Tensor

Ein Tensor ist eine multilineare Abbildung, die eine bestimmte Anzahl von Vektoren auf einen Vektor abbildet und eine universelle Eigenschaft erfüllt.Ein elementarer Tensor (oder einfacher Tensor) bildet auf einen Zahlenwert (Skalar) ab. Er ist ein mathematisches Objekt aus der linearen Algebra, das in vielen Bereichen, so auch in der Differentialgeometrie, Anwendung findet und den Begriff der linearen Abbildung erweitert. Der Begriff wurde ursprünglich von Augustin-Louis Cauchy als Spannungstensor in der Kontinuumsmechanik eingeführt, und erst später mathematisch präzisiert. In der Physik ist er weiterhin wichtig unter anderem in der allgemeinen Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik.

In der Differentialgeometrie und den physikalischen Disziplinen werden meist keine Tensoren im Sinn der linearen Algebra betrachtet, sondern Tensorfelder, die oft vereinfachend ebenfalls als Tensoren bezeichnet werden; ein Tensorfeld ist eine Abbildung, die jedem Punkt des Raums einen Tensor zuordnet. Viele physikalische Feldtheorien handeln von Tensorfeldern, das prominenteste Beispiel ist die allgemeine Relativitätstheorie. Das mathematische Teilgebiet, das sich mit der Untersuchung von Tensorfeldern befasst, heißt Tensoranalysis und ist ein wichtiges Werkzeug in den physikalischen und ingenieurwissenschaftlichen Disziplinen.

Begriffsgeschichte mini|Woldemar Voigt mini|Ricci-Curbastro

Das Wort Tensor (abgeleitet vom Partizip Perfekt von ) wurde in den 1840er Jahren von William Rowan Hamilton in die Mathematik eingeführt; er bezeichnete damit den Absolutbetrag seiner Quaternionen, also keinen Tensor im modernen Sinn. James Clerk Maxwell scheint den Spannungstensor, den er aus der Elastizitätstheorie in die Elektrodynamik übertrug, selbst noch nicht so genannt zu haben.

In seiner modernen Bedeutung, als Verallgemeinerung von Skalar, Vektor, Matrix, wird das Wort Tensor erstmals von Woldemar Voigt in seinem Buch Die fundamentalen physikalischen Eigenschaften der Krystalle in elementarer Darstellung (Leipzig, 1898) eingeführt. Reprint 2021: de Gruyter, Berlin ISBN 978-3-11-243943-2. Voigt schreibt auf S. IV:

Unter dem Titel absolute Differentialgeometrie entwickelten Gregorio Ricci-Curbastro und dessen Schüler Tullio Levi-Civita um 1890 die Tensorrechnung auf riemannschen Mannigfaltigkeiten.M. M. G. Ricci, T. Levi-Civita: Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications. In: Mathematische Annalen. 54, 1901, , S. 125–201, Göttinger Digitalisierungszentrum (französisch). Einem größeren Fachpublikum machten sie ihre Ergebnisse 1900 mit dem Buch Calcolo differenziale assoluto zugänglich, aus dem sich Albert Einstein die mathematischen Grundlagen aneignete, die er zur Formulierung der allgemeinen Relativitätstheorie benötigte. Einstein selbst prägte 1916 den Begriff Tensoranalysis und trug mit seiner Theorie maßgeblich dazu bei, den Tensorkalkül bekannt zu machen; er führte überdies die einsteinsche Summenkonvention ein, nach der über doppelt auftretende Indizes unter Weglassung der Summenzeichen summiert wird.

Arten von Tensoren mini|hochkant=1|Das Levi-Civita-Symbol im Dreidimensionalen repräsentiert einen besonders einfachen dreistufigen Tensor

Ausgehend von einem endlichdimensionalen Vektorraum bezeichnet man Skalare als Tensoren vom Typ , Spaltenvektoren als Tensoren vom Typ und Kovektoren (bzw. Zeilenvektoren) als Tensoren vom Typ . Tensoren höherer Stufe definiert man als multilineare Abbildungen mit Tensoren geringerer Stufe als Argumenten und Abbildungswerten. So kann etwa ein Tensor vom Typ als lineare Abbildung zwischen Vektorräumen oder als bilineare Abbildung mit einem Vektor und einem Kovektor als Argumente aufgefasst werden.

Beispielsweise ist der mechanische Spannungstensor in der Physik ein Tensor zweiter Stufe – eine Zahl (Stärke der Spannung) oder ein Vektor (eine Hauptspannungsrichtung) reichen nicht immer zur Beschreibung des Spannungszustandes eines Körpers aus. Als Tensor vom Typ aufgefasst ist er eine lineare Abbildung, die einem Flächenelement (als Vektor) die darauf wirkende Kraft (als Kovektor) zuordnet, oder eine bilineare Abbildung, die einem Flächenelement und einem Verschiebungsvektor die Arbeit zuordnet, die bei der Verschiebung des Flächenstücks unter dem Einfluss der wirkenden Spannung verrichtet wird.

Bezüglich einer fest gewählten Vektorraumbasis erhält man die folgenden Darstellungen der verschiedenen Typen von Tensoren: Ein Skalar durch eine einzelne Zahl Ein Vektor durch einen Spaltenvektor Ein Kovektor durch einen Zeilenvektor Ein Tensor zweiter Stufe durch eine Matrix Die Anwendung des Spannungstensors auf ein Flächenelement ist dann z. B. durch das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor gegeben. Die Koordinaten von Tensoren höherer Stufe können entsprechend in ein höherdimensionales Schema angeordnet werden. So können diese Komponenten eines Tensors anders als die eines Spaltenvektors oder einer Matrix mehr als ein oder zwei Indizes haben. Ein Beispiel für einen Tensor dritter Stufe, der drei Vektoren des als Argumente hat, ist die Determinante einer 3×3-Matrix als Funktion der Spalten dieser Matrix. Bezüglich einer Orthonormalbasis wird er durch das Levi-Civita-Symbol repräsentiert.

Ko- und Kontravarianz von Vektoren

Die Begriffe ko- und kontravariant beziehen sich auf die Koordinatendarstellungen von Vektoren, Linearformen und werden auch, wie später im Artikel beschrieben, auf Tensoren angewandt. Sie beschreiben, wie sich solche Koordinatendarstellungen bezüglich eines Basiswechsels im zugrundeliegenden Vektorraum verhalten.

Legt man in einem -dimensionalen Vektorraum eine Basis fest, so kann jeder Vektor dieses Raumes durch ein eindeutiges Zahlentupel – seine Koordinaten – mittels dargestellt werden. Legt man der Koordinatendarstellung eine andere Basis von zugrunde, so werden sich die Koordinaten (ein und desselben Vektors) bezüglich dieser neuen Basis ändern. Der Übergang zu einer anderen Basis bedingt also eine Transformation der Koordinatendarstellung. Dabei gilt: Ist die neue Basis durch in der alten Basis bestimmt, so ergeben sich die neuen Koordinaten durch Vergleich in

also:

Dreht man zum Beispiel eine orthogonale Basis in einem dreidimensionalen euklidischen Raum um um die -Achse, so drehen sich die Koordinatenvektoren im Koordinatenraum ebenfalls um die -Achse, aber in der entgegengesetzten Richtung, also um . Dieses der Basistransformation entgegengesetzte Transformationsverhalten nennt man kontravariant. Oft werden Vektoren zur Abkürzung der Notation mit ihren Koordinatenvektoren identifiziert, sodass Vektoren allgemein als kontravariant bezeichnet werden.

Eine Linearform oder ein Kovektor ist dagegen eine skalarwertige lineare Abbildung auf dem Vektorraum. Man kann ihr als Koordinaten ihre Werte auf den Basisvektoren, , zuordnen. Die Koordinatenvektoren einer Linearform transformieren sich wie das Basistupel als

weshalb man dieses Transformationsverhalten kovariant nennt. Identifiziert man wieder Linearformen mit ihren Koordinatenvektoren, so bezeichnet man auch allgemein Linearformen als kovariant. Hierbei geht, wie bei Vektoren, die zugrundeliegende Basis aus dem Kontext hervor. Man spricht in diesem Kontext auch von Dualvektoren.

Diese Bezeichnungen werden auf Tensoren übertragen. Dies wird im nächsten Abschnitt zur Definition der -Tensoren erklärt.

Definition (r,s)-Tensorraum Im Folgenden sind alle Vektorräume endlichdimensional über dem Körper . Mit bezeichne man die Menge aller Linearformen aus dem -Vektorraum in den Körper und – allgemeiner – mit die Menge aller -linearen Abbildungen eines -Vektorraums in einen -Vektorraum . Sind Vektorräume über , so werde der Vektorraum der Multilinearformen mit bezeichnet. Entsprechend bezeichne die Menge aller -multilinearen Abbildungen , hier speziell der -fach -linearen Abbildungen. Im Falle von und handelt es sich um Bilinearformen.

