In der Stochastik ist eine Zufallsvariable eine Größe, deren Wert vom Zufall abhängig ist.Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. Vieweg+Teubner Verlag, 2010, ISBN 978-3-8348-0815-8, doi:10.1007/978-3-8348-9351-2, S. 12. Formal ist eine Zufallsvariable eine Funktion, die jedem möglichen Ergebnis eines Zufallsexperiments eine Größe zuordnet. Ist diese Größe eine reelle Zahl, so spricht man von einer reellen Zufallsvariablen oder Zufallsgröße. Beispiele für reelle Zufallsvariablen sind die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln und die Gewinnhöhe in einem Glücksspiel. Zufallsvariablen können aber auch komplexere mathematische Objekte sein, wie Zufallsfelder, Zufallsbewegungen, Zufallspermutationen oder Zufallsgraphen. Über verschiedene Zuordnungsvorschriften können einem Zufallsexperiment auch verschiedene Zufallsvariablen zugeordnet werden.

Den einzelnen Wert, den eine Zufallsvariable bei der Durchführung eines Zufallsexperiments annimmt, nennt man Realisierung oder im Falle eines stochastischen Prozesses einen Pfad. Bei der Zufallszahlenerzeugung werden Realisierungen spezieller Zufallsexperimente als Zufallszahlen bezeichnet.

Alternative Bezeichnungen Heutzutage ist Zufallsvariable die gängigste Bezeichnung; in älterer Literatur finden sich aber auch zufällige Variable, zufällige Größe, zufällige Veränderliche, zufälliges Element, Zufallselement und Zufallsveränderliche

Während A. N. Kolmogorow zunächst von durch den Zufall bestimmten Größen sprach, führte er 1933 den Begriff zufällige Größe ein und sprach später von Zufallsgrößen. Im Jahr 1933 ist auch schon der Begriff Zufallsvariable in Gebrauch. Bereits 1935 ist der Begriff zufällige Variable nachweisbar. Später hat sich (ausgehend vom englischen random variable, das sich gegen chance variable und stochastic Variable durchsetzteJeff Miller: Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Abschnitt R.) der etwas irreführende BegriffEine Zufallsvariable ist weder zufällig noch eine Variable, siehe Zufallsvariable durchgesetzt.

Einführung Die Grundidee hinter der Zufallsvariable ist es, den Zufall mit Hilfe des Begriffes der Funktion zu modellieren. Dies wird einige Vorteile mit sich bringen. Angenommen, wir betrachten ein Zufallsexperiment, welches nur zwei Ausgänge hat, welche wir mit und notieren. Mit Hilfe der Funktion können wir nun eine „zufällige Variable“ definieren, die berücksichtigt, ob oder eingetroffen ist. mini|Ein Beispiel einer Zufallsvariable. Die Menge steht für eine beliebige Menge, welche die Zahlen enthält.

Dies geschieht durch die Funktion

wobei die Werte und vom Experiment abhängen, welches man modelliert. Man nennt und Ergebnisse und zusammen bilden sie den Ergebnisraum . Welches dieser Ergebnisse eintritt, wissen wir a priori nicht. und Realisierungen der Zufallsvariable.

Wir notieren die Menge der Realisierungen mit . In den meisten Fällen wählt man für entweder die reellen Zahlen oder eine diskrete Menge wie zum Beispiel oder . Allgemeiner kann aber auch , ein Banach-Raum oder ein topologischer Vektorraum sein.

Eine Zufallsvariable ist somit eine Abbildung der Form .

Beispiel (Münzwurf): Wir möchten einen Münzwurf modellieren. Seien und das zufällige Ergebnis des Münzwurfs und . Nun können wir verschiedene Zufallsvariablen bilden, zum Beispiel eine Wette, bei der 1 EUR ausgezahlt wird, wenn Zahl erscheint und sonst nichts. Dann ist die Auszahlungssumme die Zufallsvariable

Wir haben also und gewählt, hätten wir hingegen bei falscher Wette 1 EUR bezahlen müssen, dann hätten wir uns für entschieden.

