Das orthogonale Thom-Spektrum ist im mathematischen Teilgebiet der Theorie der Spektren das Thom-Spektrum der unendlichen orthogonalen Gruppe (auch ). Dazu gibt es auch die orthogonalen Thom-Spektren der orthogonalen Gruppen , welche jedoch von untergeordnetem Interesse sind. Benannt ist das orthogonale Thom-Spektrum nach René Thom, der die zugrundeliegenden Thom-Räume in seiner Doktorarbeit im Jahr 1954 einführte.
Das spezielle orthogonale Thom-Spektrum der unendlichen speziellen orthogonalen Gruppe (auch ) sowie die speziellen orthogonalen Thom-Spektren der speziellen orthogonalen Gruppen sind analog definiert.
Definition Das Thom-Spektrum der orthogonalen Gruppe ist das Einhängungsspektrum des Thom-Raumes des universellen Vektorbündels , also gegeben durch:Adams 74, Example 2.4
(Die Verschiebung kommt vom reellen Rang von und sorgt dafür, dass Whitney-Summen mit trivialen Vektorbündeln keine Auswirkung haben. Es gilt .) Die kanonische Inklusion induziert eine stetige Abbildung und durch Rückzug einen Vektorbündelhomomorphismus . Durch Anwendung des Thom-Raums folgt eine stetige Abbildung Novikov 62, Gleichung (4) und dadurch (wofür die Verschiebung auch notwendig ist) ein Spektrumhomomorphismus . Deren Grenzwert ist:
Analog sind:
Beispiele ist die triviale Gruppe, daher ist ihr Thom-Spektrum das Sphärenspektrum (beide sind jeweils die initialen Objekte in der Kategorie der Gruppen und Kategorie der Ringspektren):
Die kanonische Inklusion ergibt sich dabei auch durch Anwendung von auf die kanonische Inklusion .
, daher ist analog:
Wegen besteht zudem der Zusammenhänge:
Verbindungen Durch die Komposition des Nullschnitts und der kanonischen Projektion gibt es eine kanonische Abbildung:
Durch die Inklusion einer Faser (beschrieben durch den Rückzug entlang einer Punktinklusion ) gibt es zudem eine kanonische Abbildung:
Eigenschaften
ist -zusammenhängend.
Beweis: Allgemein ist für eine -zusammenhängende Kofaserung der Quotientenraum ebenso -zusammenhängend. ist als Inklusion einer abgeschlossenen Teilmenge eine Kofaserung und zudem homotopieäquivalent zum Faserbündel . (Für das Scheibenbündel ergibt sich das dadurch, dass der Nullschnitt und die kanonische Projektion eine Homotopieäquivalenz herstellen, da es faserweise zusammenziehbar ist.) Dieses ist -zusammenhängend, da der klassifizierende Raum die Homotopiegruppen hinauf verschiebt und die kanonische Inklusion entsprechend -zusammenhängend ist, was sich direkt aus der langen exakten Sequenz für Homotopiegruppen für das Faserbündel ergibt.
Die kanonische Abbildung ist eine schwache Homotopieäquivalenz. (Insbesondere passt diese Aussage mit zur vorherigen Eigenschaft.)
Beweis: Allgemein bilden der Nullschnitt und die kanonische Projektion eine Homotopieäquivalenz, da das Scheibenbündel faserweise zusammenziehbar ist.
Es gibt eine kanonische schwache Homotopieäquivalenz zum unendlichen reellen projektiven Raum:Thom 54, S. 43
Beweis: Folgt direkt aus der vorherigen Eigenschaft mit der Homotopieäquivalenz . Alternativ lässt sich die Aussage explizit ausdrücken, da der Thom-Raum mit Limiten kommutiert und für reelle tautologische Geradenbündel genau die reellen projektiven Räume gleicher Dimension ergibt, also . Insgesamt ist:
Ringspektrumstruktur hat die Struktur eines Ringspektrums. Das Einselement ist der kanonische Spektrumhomomorphismus . Die kanonische Inklusion induziert eine stetige Abbildung und durch Rückzug einen Vektorbündelhomomorphismus . Durch Anwendung des Thom-Raums folgt eine stetige Abbildung und dadurch (wofür die Verschiebung auch notwendig ist) ein Spektrumhomomorphismus . Dessen Grenzwert ist eine Verknüpfung:
Analog gibt es ebenfalls ein Einselement und eine Verknüpfung .
Siehe auch
Unitäres Thom-Spektrum Symplektisches Thom-Spektrum
Literatur
Weblinks
MO, homology of MO auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie