Der Satz von Mourier ist ein Resultat aus der Maßtheorie in topologischen Vektorräumen, der sagt, dass die borelsche σ-Algebra mit der zylindrischen σ-Algebra in separablen normierten Räumen übereinstimmt.
Der Satz wurde 1953 von der französischen Mathematikerin Édith Mourier bewiesen.
Aussage Sei ein normierter Raum, sein topologischer Dualraum und die duale Paarung. Auf sei die Operatornorm für gegeben
Mit ist die borelsche σ-Algebra bezüglich der Normtopologie notiert und mit die zylindrische σ-Algebra, das ist die kleinste σ-Algebra, so dass alle Funktionale messbar sind.
Der Satz von Mourier lautet: Wenn separabel ist, dann gilt .
Erläuterungen Die Inklusion ist trivial. Für die umgekehrte Inklusion sei eine dichte Folge in . Nach dem Satz von Hahn-Banach existiert für jedes ein Funktional mit und . Da separable ist, kann man nun zeigen, dass eine Familie existiert, die die Punkte in trennt und die schwache Topologie erzeugt.
Daraus folgt für die abgeschlossene Einheitskugel
dass .
Da ein messbarer Vektorraum ist, liegen damit auch alle verschobenen und skalierten Kugeln in . Wegen der Separabilität von erzeugen diese Kugeln die borelsche σ-Algebra, somit folgt .
Verallgemeinerungen Der Satz kann wie folgt auf lokalkonvexe Räume verallgemeinert werden.
Sei ein separabler, metrisierbarer lokalkonvexer Raum und sei die durch den topologischen Dualraum induzierte schwache Topologie. Dann stimmen die durch bzw. induzierten Borelschen σ-Algebren sowie die zylindrische σ-Algebra überein, d. h.
Einzelnachweise
Kategorie:Maßtheorie