In der Mathematik ist der Volumenvergleichssatz von Bishop und Gromov ein Vergleichssatz der Riemannschen Geometrie, der das Volumenwachstum in Mannigfaltigkeiten mit unterer Krümmungsschranke beschreibt. Er ist nach Richard L. Bishop und Mikhael Gromov benannt.
Es sei eine -dimensionale vollständige zusammenhängende Riemannsche Mannigfaltigkeit, für deren Ricci-Krümmung die Ungleichung
mit einer Konstante gilt. Sei die einfach zusammenhängende vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit mit konstanter Schnittkrümmung . Dann gilt für das Volumen der Kugeln vom Radius um beliebige Punkte und , dass die Funktion
für den Grenzwert in erfüllt und dass auf monoton fallend ist. Insbesondere ist für alle Wenn für ein die Gleichheit gilt, dann sind die Kugeln und isometrisch.
Zu den Anwendungen des Volumenvergleichssatzes gehören Cheng's Durchmesserstarrheitssatz und der Kompaktheitssatz von Cheeger und Gromov.
Kategorie:Satz (Riemannsche Geometrie)