Das Wright-Fisher-Modell ist ein stochastisches Modell in der Evolutionsbiologie, Populationsgenetik und Phylogenetik. Es ermöglicht, die Entwicklung genetischer Variabilität innerhalb einer Population zu simulieren. Mithilfe des Modells lässt sich bei Betrachtung von zwei Allelen in einer Population bestimmen, ob eines der beiden Allele dominiert und letztendlich fixiert. Das Modell ist nach Sewall Wright und Ronald Aylmer Fisher benannt und von ihnen sowie Patrick Alfred Pierce Moran entwickelt. Es diente Motoo Kimura als Grundlage für die Entwicklung seiner neutralen Theorie der molekularen Evolution.

Annahmen alternativtext=Schematische Darstellung über vier Zeitschritte der Verbreitung zweier Allele, wovon eines im letzten Schritt fixiert|mini|402x402px|Entwicklung der Allelverteilung in einer biallelen Population In diesem Artikel steht für die natürlichen Zahlen ohne die Null, während die Null enthält.

Betrachte zwei Allele und , die gemeinsam den Zustandsraum aufstellen. Weiter betrachte eine Population haploïder, ungeschlechtlich fortpflanzende Individuen. Es wird angenommen, dass die Anzahl der Individuen je Generation sehr groß ist, . Die Individuen der ersten Generation besitzen nach dem Zufallsprinzip eines der zwei Allelen. Jedes Individuum lebt nur für eine Generation. Die Individuen der nachfolgenden Generation wählen aus der vorangegangenen jeweils einen beliebigen Vorfahren.

Modell Sei und ein nicht-leerer meßbarer Raum. Dann heißt der stochastische Prozess mit Werten in Wright-Fisher-Ahnenprozess, wenn für alle und gilt, dass gleichverteilt auf ist und unabhängig von allen ist für und .

Für wird mit dem Ereignis beschrieben, dass das -te Individuum der -ten Generation der Vorgänger des -ten Individuums der -ten Generation ist. Mit Gentypkonfiguration des Wright-Fisher-Ahnenprozesses wird der stochastische Prozess bezeichnet, wofür ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf ist und wenn für alle und gilt.Man beobachte, dass eine retrospektive Sicht damit einnimmt. Die Nachfolger wählen ihre jeweiligen Vorgänger aus. Eine prospektive Sicht lässt sich ebenfalls formulieren mithilfe des Vektors mit , sodass und wodurch die Vektoren jeweils austauschbar für festes sind.

Eigenschaften Setze den Zählprozess der Anzahl Individuen mit dem Allel in der -ten Generation. Jede Generation lässt sich als Bernoulli-Kette auffassen. Die Übergänge folgen einer Binomialverteilung mit Parametern, also mit die Frequenz des Allels in der -ten Generation. Die beiden Prozesse und sind sowohl zeithomogene Markow-Ketten auf beziehungsweise als auch Martingale bezüglich der kanonischen Filtrierung. Ihre absorbierenden Zustände sind die Randwerte beziehungsweise . Die bedingte Varianz von ist und von ist sie , was bedeutet, dass die Frequenzfluktuation wesentlich bedeutender um den Median als an den Rändern ist.

Sowohl die Austauschbarkeit als auch die Martingaleigenschaft garantieren, dass das Wright-Fisher-Modell neutral ist. Es wird keine Selektion vorgenommen.

Eintrittswahrscheinlichkeit der Allelfixierung Bezeichne mit den (zufälligen) ersten Zeitpunkt, wofür , d. h. wofür eines der beiden Allele fixiert. ist eine Stoppzeit, wofür dem Stoppsatz folgend gilt. Da , gilt außerdem , wobei die Indikatorfunktion. Es lässt sich zeigen, dass einer geometrischen Verteilung folgt und fast sicher endlich ist.Entgegen dem Hardy-Weinberg-Modell, wo eine Fixierung nicht notwendigerweise eintritt. Beachte, dass jenes Modell eine unendliche große Population annimmt. Der erwartete Fixierungseintritt wächst linear mit der Populationsgröße .Das lineare Verhältnis zwischen Populationsgröße und erwartetem Fixierungseintritt bedeutet, dass z. B. in einer Population von Individuen die Allelfixierung um die -te Generation herum geschieht.

Es lässt sich zeigen, dass durch eine geometrisch verteilte Zufallsvariable mit Erfolgswahrscheinlichkeit dominiert wird.

Heterozygosität der Stichprobe Unter der Heterozygosität der Stichprobe wird die Wahrscheinlichkeit verstanden, dass zwei beliebig gezogene Stichproben der Population verschiedene Typen des Allels besitzen. Für ist die Heterozygosität durch definiert. Der Erwartungswert ist und fällt geometrisch mit ab. Die genetische Variation verringert sich demnach schnell über wenige Generationen.

Beziehung zu Kingmans Koaleszenz alternativtext=Schematische Darstellung eines Koaleszenten von Kingman|links|mini|144x144px|Schematisches Beispiel eines Koaleszenten Betrachte zwei Individuen einer selben Generation und setze die Zeitspanne bis zum letzten gemeinsamen Vorfahren. Indem die Zeitsprünge infinitesimal klein werden, lässt sich der Zählprozess mithilfe des Donskerschen Invarianzprinzips in eine Diffusion mit Dynamik entwickeln, wobei ein Wienerprozess. Diese Diffusion wird auch Wright-Fisher-Grenzprozess oder Wright-Fisher-Diffusion genannt.Es handelt sich dabei um einen Sonderfall der Jacobi-Diffusion, die selbst einen Sonderfall der Pearson-Diffusion darstellt. Beachte, dass der Prozess nicht den gängigen Stetigkeitsargumenten (z. B. Satz von Yamada-Watanabe) unterfällt.

Das Modell nähert sich damit der Koaleszenz von Kingman an. Indem mit dem reinen Sterbeprozess die Anzahl der Linien der Koaleszenz beschrieben wird, lässt sich die Dualität beobachten, wobei linkerhand der -te Moment gemeint ist. Es gilt somit für beliebiges . Ein Erzeuger des Zählprozesses ist von der Form und vom reinen Sterbeprozess von der Form . Indem und sei, folgt , womit eine Dualität zwischen Kingmans Koaleszenz und einem reinen Sterbeprozess hergestellt wird.Dualitäten zwischen Markow-Prozessen sind rar, aber im gegebenen Falle ist einer der dualen Prozesse häufig einfacher in der Manipulation.

Verallgemeinerungen Das Wright-Fisher-Modell ist ebenso wie das Moran-Modell ein Sonderfall des Cannings-Modells.

Genmutationen Das Modell lässt sich um Genmutationen erweitern. Dabei wird angenommen, dass die Mutationen schwach, d. h. selten vorkommen, und neutral sind, d. h. dass Mutanten keinen selektiven Vor- oder Nachteil gegenüber den anderen Individuen besitzen.Eine schwache Mutation kommt seltener als ein Zehnmillionstel vor. Die meisten Mutationen sind nicht nur neutral, sondern sogar stumm, d. h. Genotypänderungen führen zu keinerlei Phänotypänderungen. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nachkomme eines Individuums mit Allel selbst das Allel besitzt, ist durch gegeben, wobei die Mutationsrate vom Allel zum Allel . Die Übergangswahrscheinlichkeit wird dadurch zu mit die angepasste Allelfrequenz. Der Zählprozess ist folglich kein Martingal mehr, aber weiterhin eine Markow-Kette. Im Gegensatz zum Fall ohne Mutationen ist nun die Markow-Kette irreduzibel und sogar ergodisch.

Die Dynamik des Wright-Fisher-Prozesses ändert sich zu Dieser starke Markow-Prozess hat eine eindeutige stationäre Verteilung gegeben durch die Beta-Verteilung .

Das Modell mit Genmutationen lässt sich sowohl auf endlich viele Allele erweitern, als auch auf unendlich viele mithilfe der Stichprobenformel von Ewens. Um sicherzustellen, dass keine Mutationen an derselben Stelle doppelt vorkommen, muss das Modell insofern erweitert werden, als dass die Mutationen an Myriaden von Stellen im Genom stattfinden können. Die Mutationen lassen sich in eine dünnbesetzte Matrix übertragen, wobei die Zeilen die Generationen und die Spalten die Genomstellen darstellen. Damit lässt sich dann der entsprechende Koaleszent entwickeln. Die Mutationsrate lässt sich mithilfe von Methoden der größten Dichte schätzen.

Weitere verallgemeinerte Modelle Fisher-Wright-Haldane-Modell

Anmerkungen

Siehe auch Lebenszyklusgesetz Dreiviertelgesetz Die sieben Töchter Evas

Literatur

Weblinks drawWrightFisher von Bernhard Haubold popG (archiviert & gespiegelt) – Simulation des Wright-Fisher Modells von Joe Felsenstein (s. a. PHYLIB) STUN: Forward-time Simulation on TUnable fitNess landscapes in recombining populations des Banklab

Einzelnachweise

Kategorie:Stochastik Kategorie:Populationsgenetik