Das 600-Zell ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden. Beim 600-Zell sind dies 600 regelmäßige Tetraeder. Das 600-Zell besteht außerdem aus 1200 Flächen (gleichseitigen Dreiecken), 720 Kanten und 120 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 600-Zells ist . Es sagt aus, dass das 600-Zell aus Tetraedern aufgebaut ist, von denen jeweils 5 an einer Kante aneinander grenzen. Die Eckfigur ist ein Ikosaeder , was bedeutet, dass an einer Ecke 20 Tetraeder aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Tetraeder aneinander. Das duale Polytop des 600-Zells ist das 120-Zell.
Geschichte Das 600-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt. In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.
Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt, unter anderem von Washington Irving Stringham, G. Forchhammer, Reinhold Hoppe, Karl Rudel, Victor Schlegel, Anton Puchta, Otto Biermann, H. W. Curjel und Thorold Gosset. Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.
In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme. Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt. Ludwig Schläfli bezeichnete das 600-Zell als Hexakosioschem, während Washington Irving Stringham es Hexakosioihedroid oder (600)-hedroid nannte. Die heute übliche Bezeichnung Sechshundertzell wurde von Victor Schlegel eingeführt.
Konstruktionen des 600-Zells
Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht. Hierbei bezeichnet die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen des Polyeders.
Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet , wobei die Anzahl der Zellen bezeichnet. Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen. Für das 600-Zell sind diese gegeben durch . Um die Existenz des 600-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.
Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 600-Zells beschrieben.
Konstruktion über vierdimensionale Kugelkoordinaten
Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 600-Zells und bestimmt dessen Anzahl von Zellen, Flächen, Kanten und Ecken zum einen über ein rein topologisches Argument basierend auf der von ihm zuvor bewiesenen Eigenschaft, dass die Eckfigur des 600-Zells ein Ikosaeder ist, dass also 20 Tetraeder an einer Ecke aneinander grenzen, und den daraus folgenden, über Kanten und Dreiecke bestimmten, Nachbarschaftsbeziehungen der Tetraeder. Er geht dabei von einer Ecke des 600-Zells aus und weist nach, dass die Ecken des 600-Zells neun Schichten entlang der Diagonale von der Ausgangsecke zur ihr gegenüberliegenden Ecke bilden, die sich wie folgt gruppieren: 1, 12, 20, 12, 30, 12, 20, 12, 1. Insgesamt hat das 600-Zell daher 120 Ecken, 720 Kanten, 1200 Dreiecke und 600 Tetraeder.
Zum anderen gibt Schläfli explizite Koordinaten der Eckpunkte des 600-Zells an. Er verwendet hierzu vierdimensionale Kugelkoordinaten , aus denen sich die 4D-Koordinaten der Ecken wie folgt berechnen lassen:
Die Ecken liegen daher alle auf einer 3-Sphäre vom Radius 1.
Die folgende Tabelle gibt die Kugelkoordinaten der Ecken an. Im Vergleich zu Schläflis Arbeit enthält sie eine Korrektur der Koordinaten in der Schicht e, die von Pieter Schoute angegeben wurde. Dabei sind , , , und .
Schicht Anzahl Ecken Anordnung der Ecken a 1 Punkt b 12 Ecken eines Ikosaeders c 20 Ecken eines Dodekaeders d 12 Ecken eines Ikosaeders e 30 Ecken eines Ikosidodekaeders f 12 Ecken eines Ikosaeders g 20 Ecken eines Dodekaeders h 12 Ecken eines Ikosaeders i 1 Punkt
Schläfli zeigt weiterhin, dass sich die Tetraeder des 600-Zells aus den Punkten der neun Schichten wie folgt bilden lassen: 20 Tetraeder aus den Schichten abbb, 20 aus bbbc, 30 aus bbcc, 60 aus bccd, 60 aus ccde, 60 aus cdee, 20 aus ceee, 60 aus deef, 20 aus eeeg, 60 aus eefg, 60 aus efgg, 60 aus fggh, 30 aus gghh, 20 aus ghhh und 20 aus hhhi. Dabei bedeutet beispielsweise bccd, dass ein Tetraeder aus einem Punkt der Schicht b, zwei Punkten der Schicht c und einem Punkt der Schicht d konstruiert wird. Insgesamt ergeben sich hierdurch 15 Schichten von insgesamt 600 Tetraedern, die die Zellen des 600-Zells darstellen. Die Tetraeder haben eine Kantenlänge von . Identische schichtenweise Konstruktionen, allerdings ohne die Verwendung von Koordinaten, wurden von Washington Irving Stringham und Reinhold Hoppe angegeben.
Visualisierung der Konstruktion über vierdimensionale Kugelkoordinaten
thumbtime=39|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 600-Zells in einer eckenzentrierten Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 600-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 600-Zells aus den oben beschriebenen 15 Schichten von Tetraedern. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt . Die Projektion erfolgt in die -Hyperebene.
Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 600-Zells darzustellen. Jede Schicht wird nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 600-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.
Eine Besonderheit ist bei der letzten Schicht zu beachten. Die 20 Tetraeder dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt in der Schicht i, die nur einen Punkt enthält. Da dieser das Projektionszentrum darstellt, würden diese Punkte auf einen unendlich fernen Punkt projiziert. Um diese Unbestimmtheit zu vermeiden, werden sie stattdessen auf den Nullpunkt in der -Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die letzte Schicht scheinbar die anderen 14 Schichten durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die letzte Schicht disjunkt zu allen anderen Schichten.
Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 600-Zells nach Einblendung aller 15 Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 600-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.
Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt.
Die von Hand gezeichneten Abbildungen 10–15 in der Arbeit von Stringham entsprechen dem Zustand nach der Einblendung von 20, 40, 70, 130, 190 und 250 Tetraedern. Im Gegensatz zu Schläfli fasst Stringham, wie in den Abbildungen 16 und 17 seiner Arbeit dargestellt, die mittleren drei Schichten zu einer Hinzufügung von 20 aus jeweils zwei Tetraedern bestehenden dreiseitigen Doppelpyramiden und zwölf aus jeweils fünf Tetraedern bestehenden fünfseitigen Doppelpyramiden, insgesamt also 100 Tetraedern, zusammen.
Konstruktion über kartesische Koordinaten
Die Ecken des 600-Zells lassen sich durch kartesische Koordinaten darstellen. Sie lauten in moderner Schreibweise: alle Permutationen von (8 Punkte), (16 Punkte) und alle geraden Permutationen von (96 Punkte). Hierbei bezeichnet den goldenen Schnitt. Wie bei der Konstruktion über Kugelkoordinaten liegen alle Ecken auf einer 3-Sphäre vom Radius 1. Diese Koordinaten wurden erstmals 1894 von Pieter Schoute angegeben, allerdings für eine 3-Sphäre vom Radius , wobei die Kantenlänge des 600-Zells bezeichnet. Die oben angegebene Version der Koordinaten mit Radius 1 wurde 1905 von Schoute angegeben. Im Aufsatz von 1894 listet Schoute weiterhin alle Kanten und Tetraeder des 600-Zells auf und konstruiert es somit explizit.
Koordinatenstellungen des 600-Zells
mini|Orthogonalprojektion des 600-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 600-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung aus derselben Blickrichtung wie die Abbildung darüber mini|Dreidimensionales Modell einer Orthogonalprojektion eines 600-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet. Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle. Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt. Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine eckenzentrierte Zentralprojektion des 600-Zells.