradius von „Unendlich“. Die X-Koordinate ist der Abschnitt auf dieser Tangente, die Y-Koordinate der orthogonale Abstand des Klothoidenpunktes von der Tangente. Eingangswert ist .
Um Klothoidenberechnungen mit mechanischen Rechenmaschinen zu vereinfachen, die nur die vier Grundrechenarten ermöglichten, wurden zusätzlich Spezialtafeln für häufig vorkommende Aufgaben beigefügt, um den Rechenaufwand in Grenzen zu halten.
Moderne Berechnungsverfahren Heute sind für Klothoidenberechnungen weder Tafeln noch Näherungslösungen erforderlich. Für eine programmgesteuerte Berechnung sind Klothoiden besonders gut geeignet, da die Formeln einfach sind, wenig Programmieraufwand erfordern und ein sehr gutes Laufzeitverhalten haben. Wegen der sehr häufigen Verwendung der Klothoide bei der Trassierung von Verkehrswegen wird der Berechnungsablauf hierfür als Beispiel herangezogen.
Grundgleichungen:
Zur Berechnung werden statt der Sinus- bzw. Cosinusfunktion deren Potenzreihenentwicklungen
verwendet und integriert. Setzt man dann für wieder ein, erhält man für die Koordinaten und auf der Ursprungstangente folgende, sehr einfache Reihenentwicklungen:
Für den im Bereich von Trassierungsberechnungen genutzten Klothoidenabschnitt ist der Wert maximal 0,5. Um auch für seltene Sonderfälle gewappnet zu sein, sollte das Programm T-Werte bis π (3,14159) zulassen, damit der gleiche Drehwinkel (180°) wie in einem Halbkreis abgedeckt ist. Die Reihenglieder für und konvergieren schon nach wenigen Schritten gegen Null. Weil die Fakultätsfunktion im Nenner steht, wächst dessen Wert schnell. Bei nimmt der Wert des Zählers ab und beschleunigt zusätzlich die Berechnung. Die Genauigkeit der Berechnung lässt sich über einen Grenzwert, der zum Abbruch der Berechnung führt, steuern. Üblich ist eine Genauigkeit, die fünf gültige Nachkommastellen hat, wenn mit 8 Byte Datenbreite (double precision) gerechnet wird. Für Grafikausgaben genügt eine Genauigkeit, die dem halben Pixeldurchmesser des Ausgabegerätes, multipliziert mit dem reziproken Maßstabsfaktor, entspricht (Begründung: siehe Bresenham-Algorithmus).
Um die lokalen Koordinaten und in das übergeordnete Bezugssystem zu überführen, ist abschließend eine einfache Transformation, z. B. über bereits bekannte Koordinaten des Anfangs- und Endpunktes im Bezugssystem erforderlich. Die Berechnung von Klothoidenpunkten ist beim Einsatz von Computern heute genau so einfach, wie bei Punkten auf den Trassierungselementen Gerade und Kreisbogen.
Anwendung in der Optik mini|Fresnelsche Integrale für
Unter Beugung wird meist die Fraunhofersche Beugung verstanden, bei der Strahlen aus dem Unendlichen (Parallelstrahlen) durch Linsen auf eine endliche Ebene abgebildet werden. Im Gegensatz dazu beschreibt die Fresnelsche Beugung Beugungserscheinungen im Nahfeld. Beide Formen der Beugung sind zwei Grenzfälle des Kirchhoffschen Beugungsintegrals. Beispielsweise beschreiben die Fresnelschen Integrale und die Intensität der Lichtverteilung hinter einer beleuchteten Kante mit einem beliebigen, reellen Parameter :
.
Definition der Klothoide mittels Fresnelscher Integrale
Zusammen ermöglichen die vorhergehenden beiden Gleichungen auch eine Parameterdarstellung
einer Klothoide. Wählt man nämlich , dann erhält man die Klothoide mit .