Beispiel (Würfelwurf): Wir möchten einen Würfelwurf modellieren. Seien , dann ist und der Würfel die Zufallsvariable

Beispiel (2-facher Münzwurf): Wir möchten den 2-fachen Münzwurf modellieren. Die Ergebnismenge ist , ihre Elemente haben die Form . Wettet man bei zwei Münzwürfen beide Male auf Zahl, so lassen sich beispielsweise folgende Zufallsvariablen untersuchen: als Auszahlung nach der ersten Wette, als Auszahlung nach der zweiten Wette, als Summe der beiden Auszahlungen.

Zufallsvariablen werden üblicherweise mit einem Großbuchstaben bezeichnet (hier ), während man für die Realisierungen die entsprechenden Kleinbuchstaben verwendet (zum Beispiel , , , ).

Im Münzwurf-Beispiel hat die Menge eine konkrete Interpretation. In der weiteren Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie ist es oft zweckmäßig, die Elemente von als abstrakte Repräsentanten des Zufalls zu betrachten, ohne ihnen eine konkrete Bedeutung zuzuweisen, und dann sämtliche zu modellierende Zufallsvorgänge als Zufallsvariable zu erfassen.

Notation Häufig verzichtet man auf die Schreibweise und benutzt stattdessen die Kurzschreibweise . Dies sollte aber nicht falsch verstanden werden, denn es handelt sich hier nur um eine Abkürzung für respektive für die Menge aller , so dass .

Elemente der Maßtheorie Damit man über Wahrscheinlichkeiten sprechen kann, müssen die Räume und noch mit zusätzlichen Strukturen ausgestattet sein. Für brauchen wir ein System , welches alle möglichen Ereignisse enthält, eine Funktion , welche den möglichen Ereignissen aus eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Aus technischer Sicht verwendet man hierfür die Maßtheorie, was zum Begriff des Wahrscheinlichkeitsraumes führt, wobei eine sogenannte σ-Algebra und ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Für brauchen wir etwas ähnliches, welches mit der Struktur auf verträglich ist.

Konkret brauchen wir für ein System , welches mit dem System von verträglich ist. Dies führt zum Begriff der Messbarkeit. Es soll gelten für jedes Element muss das Urbild unter der Zufallsvariable, das bedeutet die Menge , ein Ereignis in dem System sein, das bedeutet .

Wenn diese Eigenschaft gilt, dann nennen wir eine -messbare Funktion. Zufallsvariablen erfüllen diese Eigenschaft (für ein und ) und sind messbare Funktionen.

Als Letztes ermöglicht uns die Messbarkeit, das Wahrscheinlichkeitsmaß auf den Raum zu übertragen. Dies führt zum Begriff der Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche als sogenanntes Bildmaß unter der Zufallsvariable durch für alle definiert ist.

Definition Als Zufallsvariable bezeichnet man eine messbare Funktion von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Eine formale mathematische Definition lässt sich wie folgt geben:Karl Hinderer: Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer, Berlin 1980, ISBN 3-540-07309-4 (nicht überprüft) Es seien ein Wahrscheinlichkeitsraum und ein Messraum. Eine -messbare Funktion heißt dann eine -Zufallsvariable auf oder einfach nur Zufallsvariable.

Beispiel: Zweimaliger Würfelwurf mini|Summe von zwei Würfeln:

Das Experiment, mit einem fairen Würfel zweimal zu würfeln, lässt sich mit folgendem Wahrscheinlichkeitsraum modellieren: ist die Menge der 36 möglichen Ergebnisse ist die Potenzmenge von Will man zwei unabhängige Würfe mit einem fairen Würfel modellieren, so setzt man alle 36 Ergebnisse gleich wahrscheinlich, wählt also das Wahrscheinlichkeitsmaß als für .

Die Zufallsvariablen (gewürfelte Zahl des ersten Würfels), (gewürfelte Zahl des zweiten Würfels) und (Augensumme des ersten und zweiten Würfels) werden als folgende Funktionen definiert:

und

wobei für die borelsche σ-Algebra auf den reellen Zahlen gewählt wird.

Bemerkungen In der Regel wird auf die konkrete Angabe der zugehörigen Räume verzichtet; es wird angenommen, dass aus dem Kontext klar ist, welcher Wahrscheinlichkeitsraum auf und welcher Messraum auf gemeint ist.

Bei einer endlichen Ergebnismenge wird meistens als die Potenzmenge von gewählt. Die Forderung, dass die verwendete Funktion messbar ist, ist dann immer erfüllt. Messbarkeit wird erst wirklich bedeutsam, wenn die Ergebnismenge überabzählbar viele Elemente enthält.

