Eine Dolgachev-Fläche ist im mathematischen Teilgebiet der komplexen Geometrie eine komplexe Fläche und damit insbesondere eine orientierte vierdimensionale glatte Mannigfaltigkeit (kurz 4-Mannigfaltigkeit), welche homöomorph zum neunfachen Blow-Up des zweiten komplexen projektiven Raumes ist, also der verbundenen Summe . (Dabei notiert den zweiten komplexen projektiven Raum mit umgekehrter Orientierung.) Diese verfügt über eine von den einzelnen komplexen Flächen vererbte kanonische glatte Struktur. Es gibt zusätzlich abzählbar unendlich viele exotische glatte Strukturen, also müssen verschiedene Dolgachev-Flächen nicht unbedingt diffeomorph sein. Benannt sind Dolgachev-Flächen nach Igor Dolgachev, der diese im Jahr 1981 erstmals untersucht hat. Ein Blow-Up weniger, also , führt zu den Barlow-Flächen.
Beschreibung
Für die verbundene Summe zweier orientierbarer geschlossene topologische 4-Mannigfaltigkeiten und gilt für ihre Fundamentalgruppe mit dem freien Produkt und Scorpan 05, S. 118 für ihre Schnittform. Da und damit einfach zusammenhängend sind (also mit trivialer Fundamentalgruppe ) sowie und Scorpan 05, S. 124 ist einfach zusammenhängend mit Schnittform:
Nach der Klassifikation von Freedman ist jede einfach zusammenhängende orientierbare geschlossene glatte 4-Mannigfaltigkeit mit dieser Schnittform direkt homöomorph zu . Mit dem falschen zweiten komplexen projektiven Raum Scorpan 05, S. 242 kann zwar durch auch eine nicht glättbare Mannigfaltigkeit gleicher Schnittform konstruiert werden, jedoch werden diese nicht zu den Dolgachev-Flächen gezählt.
Mit der E8-Form , der eindeutigen positiv definiten geraden symmetrischen unimodularen Bilinearform mit Signatur Scorpan 05, S. 125 (nach dem Lemma von van der Blij die kleinste mögliche), gibt es folgenden Isomorphismus von Formen, welcher direkt aus der Klassifikation von Serre folgt:
Nach der Klassifikation von Freedman übersetzt sich diese Identität mit der E8-Mannigfaltigkeit , deren Schnittform genau die E8-Form ist, in einem Homöomorphismus:
Auf der linken Seite muss dabei der falsche zweite komplexe projektive Raum verwendet werden, da die E8-Mannigfaltigkeit nicht glättbar ist. Eine verbundene Summe mit dem zweiten komplexen projektiven Raum würde diese Eigenschaft erhalten, daher kann ein Homöomorphismus zur glatten Mannigfaltigkeit auf der rechten Seite nicht existieren.
Mit dem Diffeomorphismus ergibt sich durch weitere verbundene Summen zudem ein Diffeomorphismus , daher kann eine Dolgachev-Fläche auch als achtfacher Blow-Up der komplexen Fläche aus zwei Riemannschen Zahlenkugeln interpretiert werden.
Eigenschaften
Jede verbundene Summe mit besitzt eine Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung (Ricci-Krümmung).Salamon 99, Corollary 2.19
Detektion exotischer Strukturen Da mit der induzierten glatten Struktur eine Riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt verschwinden sämtliche Seiberg-Witten-Invarianten. Ist eine glatte Mannigfaltigkeit also homöomorph zu , was wie oben ausgeführt mithilfe der Klassifikation von Freedman gezeigt werden kann, und hat eine nicht verschwindende Seiberg-Witten-Invariante, dann muss dessen glatte Struktur folglich exotisch sein.
Literatur
Weblinks
Dolgachev surface auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialtopologie