Torus

mini|Torus mini|Die Menge der Punkte mit dem Abstand von der Kreislinie mit Radius bildet einen Rotationstorus. Ein Torus (Plural Tori, von )Es gibt einige andere, heute nicht mehr gebräuchliche, historische Verwendungen des Begriffs Torus: ist ein mathematisches Objekt aus der Geometrie und der Topologie. Er ist eine wulstartig geformte Fläche mit einem Loch, ähnlich der Gestalt eines Rettungsrings, Fahrradschlauchs oder Donuts. Auch ein O-Ring hat die Form eines Torus.

Beispiele für im dreidimensionalen Raum eingebettete Tori sind die Rotationstori. Rotationstori sind Rotationsflächen, die man erhält, indem man einen Kreis um eine Achse rotieren lässt, die in der Kreisebene liegt und den Kreis nicht schneidet. Falls man nicht nur die Kreislinie, sondern die gesamte Kreisfläche rotieren lässt, erhält man einen Volltorus.

Ein Rotationstorus ist die Menge aller Punkte, die von einer Kreislinie mit Radius den festen Abstand mit haben.

mini|Man erhält einen Rotationstorus durch Verkleben gegenüberliegender Seiten eines Rechtecks. Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Parallelogramms konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante des Parallelogramms mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. Diese Topologie benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

Beide Konstruktionen sind Spezialfälle der allgemeinen mathematischen Definition, die einen Torus als das topologische Produkt zweier Kreise definiert. Dieser Begriff spielt in zahlreichen Gebieten der Mathematik eine Rolle, neben Topologie und Differentialgeometrie ist er unter anderem in der Fourier-Analysis, der Theorie dynamischer Systeme (invariante Tori in der Himmelsmechanik), der Funktionentheorie und der Theorie elliptischer Kurven von Bedeutung.

Rotationstori liefern eine konkrete rotationssymmetrische Realisierung dieser Fläche im dreidimensionalen euklidischen Raum. Von besonderer Wichtigkeit für viele Anwendungen in theoretischer Mathematik und Physik sind sogenannte flache Tori und ihre Einbettung in den vierdimensionalen Raum. Diese haben die Krümmung null und die maximal mögliche Symmetrie.

Der Torus ist eine zweidimensionale Fläche. Allgemeiner betrachtet man in der Mathematik auch den -Torus, eine den zweidimensionalen Torus verallgemeinernde -dimensionale Mannigfaltigkeit. Davon abweichend finden sich in der deutschsprachigen Literatur gelegentlich auch die Bezeichnungen Doppeltorus, Tripeltorus etc. für Flächen mit zwei, drei und mehr Löchern.

Volumen Das Volumen des Volltorus, der vom Torus ummantelt wird, lässt sich als Volumenintegral über die Jacobi-Determinante (die Determinante der Funktionalmatrix) berechnen. Die Jacobi-Matrix zur Parametrisierung des Torus lässt sich wie folgt angeben:

Daraus folgt:

Die Funktionaldeterminante ist hier also gleich der Norm des Flächennormalenvektors.

Man erhält also für das Volumen des Volltorus .

Die Formel für das Volumen lässt sich so interpretieren, dass die Kreisfläche mit dem Umfang multipliziert wird (siehe Zweite Guldinsche Regel). Dies kann man zum Verständnis in Analogie zum Zylindervolumen setzen. Mit dem Flächeninhalt der Oberfläche verhält es sich genauso, hier werden die Umfänge und miteinander multipliziert (siehe Erste Guldinsche Regel). Dies steht ebenfalls in Analogie zur Zylindermantelfläche .

Betrachtet man nur den inneren Teil des Torus, der von der -Achse einen Abstand kleiner gleich hat, ergibt sich das Volumen

Der äußere Teil des Torus, der von der -Achse einen Abstand größer gleich hat, hat das Volumen

Oberfläche Die Oberfläche des Torus mit der obigen Parameterdarstellung ist

Diese Formel lässt sich entweder mit der Ersten Guldinschen Regel herleiten aus

oder mit Hilfe des Oberflächenintegrals

berechnen. Dabei ist das Oberflächenelement des Torus in der obigen Parameterdarstellung.

