Ziegenproblem

miniatur|hochkant=1.4|Das Problem: Hinter einer von drei Türen befindet sich ein Auto, hinter den anderen je eine Ziege. Mit der Aussicht auf den Gewinn des Autos wählt der Kandidat eine Tür. Der Moderator, der weiß, was hinter den Türen steht, öffnet aber eine andere Türe, hinter der sich eine Ziege befindet, und bietet dem Kandidaten an, die Tür zu wechseln. Ist es vorteilhaft für den Kandidaten, die Tür zu wechseln?

Das Ziegenproblem, Drei-Türen-Problem, Monty-Hall-Problem oder Monty-Hall-Dilemma ist eine Aufgabe aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es wird oft als Beispiel herangezogen, um zu zeigen, dass die menschliche Intuition zu Trugschlüssen neigt, wenn es um das Schätzen von Wahrscheinlichkeiten geht.Stefan Krauss, X. T. Wang: In: Journal of Experimental Psychology: General. 132 (1)2003.

Die Aufgabe wurde zuerst von dem Biostatistiker Steve Selvin formuliert. Er stellte sie 1975 im American Statistician in einem Leserbrief vor. Die Beschreibung war lose an den Ablauf der amerikanischen Spielshow Let's make a deal angelehnt (in Deutschland von Sat.1 unter dem Titel Geh aufs Ganze! produziert). Im englischen Sprachraum wurde die Aufgabe nach Monty Hall, dem Moderator der Spielshow, benannt.

1990 veröffentlichte Marilyn vos Savant einen Leserbrief, der die Aufgabe erstmals mit Ziegen und Türen formulierte, in ihrer Kolumne „Ask Marilyn“ im Magazin Parade. Dieser Leserbrief wurde danach im deutschen Sprachraum als Ziegenproblem bekannt.

Neuformulierung des Problems Die Aufgabenstellung von Marilyn vos Savant beruht auf einem Leserbrief, den sie von Craig F. Whitaker aus Columbia, Maryland, erhalten hatte: Ihre Antwort lautete:

Für die Lösung machte vos Savant implizit mehrere Annahmen.Marilyn vos Savant: Brainpower – Die Kraft des logischen Denkens. Rowohlt Verlag GmbH, 2001, ISBN 3-499-61165-1 Das von ihr gelöste Problem hat die folgende Form:

Nehmen Sie an, Sie wären in einer Spielshow und hätten die Wahl zwischen drei Türen. Hinter einer der Türen ist ein Auto, hinter den anderen sind Ziegen. Das Auto und die Ziegen sind vor der Show zufällig auf die Türen verteilt worden. Sie haben keine Information über die Position des Autos. Der Moderator weiß, was sich hinter den Türen befindet. Die Spielregeln lauten:Peter R. Mueser, Donald Granberg: In: University of Missouri Working Paper. 1999-06.Jeffrey S. Rosenthal: Monty Hall, Monty Fall, Monty Crawl. (PDF; 70 kB) In: Math Horizons. September 2008, S. 5–7.Richard Williams: "Appendix D: The Monty Hall Controversy" (PDF) In:"Course notes for Sociology Graduate Statistics" 2004 Sie wählen zuerst eine Tür aus. Diese bleibt geschlossen. Der Moderator muss nun eine der beiden verbleibenden Türen öffnen. Hinter der von ihm geöffneten Tür muss sich eine Ziege befinden. Nachdem der Moderator eine Tür mit einer Ziege geöffnet hat, fragt er Sie, ob Sie bei Ihrer ersten Wahl bleiben oder zur letzten verbliebenen Tür wechseln möchten. Sie wählen eine Tür, sagen wir, Tür Nummer 1, und der Moderator, der weiß, was hinter den Türen ist, öffnet eine andere Tür, sagen wir, Nummer 3, hinter der eine Ziege steht. Er fragt Sie nun: ‚Möchten Sie die Tür Nummer 2?‘ Ist es von Vorteil, die Wahl der Tür zu ändern?

Die zusätzlichen Annahmen sind nötig, weil die Aufgabenstellung von vos Savant mehrdeutig ist. Mueser und Granberg bezeichnen das Problem mit diesen Zusatzannahmen als Monty-Hall-Standard-Problem. Mögliche Spielverläufe bei anderen Annahmen werden im Abschnitt vom launischen Moderator beschrieben.

Einfache Lösungen mini|300px|Das Spiel hat drei gleich wahrscheinliche Anfangszustände. In zweien davon gewinnt der Kandidat das Auto, wenn er wechselt, sonst nicht.

Das Auto steht hinter Tür 1, Tür 2 oder Tür 3. Die Abbildung zeigt den Spielverlauf für die drei Anfangszustände, wenn der Kandidat zuerst Tür 1 wählt.S. Krauss, S. Atmaca: Wie man Schülern Einsicht in schwierige stochastische Probleme vermitteln kann. Eine Fallstudie über das „Drei-Türen-Problem“. In: Unterrichtswissenschaft, 2004, 1, S. 38–57, online

Wenn das Auto hinter Tür 3 steht, darf der Moderator gemäß Regel 2 weder Tür 1 noch Tür 3 öffnen. Er muss also Tür 2 öffnen. Der Kandidat gewinnt, wenn er zur noch geschlossenen Tür 3 wechselt.

Wenn das Auto hinter Tür 2 steht, muss der Moderator gemäß Regel 2 Tür 3 öffnen. Wieder gewinnt der Kandidat, wenn er zur noch geschlossenen Tür wechselt.

Nur wenn das Auto hinter Tür 1 steht, kann der Moderator wählen, ob er Tür 2 oder Tür 3 öffnet. Unabhängig von der Wahl des Moderators gewinnt der Kandidat das Auto, wenn er bei seiner ersten Wahl bleibt.

Zusammenfassung: Der Kandidat wählt in zwei von drei Fällen zuerst eine Tür, hinter der eine Ziege steht, woraufhin der Moderator die andere Tür mit einer Ziege dahinter öffnet. Der Kandidat gewinnt in diesen beiden Fällen, wenn er wechselt. Nur im dritten Fall wählt er zuerst die Tür, hinter der das Auto steht, und verliert, wenn er wechselt. Somit gewinnt der Kandidat mit einer Wahrscheinlichkeit von , wenn er wechselt, und mit einer Wahrscheinlichkeit von , wenn er bleibt.Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen. Springer Spektrum, 6. Auflage 2012, ISBN 978-3-8348-1923-9, doi:10.1007/978-3-8348-2319-9, S. 34–38.Ehrhard Behrends: Fünf Minuten Mathematik, Vieweg, 1. Auflage 2006, ISBN 978-3-8348-0082-4, doi:10.1007/978-3-8348-9013-9, S. 32–39

FallZuerst gewähltMit WahrscheinlichkeitWechseln ist1Ziege2/3gut2Auto1/3schlecht

Manche Quellen geben diese Lösung an, ohne den Einfluss von Regel 2 ausführlich zu erklären. Das kann dazu führen, dass man glaubt, dass man die einfache Lösung verstanden hat und danach versucht, sie auf Probleme zu übertragen, für die sie nicht zutrifft.

Man kann auch die beiden nicht gewählten Türen gemeinsam betrachten. Wenn der Kandidat bei seiner ersten Wahl bleibt, bleibt seine Gewinnwahrscheinlichkeit bei 1/3. Wenn der Kandidat wechselt, dann wirkt sich das so aus, als ob er bei der ersten Wahl die beiden nicht gewählten Türen gewählt hätte. Dadurch steigt seine Gewinnwahrscheinlichkeit auf 2/3. Somit ist klar, dass er wechseln sollte.

Formale Lösungen Totale Gewinnwahrscheinlichkeit nach Türwechsel Die Ereignisse zur Türwahl werden zerlegt in und : Der Kandidat hat anfangs die Tür zum Auto bzw. zu einer Ziege gewählt und : Der Kandidat hat nach dem Wechsel das Auto bzw. eine Ziege gewonnen. Die anfängliche Wahl ist zufällig und mit den Wahrscheinlichkeiten und behaftet.

Wenn der Kandidat immer die Tür wechselt, ergeben sich durch Regel 2 der Problemformulierung die bedingten Wahrscheinlichkeiten und .Bei vorgestellter Erweiterung des Spiels um zusätzliche Türen hätte der Spieler im Allgemeinen mehrere Türen zur Auswahl, zu denen er wechseln könnte. Die bedingten Wahrscheinlichkeiten und nähmen dann Werte größer als 0 und kleiner als 1 an, so dass sie intuitiver als Wahrscheinlichkeiten wahrnehmbar wären. Das hier behandelte Drei-Türen-Spiel verwirklicht so gesehen den Grenzfall mit einem Auto, einer enthüllten und einer verborgenen Ziege. Siehe: Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff: Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen. Springer Spektrum, 7. Auflage 2018, ISBN 978-3-658-21764-8, doi:10.1007/978-3-658-21765-5, S. 37 f.

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für den Autogewinn nach Wechsel der anfangs gewählten Tür ergibt sich mit dem Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit als . Der Wechsel verdoppelt die Gewinnchance von auf . Dieses Resultat ist unabhängig davon, ob der Moderator eine Tür bevorzugt öffnet, wenn er zwischen zwei Türen mit einer Ziege dahinter wählen kann.

Die relevanten Zahlenwerte und Formeln sind im Folgenden tabellarisch zusammengestellt.

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|} Anfängliche Ereigniswahrscheinlichkeiten (ohne Türwechsel)

{| class="wikitable" ! !! !! |- | || 0 || 1 |- | || 1 || 0 |} : Bedingte Ereigniswahrscheinlichkeiten bei Türwechsel

{| class="wikitable" ! !! !! |- | || 0 || 1/3 |- | || 2/3 || 0 |} : Schnittwahrscheinlichkeiten der Ereignisse

{| class="wikitable" |- ! !!

: Ereigniswahrscheinlichkeiten bei Türwechsel

Lösung des Einzelfalls mit dem Satz von Bayes Es sind die Ereignisse definiert:

: Der Gewinn ist hinter Tür () : Der Moderator hat die Tür geöffnet ()

Es liegt folgende Situation vor: Der Kandidat hat Tür 1 gewählt, und der Moderator hat daraufhin Tür 3 geöffnet. Lohnt es sich für den Kandidaten zu wechseln? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Auto hinter Tür 2 ist? Gesucht ist also die bedingte Wahrscheinlichkeit , dass das Auto hinter Tür 2 ist, wenn bekannt ist, dass es nicht hinter Tür 3 ist. Man kann diese Wahrscheinlichkeit mit dem Satz von Bayes ermitteln.

Dabei geht man von den bekannten Spielregeln und dem oben beschriebenen Einzelfall aus. Zusätzlich nimmt man an, dass der Moderator, wenn er zwischen zwei Türen mit einer Ziege dahinter wählen kann, jede der beiden Türen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit öffnet. Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

Die Anwendung des Satzes von Bayes ergibt dann:

Der Kandidat sollte also wechseln, um seine Gewinnchancen von anfangs auf nun zu verdoppeln.

Kontroversen Das Ziegenproblem wird oft kontrovers diskutiert.

Die meisten Menschen vermuten, dass es beim Monty-Hall-Standard-Problem keinen Unterschied macht, ob der Kandidat wechselt oder nicht. Viele begründen ihre Vermutung damit, dass es noch zwei geschlossene Türen gibt, hinter denen ein Auto und eine Ziege stehen, und deshalb die Gewinnwahrscheinlichkeit für beide Türen gleich hoch sei. Diese Vermutung wird durch die einfachen Lösungen widerlegt. Man sieht, wie der Moderator durch das gezielte Herausnehmen einer Ziege aus dem Spiel die Wahrscheinlichkeit erhöht, dass hinter der verbleibenden Tür das Auto steht.

Es gibt auch Diskussionen darüber, ob sich die Frage, ob der Kandidat wechseln sollte, konkret auf den beschriebenen Einzelfall bezieht oder ob dieser Einzelfall nur ein Beispiel für unterschiedliche Spielverläufe ist. Falls der Kandidat beim Monty-Hall-Standard-Problem zunächst Tür 1 mit einem Auto dahinter gewählt hat und der Moderator danach Tür 3 aufgrund einer Bevorzugung gegenüber Tür 2 geöffnet hat, dann unterscheidet sich für diesen Einzelfall die Gewinnwahrscheinlichkeit beim Wechseln von der totalen Gewinnwahrscheinlichkeit . Ein solcher Einzelfall wird anhand des faulen Moderators ausgeführt.

Außerdem gibt es das Argument, dass die zusätzlichen Annahmen des Monty-Hall-Standard-Problems in der Aufgabenstellung von vos Savant fehlen. Bei anderen Annahmen wäre es beispielsweise auch möglich, dass der Moderator dem Kandidaten den Wechsel nur angeboten hat, weil dieser im ersten Schritt die Tür gewählt hat, hinter der das Auto steht und der Moderator ihn von dieser Tür weglocken möchte. Wenn der Kandidat zuerst eine Tür mit einer Ziege dahinter gewählt hätte, dann hätte der Moderator diese Tür sofort geöffnet und das Spiel beendet.John Tierney: Behind Monty Hall’s Doors: Puzzle, Debate and Answer? In: The New York Times. 21. Juli 1991. Dieses Argument wird anhand des launischen Moderators ausgeführt.

Varianten Der faule Moderator Bei dieser Variante des Monty-Hall-Standard-Problems bevorzugt der Moderator, wenn er wählen kann, eine bestimmte Tür, weil er möglichst wenig laufen möchte. Angenommen, er steht normalerweise neben Tür 3. Dann öffnet er immer die Tür mit der höchsten Zahl.

Die daran angepasste Regel 2 lautet: Der Moderator muss nun eine der beiden verbleibenden Türen öffnen. Hinter der von ihm geöffneten Tür muss sich eine Ziege befinden. Falls sich hinter beiden Türen eine Ziege befindet, öffnet er immer die Tür mit der höchsten Zahl.

Wenn also hinter der vom Kandidaten gewählten Tür 1 das Auto stünde, dann würde er mit Sicherheit Tür 3 öffnen und auf keinen Fall Tür 2.

Einfache Lösung

Für die folgende Erklärung wird angenommen, dass der Kandidat zu Anfang Tür 1 gewählt hat.