Eine komplex orientierte Kohomologietheorie ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie eine spezielle verallgemeinerte Kohomologietheorie, dargestellt durch ein Spektrum. Vereinfacht ausgedrückt ist diese orientiert auf allen komplexen Vektorbündeln. Beschrieben werden komplex orientierte Kohomologietheorien durch Conner-Floyd-Chern-Klassen (oder verallgemeinerte Chern-Klassen). Insbesondere die Wahl der ersten Conner-Floyd-Chern-Klasse wird auch komplexe Orientierung genannt. Gewöhnliche Chern-Klassen sind singuläre Kohomologieklassen und werden gemäß dem Brownschen Darstellungssatz durch ein Eilenberg-MacLane-Spektrum beschrieben. Ihre Konstruktion lässt sich jedoch ebenso für beliebige verallgemeinerte Kohomologietheorien dargestellt durch allgemeine Spektren betrachten. Dazu gehören etwa die komplexe K-Theorie oder das unitäre Thom-Spektrum . Conner-Floyd-Chern-Klassen sind nach Pierre Conner, Edwin Floyd und Shing-Shen Chern benannt.
Definition
Sei mit der Riemannschen Zahlenkugel und dem klassifizierenden Raum von U(1) die kanonische Inklusion. Diese klassifiziert die komplexe Hopf-Faserung (also mit der unendlichdimensionalen Sphäre ), welche ein U(1)-Hauptfaserbündel ist. Dessen erste Chern-Klasse ist ein Generator.
Sei ein Ringspektrum, dann gibt es zugehörige verallgemeinerte reduzierte Kohomologietheorie (gegeben durch für alle topologischen Räume Adams 74, Chapter 2: Spectra) und einen induzierten Gruppenhomomorphismus:
Da ein Ringspektrum ist, ist die stabile Homotopiegruppe ein kommutativer unitärer Ring, also mit einem Einselement . Elemente des Kerns, falls existent, sind nun die ersten Conner-Floyd-Chern-Klassen, verallgemeinerten ersten Chern-Klassen oder komplexen Orientierungen.Lurie 10, Lecture 5, Beweis von Proposition 6 Nun kann für jedes -Hauptfaserbündel über einem topologischen Raum diese angegeben werden als:
Wegen der kanonischen schwachen Homotopieäquivalenz hat jede komplexe Orientierung zudem eine kanonische Thom-Klasse .
Klassifikation Mit der Einheit des Ringspektrums mit dem Sphärenspektrum Adams 74, Example 2.3 ist eine komplexe Orientierung alternativ ein Spektrumhomomorphismus , welcher entlang von erweitert, also sodass . Mit der Adjunktion lässt sich die komplexe Orientierung auch darstellen als stetige Abbildung .
Für die Beschreibung von komplexen Orientierungen kann alternativ das unitäre Thom-Spektrum benutzt werden, dessen Kohomologietheorie deshalb auch universelle komplex orientierte Kohomologietheorie genannt wird: Komplexe Orientierungen der verallgemeinerten Kohomologietheorie eines Ringspektrums entsprechen bijektiv den Spektrumhomomorphismen durch:Lurie 10, Lecture 6, Theorem 8
Insbesondere ist dadurch das komplexe Thom-Spektrum selbst durch die Identität kanonisch komplex orientiert.
Beispiele Das Eilenberg-MacLane-Spektrum mit und hat eine einzige erste Conner-Floyd-Chern-Klasse, welche genau die gewöhnliche erste Chern-Klasse ist.Adams 74, Example (2.2) Das unitäre Thom-Spektrum hat mit der kanonischen schwachen Homotopieäquivalenz ein kanonisches Element .Lurie 10, Lecture 6, Remark 7 Da ein Generator von ist, ist ebenfalls ein Generator von und repräsentiert dadurch einen Generator . Daher ist dieses Element tatsächlich eine komplexe Orientierung. Für die ersten Conner-Floyd-Chern-Klassen der tautologischen Geradenbündel gilt dann:
Die unitäre K-Theorie hat einen Generator mit dem tautologischen Geradenbündel . Wegen mit dem universellen Vektorbündel ist eine naheliegende Wahl für eine komplexe Orientierung einfach .Adams 74, Example (2.3) Für die verallgemeinerten ersten Chern-Klassen der tautologischen Geradenbündel gilt dann:
Siehe auch Quaternionisch orientierte Kohomologietheorie
Literatur
Weblinks complex oriented cohomology theory, universal complex orientation on MU auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Topologie