Einige Klassen von Zufallsvariablen mit bestimmten Wahrscheinlichkeits- und Messräumen werden besonders häufig verwendet. Diese werden teilweise mit Hilfe alternativer Definitionen eingeführt, die keine Kenntnisse der Maßtheorie voraussetzen:

Reelle Zufallsvariable Bei reellen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge der reellen Zahlen versehen mit der borelschen -Algebra. Die allgemeine Definition von Zufallsvariablen lässt sich in diesem Fall zur folgenden Definition vereinfachen:

Eine reelle Zufallsvariable ist eine Funktion , die jedem Ergebnis aus einer Ergebnismenge eine reelle Zahl zuordnet und die folgende Messbarkeitsbedingung erfüllt:

Das bedeutet, dass die Menge aller Ergebnisse, deren Realisierung unterhalb eines bestimmten Wertes liegt, ein Ereignis bilden muss.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns sind , und jeweils reelle Zufallsvariablen.

Mehrdimensionale Zufallsvariable

Eine mehrdimensionale Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung für eine Dimension . Sie wird auch als Zufallsvektor bezeichnet. Damit ist gleichzeitig ein Vektor von einzelnen reellen Zufallsvariablen , die alle auf dem gleichen Wahrscheinlichkeitsraum definiert sind. Die Verteilung von wird als multivariat bezeichnet, die Verteilungen der Komponenten nennt man auch Randverteilungen. Die mehrdimensionalen Entsprechungen von Erwartungswert und Varianz sind der Erwartungswertvektor und die Kovarianzmatrix.

Im Beispiel des zweimaligen Würfelns ist eine zweidimensionale Zufallsvariable.

Zufallsvektoren sollten nicht mit Wahrscheinlichkeitsvektoren (auch stochastische Vektoren genannt) verwechselt werden. Diese sind Elemente des , deren Komponenten positiv sind und deren Summe 1 ergibt. Sie beschreiben die Wahrscheinlichkeitsmaße auf Mengen mit Elementen.

Komplexe Zufallsvariable Bei komplexen Zufallsvariablen ist der Bildraum die Menge der komplexen Zahlen versehen mit der durch die kanonische Vektorraumisomorphie zwischen und „geerbten“ borelschen σ-Algebra. ist genau dann eine Zufallsvariable, wenn Realteil und Imaginärteil jeweils reelle Zufallsvariablen sind.

Numerische oder erweiterte Zufallsvariable

Der Begriff Zufallsvariable ohne weitere Charakterisierung bedeutet meistens – und fast immer in anwendungsnahen Darstellungen – reelle Zufallsvariable. Zur Unterscheidung von einer solchen wird eine Zufallsvariable mit Werten in den erweiterten reellen Zahlen als numerische Zufallsvariable – entsprechend der Terminologie der numerischen Funktion – oder als erweiterte Zufallsvariable (engl. extended random variable) bezeichnet. Es gibt aber auch eine abweichende Terminologie, bei der Zufallsvariable eine numerische Zufallsvariable bezeichnet und eine reelle Zufallsvariable immer als solche bezeichnet wird.

Zufallselement In der Literatur wird die obige Definition der Zufallsvariable manchmal für den Begriff Zufallselement oder zufälliges Element (resp. ) verwendet, um reelle Zufallsvariablen von allgemeineren Objekten wie dem Zufallsvektor, dem zufälligen Maß, der Zufallsfunktion, der Zufallsmenge, der Zufallsmatrix usw. zu unterscheiden.

Die Verteilung von Zufallsvariablen, Existenz

Eng verknüpft mit dem eher technischen Begriff einer Zufallsvariablen ist der Begriff der auf dem Bildraum von induzierten Wahrscheinlichkeitsverteilung. Mitunter werden beide Begriffe auch synonym verwendet. Formal wird die Verteilung einer Zufallsvariablen als das Bildmaß des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert, also für alle , wobei die auf dem Bildraum der Zufallsvariable gegebene σ-Algebra ist. Statt werden in der Literatur für die Verteilung von auch die Schreibweisen oder verwendet.

Spricht man also beispielsweise von einer normalverteilten Zufallsvariablen, so ist damit eine Zufallsvariable mit Werten in den reellen Zahlen gemeint, deren Verteilung einer Normalverteilung entspricht.