Eine quaternionisch orientierte Kohomologietheorie ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle verallgemeinerte Kohomologietheorie, dargestellt durch ein Spektrum. Vereinfacht ausgedrückt ist diese orientiert auf allen quaternionischen Vektorbündeln. Beschrieben werden quaternionisch orientierte Kohomologietheorien durch verallgemeinerte Pontrjagin-Klassen. Insbesondere die Wahl der ersten verallgemeinerten Pontrjagin-Klasse wird auch quaternionische Orientierung genannt. Gewöhnliche Pontrjagin-Klassen sind singuläre Kohomologieklassen und werden gemäß dem Brownschen Darstellungssatz durch ein Eilenberg-MacLane-Spektrum beschrieben. Ihre Konstruktion lässt sich jedoch ebenso für beliebige verallgemeinerte Kohomologietheorien dargestellt durch allgemeine Spektren betrachten. Dazu gehören etwa die symplektische K-Theorie oder das symplektische Thom-Spektrum . Verallgemeinerte Pontrjagin-Klassen sind nach Lew Pontrjagin benannt.
Definition
Sei mit dem klassifizierenden Raum von Sp(1) die kanonische Inklusion. Diese klassifiziert die quaternionische Hopf-Faserung (also mit der unendlichdimensionalen Sphäre ), welche ein Sp(1)-Hauptfaserbündel ist. Dessen erste Pontrjagin-Klasse ist ein Generator.
Sei ein Ringspektrum, dann gibt es zugehörige verallgemeinerte reduzierte Kohomologietheorie (gegeben durch für alle topologischen Räume Adams 74, Chapter 2: Spectra) und einen induzierten Gruppenhomomorphismus:
Da ein Ringspektrum ist, ist die stabile Homotopiegruppe ein kommutativer unitärer Ring, also mit einem Einselement . Elemente des Kerns, falls existent, sind nun die verallgemeinerten erste Pontrjagin-Klassen oder quaternionischen Orientierungen. Nun kann für jedes -Hauptfaserbündel über einem topologischen Raum diese angegeben werden als:
Wegen der kanonischen schwachen Homotopieäquivalenz hat jede quaternionische Orientierung zudem eine kanonische Thom-Klasse .
Klassifikation Mit der Einheit des Ringspektrums mit dem Sphärenspektrum Adams 74, Example 2.3 ist eine quaternionische Orientierung alternativ ein Spektrumhomomorphismus , welcher entlang von erweitert, also sodass . Mit der Adjunktion lässt sich die quaternionische Orientierung auch darstellen als stetige Abbildung .
Für die Beschreibung von quaternionischen Orientierungen kann alternativ das symplektische Thom-Spektrum benutzt werden, dessen Kohomologietheorie deshalb auch universelle quaternionisch orientierte Kohomologietheorie genannt wird: Quaternionische Orientierungen der verallgemeinerten Kohomologietheorie eines Ringspektrums entsprechen bijektiv den Spektrumhomomorphismen durch:
Insbesondere ist dadurch das symplektische Thom-Spektrum selbst durch die Identität kanonisch quaternionisch orientiert.
Beispiele
Das Eilenberg-MacLane-Spektrum mit und hat eine einzige verallgemeinerte erste Pontrjagin-Klasse, welche genau die gewöhnliche erste Pontrjagin-Klasse ist. Das symplektische Thom-Spektrum hat mit der kanonischen schwachen Homotopieäquivalenz ein kanonisches Element . Da ein Generator von ist, ist ebenfalls ein Generator von und repräsentiert dadurch einen Generator . Daher ist dieses Element tatsächlich eine quaternionische Orientierung. Für die verallgemeinerten ersten Pontrjagin-Klassen der tautologischen Geradenbündel gilt dann:
Die symplektische K-Theorie hat einen Generator mit dem tautologischen Geradenbündel . Wegen mit dem universellen Vektorbündel ist eine naheliegende Wahl für eine quaternionische Orientierung einfach . Für die verallgemeinerten ersten Pontrjagin-Klassen der tautologischen Geradenbündel gilt dann:
Siehe auch Komplex orientierte Kohomologietheorie
Literatur
Weblinks quaternionic oriented cohomology theory auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Topologie