Morava E-Theorie (auch Lubin-Tate-Theorie oder Johnson-Wilson-Theorie) ist im mathematischen Teilgebiet der Theorie der Spektren ein spezielles Spektrum oder äquivalent eine verallgemeinerte (Ko)homologietheorie. Für eine (in der Notation unterdrückte) Primzahl bilden diese eine Folge an Ringspektren, also eines für jede natürliche Zahl . Morava E-Theorien gehören zum Fundament der chromatischen Homotopietheorie, in welcher ein Spektrum in sogenannte (mono)chromatische Schichten unterteilt wird, welche aus den Bousfield-Lokalisierungen an den verschiedenen Morava E-Theorien, sogenannten chromatischen Lokalisierungen , konstruiert werden. Morava E-Theorie ist nach Jack Morava benannt, der diese in den 1970ern in nicht veröffentlichten Preprints einführte.
Definition Für einen perfekten Körper , also in dem alle irreduziblen Polynome separabel sind, der Charakteristik sei dessen Ring der Witt-Vektoren.Hopkins 1999, Definition 16.4 Sei der Polynomring in Variablen, genannt Lubin-Tate-Ring. Nach dem Satz von Landweber über exakte Funktoren definiert ein formales Gruppengesetz über dem Lubin-Tate-Ring eine verallgemeinerte Kohomologietheorie, welche nach dem Brownschen Darstellungssatz durch ein Spektrum dargestellt werden muss, nämlich genau der Morava E-Theorie . Für diese gilt:
für den Koeffizientenring mit in zweitem Grad.
Eigenschaften
Die chromatische Lokalisierung erhält Smash-Produkte.Lurie 2010, Lecture 22 ist Bousfield-äquivalent zu .Lurie 2010, Lecture 23 ( ist Morava K-Theorie. Zwei Spektren sind Bousfield-äquivalent, wenn ihre verallgemeinerten Homologietheorien auf den genau gleichen topologischen Räumen verschwinden. Für jeden topologischen Raum , gilt also genau dann wenn und .) ist -lokal.Lurie 2010, Lecture 35 ( ist Morava K-Theorie. -lokal bedeutet, dass jeder Spektrenmorphismus aus einem -azyklischen Spektrum nullhomotop ist. -azyklisch bedeutet, dass .) Eine zusammenhängende geschlossene spin 10-Mannigfaltigkeit ist verallgemeinert orientierbar in zweiter Morava E-Theorie (für ) genau dann wenn dessen siebte integrale Stiefel-Whitney-Klasse verschwindet.
E(n)-lokale Sphären Für das Sphärenspektrum (mit ) werden dessen chromatische Lokalisierungen auch -lokale Sphären genannt.
Siehe auch
Morava K-Theorie
Literatur
Weblinks
Morava E-theory auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Homotopietheorie