Der Torus berandet einen 3-dimensionalen Volltorus. Das Volumen des Volltorus beträgt (siehe Zweite Guldinsche Regel).

Betrachtet man nur den inneren Teil des Torus, der von der -Achse einen Abstand kleiner gleich hat, ergibt sich die Oberfläche

Der äußere Teil des Torus, der von der -Achse einen Abstand größer gleich hat, hat die Oberfläche

Torus als Rotationsfläche rechts|rahmenlos|400px mini|200px|Ein radial … mini|200px|… und ein entlang der Kreislinie mit Radius aufgeschnittener Torus in 3D Ein Rotationstorus ist eine Rotationsfläche, die durch Rotation eines Kreises um eine in der Kreisebene liegende und den Kreis nicht schneidende Rotationsachse erzeugt wird.Ilja N. Bronstein, Konstantin A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. Harri Deutsch Verlag, 1983, ISBN 3-87144-492-8, S. 253.Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 202, 209.C. Leopold: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. Verlag W. Kohlhammer, Stuttgart 2005, ISBN 3-17-018489-X, S. 123, 129. Ein Rotationstorus kann als Menge der Punkte beschrieben werden, die von einer Kreislinie mit Radius den festen Abstand haben, wobei ist. In kartesischen Koordinaten mit der als Rotationsachse und den Mittelpunkten des rotierenden Kreises in der wird er durch die Gleichung

beschrieben. Durch Beseitigen der Wurzel ergibt sich eine Gleichung 4. Grades:

Man kann in der Torusoberfläche eine toroidale Koordinate und eine dazu senkrechte poloidale Koordinate einführen. Man denkt sich den Torus als durch einen Kreis entstanden, der um eine in der Kreisebene liegende Achse rotiert wird. Den Radius des ursprünglichen Kreises nennen wir , dieser Kreis bildet auch gleichzeitig eine Koordinatenlinie von . Den Abstand des Kreismittelpunkts von der Achse nennen wir die Koordinatenlinien von sind Kreise um die Drehachse. Beide Koordinaten sind Winkel und laufen von bis .

Parametrisierung Die Umrechnung von Toruskoordinaten in kartesische Koordinaten erfolgt so:

Toruskoordinaten sind in der Kernfusionstechnologie von Bedeutung, siehe Kernfusionsreaktor.

Ebene Schnitte Schnitte mit Ebenen, die die Rotationsachse enthalten, sind Kreispaare. Schnitte mit Ebenen, die zur Rotationsachse senkrecht sind, sind Kreispaare oder ein Kreis oder leer. Eine zur Rotationsachse parallele Ebene schneidet aus einem Torus eine spirische Kurve aus. In Sonderfällen kann dies eine Cassinische Kurve sein. Eine geneigte Ebene, die zwei Erzeugerkreise berührt, schneidet Villarceau-Kreise aus.

Tori in der Darstellenden Geometrie In der Darstellenden Geometrie verwendet man Teile eines Torus zur Konstruktion von Übergangsflächen zwischen Zylindern. Die Darstellung eines Torus durch seinen Umriss findet man in Umrisskonstruktionen.

Allgemeine Definition mini|Der 2-dimensionale Torus als Produkt zweier Kreise Mit werde der Kreis (die 1-Sphäre) bezeichnet. Der -Torus ist dann definiert durch ,

wobei das Produkt topologischer Räume ist. Die im vorhergehenden Abschnitt beschriebene Rotationsfläche ist ein 2-Torus. Der 2-Torus wird meist einfach Torus genannt.John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 8.

Topologische Eigenschaften Struktur einer Mannigfaltigkeit Der -Torus ist eine topologische Mannigfaltigkeit. Dies folgt aus der Tatsache, dass der -Torus das topologische Produkt aus 1-Sphären ist und die 1-Sphäre selbst eine topologische Mannigfaltigkeit ist. Die 1-Sphäre ist zusätzlich auch eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und, da das Produkt differenzierbarer Mannigfaltigkeiten wieder eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ergibt, ist der -Torus ebenfalls eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 21. Die Dimension von ist gleich .

Topologische Eigenschaften Ebenfalls direkt aus der Definition folgt, dass der -Torus kompakt ist. Außerdem ist er wegzusammenhängend. Im Gegensatz zur -Sphäre ist der -Torus für nicht einfach zusammenhängend.

