Das unitäre Thom-Spektrum ist im mathematischen Teilgebiet der Theorie der Spektren das Thom-Spektrum der unendlichen unitären Gruppe (auch ). Dazu gibt es auch die unitären Thom-Spektren der unitären Gruppen , welche jedoch von untergeordnetem Interesse sind. Eine wichtige Anwendung des unitären Thom-Spektrums sind komplex orientierte Kohomologietheorien (welche durch Spektren dargestellt werden). Benannt ist das unitäre Thom-Spektrum nach René Thom, der die zugrundeliegenden Thom-Räume in seiner Doktorarbeit im Jahr 1954 eingeführt hat.
Das spezielle unitäre Thom-Spektrum der unendlichen speziellen unitären Gruppe (auch ) sowie die speziellen unitären Thom-Spektren der speziellen unitären Gruppen sind analog definiert.
Definition Das Thom-Spektrum der unitären Gruppe ist das Einhängungsspektrum des Thom-Raumes des universellen Vektorbündels , also gegeben durch:Adams 74, Example 2.4Lurie 10, Lecture 5, Definition 7
(Die Verschiebung kommt vom reellen Rang von und sorgt dafür, dass Whitney-Summen mit trivialen Vektorbündeln keine Auswirkung haben. Es gilt und dadurch .) Die kanonische Inklusion induziert eine stetige Abbildung und durch Rückzug einen Vektorbündelhomomorphismus . Durch Anwendung des Thom-Raums folgt eine stetige Abbildung Novikov 62, Gleichung (4) und dadurch (wofür die Verschiebung auch notwendig ist) ein Spektrumhomomorphismus .Lurie 10, Lecture 5, Definition 7 Deren Grenzwert ist:Lurie 10, Lecture 5, Definition 8
Analog sind:
Beispiele ist die triviale Gruppe, daher ist ihr Thom-Spektrum das Sphärenspektrum (beide sind jeweils die initialen Objekte in der Kategorie der Gruppen und Kategorie der Ringspektren):Lurie 10, Lecture 6, Example 1
Die kanonische Inklusion ergibt sich dabei auch durch Anwendung von auf die kanonische Inklusion .
, daher ist analog:
Wegen und bestehen zudem die Zusammenhänge:
Verbindungen Durch die Komposition des Nullschnitts und der kanonischen Projektion gibt es eine kanonische Abbildung:
Durch die Inklusion einer Faser (beschrieben durch den Rückzug entlang einer Punktinklusion ) gibt es zudem eine kanonische Abbildung:
Eigenschaften
ist -zusammenhängend.
Beweis: Allgemein ist für eine -zusammenhängende Kofaserung der Quotientenraum ebenso -zusammenhängend. ist als Inklusion einer abgeschlossenen Teilmenge eine Kofaserung und zudem homotopieäquivalent zum Faserbündel .Conner & Floyd 66, S. 31 (Für das Scheibenbündel ergibt sich das dadurch, dass der Nullschnitt und die kanonische Projektion eine Homotopieäquivalenz herstellen, da es faserweise zusammenziehbar ist.) Dieses ist -zusammenhängend, da der klassifizierende Raum die Homotopiegruppen hinauf verschiebt und die kanonische Inklusion entsprechend -zusammenhängend ist, was sich direkt aus der langen exakten Sequenz für Homotopiegruppen für das Faserbündel ergibt.
Die kanonische Abbildung ist eine schwache Homotopieäquivalenz.Adams 74, Example 2.1 & Proposition 11.2 (Insbesondere passt diese Aussage mit zur vorherigen Eigenschaft.)
Beweis: Allgemein bilden der Nullschnitt und die kanonische Projektion eine Homotopieäquivalenz, da das Scheibenbündel faserweise zusammenziehbar ist.
Es gibt eine kanonische schwache Homotopieäquivalenz zum unendlichen komplexen projektiven Raum:
Beweis: Folgt direkt aus der vorherigen Eigenschaft mit der Homotopieäquivalenz . Alternativ lässt sich die Aussage explizit ausdrücken, da der Thom-Raum mit Limiten kommutiert und für komplexe tautologische Geradenbündel genau die komplexen projektiven Räume gleicher Dimension ergibt, also .Conner & Floyd 66, (4.4) auf S. 22 Insgesamt ist:
Ringspektrumstruktur hat die Struktur eines Ringspektrums. Das Einselement ist der kanonische Spektrumhomomorphismus .Lurie 10, Lecture 6, Remark 5 Die kanonische Inklusion induziert eine stetige Abbildung und durch Rückzug einen Vektorbündelhomomorphismus . Durch Anwendung des Thom-Raums folgt eine stetige Abbildung und dadurch (wofür die Verschiebung auch notwendig ist) ein Spektrumhomomorphismus .Lurie 10, Lecture 6, Remark 4 Dessen Grenzwert ist eine Verknüpfung:
Analog gibt es ebenfalls ein Einselement und eine Verknüpfung .Conner & Floyd 66, S. 28
Siehe auch
Orthogonales Thom-Spektrum Symplektisches Thom-Spektrum
Literatur
Weblinks
MU auf nLab (englisch)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie