Als verallgemeinertes Maß bezeichnet man in der Analysis eine distributionelle Verallgemeinerung des Begriffes des Maßes aus der Maßtheorie. Verallgemeinerte Maße werden nicht auf Mengensystemen (z. B. σ-Algebren), sondern auf Funktionenräumen definiert, wodurch sie streng genommen keine direkte Verallgemeinerung darstellen. Vielmehr handelt es sich um eine Verallgemeinerung im Sinne von verallgemeinerten Funktionen.
Anwendung finden die verallgemeinerten Maße in der unendlichdimensionalen Analysis und Stochastik sowie in der theoretischen Physik, wo insbesondere das Feynman-Pfadintegral mithilfe verallgemeinerter Maße als lineares, stetiges Funktional auf einem Raum von Testfunktionen definiert wird. Richard Feynman führte das Pfadintegral als Integral bezüglich verallgemeinerten Lebesgue-Maßen ein, dies sind Spezialfälle des verallgemeinerten Maßes.
Verallgemeinerte Maße werden insbesondere in der Theorie der differenzierbaren Maß untersucht. In der Stochastik verwendet man sie in der Theorie der stochastischen partiellen Differentialgleichungen sowie im Malliavin-Kalkül.
Verallgemeinertes Maß Sei ein lokalkonvexer Raum und ein lokalkonvexer Raum (über einen Körper) von Funktionen auf in einen anderen Vektorraum
Ein verallgemeinertes Maß auf ist ein stetiges lineares Funktional . Der Wert für heißt Integral von bezüglich (dem verallgemeinerten Maß) und man notiert ihn als
Sei ein lokalkonvexer Raum, dann nennt man eine stetige lineare Abbildung . ein -wertiges verallgemeinertes Maß.
Lebesgue-Feynman-Maß Das Lebesgue-Feynman-Maß auf einem linearen Raum ist das verallgemeinerte Maß
welches invariant unter Verschiebungen um beliebige Vektoren ist
wobei der adjungierte Operator des Shift-Operators um den Vektor ist
Differenzierbarkeit des Maßes Sei ein lokalkonvexer Unterraum und die kanonische Einbettung sei stetig.
Ein verallgemeinertes Maß auf nennen wir differenzierbar entlang , wenn es ein -wertiges verallgemeinertes Maß
gibt, welches wir Ableitung von entlang nennen, so dass für jedes und jede Funktion
gilt.
Für ein Vektorfeld ist die Ableitung von entlang das verallgemeinerte Maß , definiert durch
Anwendung Quantenfeldtheorie In der Quantenfeldtheorie wird das Feynman-Pfadintegral als Integral bezüglich verallgemeinerter Maße über Funktionenräume respektive Phasenräume verwendet, wodurch die Dynamik quantisierter Felder über alle möglichen Feldkonfigurationen hinweg beschrieben werden kann. Dieses Konzept ist eng mit der hamiltonschen zweite Quantisierung verbunden und erlaubt eine mathematisch konsistente Behandlung unendlichdimensionaler Hamilton-Systeme.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kategorie:Distributionentheorie Kategorie:Stochastik