Der Satz von Ando ist ein Resultat der Operatorentheorie, das eine Bedingung dafür liefert, wann ein paranormaler Operator ein normaler Operator ist. Der Satz wurde 1972 von dem japanischen Mathematiker Tsuyoshi AndoAutoren-Profil in der Datenbank zbMATH bewiesen.
Vorausgesetzt wird hier ein komplexer Hilbertraum zusammen mit der Algebra der beschränkten, linearen Operatoren auf . Für bezeichnet den adjungierten Operator. Ein beschränkter, linearer Operator auf heißt normal, wenn gilt, und paranormal, wenn für alle gilt.
Zwischen den zugehörigen Operatorenklassen bestehen dabei die folgenden Beziehungen: normal quasinormal subnormal hyponormal class A paranormal normaloid
Aussage Der Satz von Ando lautet: Sei ein paranormaler Operator. Wenn es ein gibt, so dass normal ist, dann ist normal.
Beispiel Die Voraussetzung paranormal kann nicht zu normaloid abgeschwächt werden. Dazu betrachte auf dem 3-dimensionalen Hilbertraum mit den Einheitsvektoren den durch
definierten linearen Operator. Man rechnet
Ein Vergleich der ersten beiden Gleichungen zeigt, dass nicht normal ist, aber die dritte Gleichung zeigt, dass normal ist. Nach dem Satz von Ando kann also nicht paranormal sein, was man sofort durch und bestätigt. Aus der ersten Gleichung liest man ab, denn ist offenbar eine Orthogonalprojektion. Da , ist 1 Eigenwert zum Eigenvektor und die Norm stimmt mit dem Spektralradius überein, das heißt ist normaloid.
Einzelnachweise
Ando, Satz von Kategorie:Funktionalanalysis