Morava K-Theorie ist im mathematischen Teilgebiet der Theorie der Spektren ein spezielles Spektrum oder äquivalent eine verallgemeinerte (Ko)homologietheorie. Für eine (in der Notation unterdrückte) Primzahl bilden diese eine Folge an Ringspektren, also eines für jede natürliche Zahl . Morava K-Theorie ist nach Jack Morava benannt, der diese in den 1970ern in nicht veröffentlichten Preprints einführte.
Definition Sei der endliche Körper mit Elementen. Morava K-Theorie ist das eindeutige komplex orientierte homotopieassoziative Spektrum mit formaler Gruppe von Höhe und mit dem Koeffizientenring:Lurie 2010, Lecture 22
Sei der Ring mit -adischen Zahlen. Integrale Morava K-Theorie ist das eindeutige komplex orientierte homotopieassoziative Spektrum mit formaler Gruppe von Höhe und mit dem Koeffizientenring:
In beiden Fällen ist im Polynomring vom Grad .
Beispiele ist das rationale Eilenberg-MacLane-Spektrum, welches gewöhnliche rationale singuläre Homologie und rationale singuläre Kohomologie darstellt. ist ein Summand der komplexen K-Theorie modulo .
Eigenschaften
Für jede Primzahl und jede natürliche Zahl ist Morava K-Theorie ein Körper, also der graduierte Ring sogar ein graduierter Körper, also jedes nichtverschwindende homogene Element invertierbar.Lurie 2010, Lecture 24 Eine zusammenhängende geschlossene spin 10-Mannigfaltigkeit ist verallgemeinert orientierbar in zweiter integraler Morava K-Theorie (für ) genau dann wenn dessen siebte integrale Stiefel-Whitney-Klasse verschwindet.
K(n)-lokale Sphären
Für das Sphärenspektrum (mit ) werden dessen Bousfield-Lokalisierungen auch -lokale Sphären genannt.
Siehe auch
Morava E-Theorie
Literatur
Einzelnachweise
Weblinks
Morava K-theory auf nLab (englisch)
Kategorie:Homotopietheorie