Ist ein -Vektorraum, so wird mit sein Dualraum bezeichnet. Dann existieren (gemäß der universellen Eigenschaft) kanonische Isomorphismen

und allgemeiner

Der kanonischen Isomorphie eines Vektorraums mit seinem Bidualraum wegen folgt (durch Ersetzen von durch und mithin von durch ), dass zum Tensorprodukt isomorph ist. (Zur Realisierung des Tensorproduktraums als Raum von Multilinearformen sowie zur kanonischen Identifizierung , die in diesem Abschnitt noch häufiger genutzt wird, siehe die Abschnitte über die universelle Eigenschaft und über Tensorprodukte und Multilinearformen.)

Es gibt natürliche Isomorphismen der folgenden Art:

Diesen natürlichen Isomorphismen liegen die Zurückführung -fach-linearer Abbildungen auf -fach-lineare Abbildungen (vgl. Currying oder Schönfinkeln) einerseits und die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts andererseits – mehrfach angewandt – zugrunde:

Speziell für besteht also der oben behauptete natürliche Isomorphismus

und für die Linearform die Identifikation vorgenommen wird. Es genügt hierbei, die Abbildungen auf den elementaren Tensoren (siehe auch Abschnitt Tensor als Element des Tensorproduktes) als einem Erzeugendensystem über dem Grundkörper festzulegen. Zu ergänzen ist noch, dass in den Fällen und das leere Tensorprodukt entsteht, das mit dem Grundkörper zu identifizieren ist. Insbesondere besteht also für -Vektorräume und die Identifikation .

Definition: Für einen fixierten Vektorraum über einem Körper mit Dualraum sei definiert durch

mit Einträgen von und Einträgen von . Elemente dieser Menge heißen Tensoren, kontravariant der Stufe und kovariant der Stufe . Kurz spricht man von Tensoren vom Typ . Die Summe heißt Stufe oder Rang des Tensors.John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1, S. 172–179.R. Abraham, Jerrold E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications (= Applied mathematical sciences 75). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1988, ISBN 0-387-96790-7, S. 338–339.

Mit den obigen Überlegungen (bei und sowie für bzw. für ) ergibt sich insgesamt

Also realisiert der Vektorraum der Tensoren vom Typ das Tensorprodukt , nämlich durch die obige kanonische Identifikation

.

Diese natürlichen Isomorphismen bedeuten, dass man Tensoren der Stufe auch induktiv als multilineare Abbildungen zwischen Tensorräumen geringerer Stufe definieren kann. Dabei hat man für einen Tensor eines bestimmten Typs mehrere äquivalente Möglichkeiten.

In der Physik sind die Vektorräume in der Regel nicht identisch, z. B. kann man einen Geschwindigkeitsvektor und einen Kraftvektor nicht addieren. Man kann jedoch die Richtungen miteinander vergleichen, d. h., die Vektorräume bis auf einen skalaren Faktor miteinander identifizieren. Daher kann die Definition von Tensoren des Typs entsprechend angewendet werden. Es sei außerdem erwähnt, dass (dimensionsbehaftete) Skalare in der Physik Elemente aus eindimensionalen Vektorräumen sind und dass Vektorräume mit Skalarprodukt mit ihrem Dualraum identifiziert werden können. Man arbeitet z. B. mit Kraftvektoren, obwohl Kräfte ohne die Verwendung des Skalarprodukts als Kovektoren anzusehen sind.

Äußeres Tensorprodukt Als (äußeres) Tensorprodukt oder Tensormultiplikation bezeichnet man eine Verknüpfung zwischen zwei Tensoren. Sei ein Vektorraum und seien und Tensoren. Das (äußere) Tensorprodukt von und ist der Tensor , der durch

definiert ist. Hierbei sind die und die .

Beispiele von (r,s)-Tensoren Im Folgenden seien und endlichdimensionale Vektorräume. Die Menge der (0,0)-Tensoren ist isomorph mit dem zugrunde liegenden Körper . Sie ordnen keiner Linearform und keinem Vektor ein Körperelement zu. Deshalb die Bezeichnung als (0,0)-Tensoren. (0,1)-Tensoren ordnen keiner Linearform und einem Vektor eine Zahl zu, entsprechen somit den Linearformen auf .