In der Mathematik ist das Sinai-Ruelle-Bowen-Maß oder SRB-Maß ein zu einem dynamischen System assoziiertes Maß, das die Dynamik auf dem Attraktor des Systems beschreibt. Es wurde von Yakov Sinai, David Ruelle und Rufus Bowen im Kontext von Anosov-Flüssen und Axiom A-Diffeomorphismen entwickelt und seitdem auf verschiedene allgemeinere dynamische Systeme verallgemeinert. Dieser Artikel gibt die ursprünglichen Definitionen für Axiom A-Diffeomorphismen.
Definitionen
Sei ein -Diffeomorphismus mit einem Axiom A-Attraktor . Dann gibt es ein eindeutiges -invariantes borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß auf , das jede der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt und das als Sinai-Ruelle-Bowen-Maß bezeichnet wird.
hat absolut stetige bedingte Maße auf den instabilen Mannigfaltigkeiten . Für die Kolmogorow-Sinai-Entropie gilt . Es gibt eine Menge positiven Lebesgue-Maßes und eine Teilmenge desselben Lebesgue-Maßes so dass für jede stetige Funktion und jedes gilt .
Erläuterungen zu den einzelnen Charakterisierungen:
In der Umgebung eines Attraktors gibt es in der Regel kein zum Volumen äquivalentes invariantes Maß. Die erste Bedingung gibt aber, dass ein Axiom A-Attraktor jedenfalls ein invariantes Maß mit einer Dichte in der instabilen Richtung besitzt, während dieses Maß in der stabilen Richtung in der Regel singulär ist.
Die zweite Bedingung setzt die Kolmogorow-Sinai-Entropie in Beziehung zum expandierenden Teil der Ableitung von . Tatsächlich ist das SRB-Maß das einzige Maß, für das beide Seiten der Gleichung übereinstimmen und für alle anderen Maße ist die linke Seite kleiner als die rechte.
Die dritte Bedingung besagt, dass die Ergodizität des Maßes zwar nicht auf dem gesamten Raum, aber auf einer Menge positiven Lebesgue-Maßes gilt.
Literatur
Y. Sinai: Gibbs measures in ergodic theory. Russ. Math. Surv. 27, 21–69, 1972 R. Bowen: Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms. Springer Lecture Notes in Math. 470, 1975 D. Ruelle: A measure associated with axiom A attractors. Amer. J. Math. 98, 619–654, 1976 D. Ruelle: Thermodynamic Formalism. Addison wesley, Reading, MA, 1978
Weblinks
Lai-Sang Young: What are SRB measures, and which dynamical systems have them?
Kategorie:Maß (Mathematik) Kategorie:Ergodentheorie