Die Abbildung , definiert durch , ist die universelle Überlagerung des -Torus.Tammo tom Dieck: Topologie. de Gruyter, Berlin 2000, ISBN 3-11-016236-9, S. 52.

Lie-Gruppe Die 1-Sphäre, aufgefasst als Kreisgruppe, ist außerdem eine Lie-Gruppe. Da das Produkt mehrerer Lie-Gruppen mit der komponentenweisen Multiplikation wieder eine Lie-Gruppe ist, ist auch der -Torus eine Lie-Gruppe.John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 39.

Eingebettete Tori Flache Tori mini|Modell eines flachen Torus: Das Papier muss nur gebogen, nicht gestreckt werden.

Da die Kreislinie offensichtlich in den eingebettet werden kann, kann der als Teilmenge des euklidischen Raums aufgefasst werden. Man betrachtet auf die riemannsche Metrik , die durch die euklidische Metrik des Raums auf dem induziert wird. Diese Metrik ist flach, das heißt, der ist lokal isometrisch zu einer Umgebung des .John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218.) Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 289. Insbesondere ist daher seine Schnittkrümmung überall konstant null. Da der kompakt und somit auch vollständig ist, ist er eine flache Mannigfaltigkeit. Man spricht daher auch von einem flachen Ein flacher kann nicht längentreu auf einen Rotationstorus im abgebildet werden, denn die Schnittkrümmung des Rotationstorus ist nicht überall null wie beim flachen

Es gibt neben der oben beschriebenen noch weitere flache Metriken auf dem Torus. Flache können beschrieben werden durch ein Parallelogramm, dessen gegenüberliegende Seiten zusammengeklebt werden. Äquivalent dazu können flache Tori als topologische Faktorgruppen für zwei linear unabhängige Vektoren beschrieben werden. Im Spezialfall und erhält man den Quotienten .

Elliptische Kurven über den komplexen Zahlen lassen sich mittels der Weierstraßschen Parametrisierung als für ein Gitter darstellen und sind dadurch (mit einer translationsinvarianten Metrik) Beispiele für flache Tori. Der Modulraum der elliptischen Kurven oder äquivalent der flachen ist die sogenannte Modulkurve.

Tori im dreidimensionalen Raum Eine 2-mal differenzierbare Einbettung des Torus in den dreidimensionalen Raum kann nicht flach sein, weil die lokalen Extrema Punkte positiver Krümmung sein müssen. Nach dem Einbettungssatz von Nash gibt es jedoch fraktale (nur 1-mal differenzierbare) Einbettungen des flachen Torus in den dreidimensionalen Raum. Diese können auch numerisch konstruiert werden.V. Borrelli, S. Jabrane, F. Lazarus, B. Thibert: In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2012, 109, no. 19, S. 7218–7223; abgerufen am 7. Juli 2022.Mathématiques: première image d’un tore plat en 3D. CNRS, Pressemitteilung, 20. April 2012, abgerufen am 7. Juli 2022.

Ein Rotationstorus ist ein im eingebetteter 2-Torus, der als Menge der Punkte beschrieben werden kann, die von einer Kreislinie mit Radius den festen Abstand haben, wobei ist.

Clifford-Tori Ein Clifford-Torus ist ein spezieller in eingebetteter Torus. Nach der Identifizierung und lässt sich der Standard-Cliffordtorus beschreiben als . Weiters werden die Bilder von unter Isometrien der Standard-Metrik als Clifford-Tori bezeichnet.

Mittels stereographischer Projektion kann man Clifford-Tori auch als in den eingebettete Tori auffassen.

Ein Clifford-Torus ist eine Minimalfläche bzgl. der Standardmetrik auf der . Die von Brendle bewiesene Lawson-Vermutung besagt, dass jeder als Minimalfläche in die eingebettete Torus ein Clifford-Torus ist.

Konstruktion aus einem Quadrat oder Würfel Konstruktion zweidimensionaler Tori aus einem Quadrat oder Parallelogramm mini|Den Torus erhält man aus einem Quadrat durch Verkleben gegenüberliegender Seiten. mini|189px|Eigenschaften des 3-Torus