Die beiden Konvergenzpunkte liegen bei den Koordinaten (z,z) und (−z,−z) mit
Die Länge eines Kurvenbogens der Klothoide durch parametrisiert und vom Ursprung aus gemessen, beträgt
Die Kurvenlänge ist somit unbeschränkt. Und wir sehen, dass die Differentialgeometriker die Klothoide so beschreiben, dass die Kurvenlänge stets gleich ihrem freien Parameter ist. Dies nennt man dann auch allgemein für beliebige stetige Kurven die natürliche Kurvenparametrisierung.
Die Krümmung (ihr Kehrwert ist der Krümmungsradius) ist , also proportional zur Länge des Kurvenbogens ab dem Punkt (0,0). Ferner erkennen wir nun auch den Zusammenhang mit dem „ der Straßenbauer“ zu .
Wählt man für eine erste Approximation der Kurve im Ursprung nur das erste Glied ihrer Taylorreihe, so erhält man
also , was eine kubische Parabel darstellt.
Anwendung im Verkehrswegebau Im Verkehrswegebau wird bei der Berechnung der Linienführung einer Verkehrsachse die Klothoide als Übergangselement zwischen zwei Geraden, oder allgemein zwei Elementen mit konstanter aber unterschiedlicher Krümmung, eingesetzt. Sie kommt auf zahlreichen Teilabschnitten von Straßen- und Bahnstrecken zum Einsatz.
Klothoide als Trassierungselement mini|Klothoidenlineal A = 55 für den Maßstab 1:1000
Zur Bemessung der Trassierungselemente bei einer fahrdynamischen Trassierung von Verkehrswegen dient die Entwurfsgeschwindigkeit, aus der sich Mindestradien bzw. bei Klothoiden Mindestparameter ergeben. Die Entwurfsgeschwindigkeit ist unter anderem von der Bedeutung eines Verkehrsweges abhängig, also bei Fernverbindungen hoch und bei regionalen Verbindungen niedriger. Eine niedrige Entwurfsgeschwindigkeit erlaubt eine Trassenführung, die sich besser an die topografischen Verhältnisse anpassen lässt. Auch das Verkehrsaufkommen muss berücksichtigt werden. Innerörtliche Straßen werden dagegen in der Regel nicht fahrdynamisch trassiert, bzw. mit einer niedrigen Entwurfsgeschwindigkeit geplant.
Eine Trasse setzt sich einerseits aus Trassierungselementen mit konstanter Krümmung wie Geraden und Kreisbögen, andererseits aus Klothoiden als Übergangsbögen mit zu- und abnehmender Krümmung zusammen. Die Krümmung wächst bzw. fällt linear mit der Länge auf der Klothoide.
Für die Verwendung der Klothoide als Übergang zwischen Elementen mit konstanter Krümmung im Straßenbau spricht:
Bei einer Kurvenfahrt muss das Lenkrad gedreht werden, um das Fahrzeug in den Bogen einzulenken. Bei konstanter Fahrgeschwindigkeit und gleichmäßiger Zunahme des Lenkeinschlages bewegt sich das Fahrzeug auf einer Linie, die näherungsweise einer Klothoide entspricht. Durch die Klothoide als Übergangselement wird sichergestellt, dass der Fahrer nicht zu einem abrupten Lenkmanöver gezwungen wird, sondern die Querbeschleunigung linear wächst oder abnimmt.
Die Entwässerung der Fahrbahn bei Regen erfordert, dass die Fahrbahn in Querrichtung geneigt ist (Querneigung), um Aquaplaning zu verhindern. Eine Querneigung der Fahrbahn ist auch erforderlich, um die Querbeschleunigung auf ein annehmbares Maß zu begrenzen. Bei geneigter Fahrbahn wirkt die vertikale Erdbeschleunigungskomponente (9,81 m/s²) dagegen und die Kräfte werden besser in die Fahrbahn eingeleitet. Bei Kurven werden die Fahrbahnränder so um die Fahrbahnachse gedreht, dass der äußere Rand höher und der innere Rand tiefer als die Achse liegt. Diese „Verwindung“ der Fahrbahn um die Achse erfordert eine gewisse Übergangslänge. Die Klothoide als Übergangsbogen bei Krümmungswechseln stellt sicher, dass der Übergang innerhalb der Länge dieses Elements linear angelegt werden kann.