In der Analysis beschreiben die Grenzwertsätze von Szegő das asymptotische Verhalten der Determinanten großer Toeplitz-Matrizen. Sie wurden zuerst von Gábor Szegő bewiesen.
Notation Sei eine Fourierreihe mit Fourier-Koeffizienten , wobei
sodass die Toeplitz-Matrizen mit Dimension , , hermitesch sind, das heißt oder äquivalent . Dann sind und die Eigenwerte von reellwertig und die Determinante von ist .
Grenzwertsätze von Szegő Unter geeigneten Bedingungen besagen die Grenzwertsätze von Szegő, dass
für jede auf dem Bild von stetige Funktion . Insbesondere gilt
das heißt, das arithmetische Mittel von konvergiert zum Integral von , nämlich .
Erster Grenzwertsatz von Szegő Der erste Grenzwertsatz von Szegő besagt, dass, wenn gilt und , dann gilt
für und . Dabei ist das geometrische Mittel von (wohldefiniert durch die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel).
Zweiter Grenzwertsatz von Szegő Sei der -te Fourier-Koeffizient von ,
Der zweite (oder starke) Grenzwertsatz von Szegő besagt, dass wenn , dann gilt
Siehe auch Trigonometrisches Momentenproblem Satz von Szegő
Einzelnachweise
Kategorie:Satz (Mathematik)